При каких условиях преобразования лоренца переходят в преобразования галилея кратко

Обновлено: 05.07.2024

В литературе по теории относительности преобразование, применяемое Эйнштейном, отождествляется с преобразованием Лоренца, носит то же название. Показаны отличия этих преобразований в общем виде и на примерах. Найденную ошибку в трактовке этих преобразований предлагается учитывать и исправлять в научной и учебной литературе.

Восприятие движения из различных не покоящихся по отношению друг к другу инерциальных систем, как известно, отличается. Теоретический переход из одной системы в другую требует прогноза результата измерения скоростей при таком переходе. Для упрощения рассуждений будем считать, что все скорости лежат на одной оси, и применять скалярные величины, хотя эти же рассуждения могут быть сделаны и для векторов.
Согласно классической механике, применяется преобразование Галилея, состоящее в простом векторном суммировании скоростей. Так, если объект движется относительно системы A со скоростью a, а сама эта система движется в том же направлении относительно системы B со скоростью b, то движение объекта относительно системы B происходит со скоростью d, равной сумме этих скоростей:

КРАТКО О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛОРЕНЦА

Преобразованиями Г.А. Лоренца называют преобразования координат и времени при переходе из неподвижной системы в подвижную систему в соответствии с используемой им гипотезе о том, что электрон претерпевает сжатие вдоль движения оси. В предположении Лоренца и поверхности равного потенциала поля, которые в случае покоя электрона имеют сферическую форму, при движении электрона сжимаются. В этом случае естественно предположить также и сжатие всех твердых тел.
То есть, в соответствии с представлениями, высказанными Лоренцем при разработке этих преобразований, твердые тела при движении относительно покоящейся системы РЕАЛЬНО СОКРАЩАЮТСЯ вдоль линии этого движения, причем, это сокращение по предположению Лоренца является объективным и одним и тем же для наблюдателя из любой системы координат.
В соответствии с этим рассматривается ПОКОЯЩАЯСЯ декартова система КООРДИНАТ k с осями x, y, z, в которой также рассматривается время t. Чисто теоретически задается другая система координат k’ – ДВИЖУЩАЯСЯ со скоростью v относительно этой системы вдоль оси x. В новой системе другие координаты пространства и времени имеют новые обозначения: x’, y’, z’, t’.
Зададим коэффициент r = [1-( v / C)^2]^1/2. Тогда в этих обозначениях ПРЯМЫЕ преобразования Лоренца имеют вид [1, стр.43]:
x' = (x – vt) / r ;
y’ = y ;
z’ = z ;
t‘ = (t – vx / C^2) / r . (3)

Обратные преобразования имеют вид:

x = (x’ + vt’) / r ;
y = y’ ;
z = z’ ;
t = (t‘ + vx’ / C^2) / r . (4)

Лоренц, вводя эти преобразования, полагал, что существует единственная покоящаяся система, а все остальные инерциальные системы движутся равномерно и прямолинейно относительно этой системы.

Для введенных преобразований можно вычислить преобразования скоростей при переходе из системы k в систему k’ и обратно.

w = (u + v) / (1 + u v / C^2). (5)

u = (w – v) / (1 – w v / C^2). (6)

ДЕТАЛЬНО ОБ ОТЛИЧИЯХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛОРЕНЦА И ЭЙНШТЕЙНА

(В первой версии статьи тут была опечатка - ВЖ).

РЕШЕНИЕ ПО ГАЛИЛЕЮ:

w = d + v – b = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7. (7)

u = (d + v) / (1 + d v) = 0,75. (8)

б) Определим искомую скорость

w = (u – b ) / (1 – u b) = 0,55 / 0,85 = 0,6470588. (9)

(В первой версии статьи тут была опечатка, что привело к ошибке вычислений - ВЖ)

Другого способа решения этой задачи с использованием преобразований Лоренца в его первоначальном смысле не предполагается.

РЕШЕНИЕ ПО ЭЙНШТЕЙНУ:

В соответствии с взглядами Эйнштейна решение (9) ничему не противоречит, но может быть использовании и другой вариант.

x = (d – b) / (1 – d b) = 0,2 / (1 – 0,08) = 0,2173913. (10)

(В первой версии статьи тут была опечатка, что привело к ошибке вычислений - ВЖ)

б) Скорость снаряда относительно патруля равна:

y = (v + x) / (1 + v x) = 0,7173913 / 1,108695 = 0,6470588. (11)

ВЫВОД 1:
Решение (9) по Лоренцу является единственно возможным с позиции гипотезы Лоренца. Это решение (9) соответствует и представлениям Эйнштейна.
Решение (11) по Эйнштейну является также возможным. Оно естественно следует из принятия теории Эйнштейна.
Эти два решения совпадают.

На этом основании мы, КАЖЕТСЯ, можем отождествить преобразования Лоренца и преобразования Эйнштейна.

Решение указанной задачи в рамках представления Лоренца таково.

L1 = L (1 – d^2)^1/2 = 40 х 0,91651 = 36,66 (метров). (12)

M1 = M (1 – b^2)^1/2 = 100 х 0,979796 = 97,9796 (метров). (13)

Данное утверждение относится к любой из систем координат, поскольку в исходной идее, которая привела к разработке преобразования Лоренца, предполагается объективное сокращение длины любого тела, движущегося относительно покоящейся системы координат.

Решение по Эйнштейну в корне иное.

Согласно представлениям Эйнштейна, в системе ОТСЧЕТА, связанной с ракетой, ее длина равна 40 метрам, в системе ОТСЧЕТА, связанной с патрулем, ее длина объективно иная, а именно, с учетом значения x из (10):

L2 = L (1 – x^2)^1/2 = 40 х 0,976 = 39,04 (метров). (14)

Таким образом, имеем три равноправных и все три объективных решения: 40 м, 39,04 м и 36,66 м.

Необходимость столь длинной цитаты состоит в двух соображениях.

Таким образом, кажущаяся убедительность причины того, что теория Лоренца отброшена, состоит в том, что если бы это было так, то это можно было бы выявить измерением – этот аргумент не состоятелен.

Координата ближнего к нам конца стержня равна

Координата дальнего от нам конца стержня равна

Свет дойдет до ближнего конца стержня через время

Свет дойдет до дальнего конца стержня через время

t2 = (A + L) / (C – V). (18)

Соответственно, луч будет находиться в первом случае в этот момент на расстоянии

B1 = A C / (C – V). (19)

И луч будет находиться во втором случае в этот момент на расстоянии

D2 = (A +L) C / (C – V). (20)

Расстояние (19) и (20), соответственно, луч пройдет за время:

t3 = B1 / C = A / (C – V). (21)

t4 = D2 / C = (A + L) / (C – V). (22)

Таким образом, мы можем зафиксировать две возвращенных вспышки света – по прошествии времени t1 + t3 и t2 + t4.

Разница во времени между этими двумя вспышками соответствует в нашем представлении тому времени, которое потребовалось свету, чтобы пройти расстояние вдоль стержня в обе стороны – туда и обратно.
Половина этой разницы, умноженная на скорость света, даст оценку воспринимаемой нами длины стержня.

(t4 + t2 – t3 – t1) / 2 = L / (1 – V/C). (23)

Таким образом, в использованной методике, которая в точности соответствует представлениям Максвелла, мы получили результат измерения, демонстрирующий воспринимаемое увеличение длины УДАЛЯЮЩЕГОСЯ ОТ НАС стержня, несмотря на то, что по условиям задачи у нас стержень вовсе не удлиняется.

Пусть теперь стержень не удаляется от нас, а приближается к нам. U = - V.

При тех же самых рассуждениях мы получим, что приближающийся к нам стержень воспринимается не как удлиняющийся, а как сокращающийся.

(t4 + t2 – t3 – t1) / 2 = L / (1 + U / C). (24)

Таким образом, в использованной методике, которая в точности соответствует представлениям Максвелла, мы получили результат измерения, демонстрирующий воспринимаемое сокращение длины ПРИБЛИЖАЮЩЕГОСЯ К НАМ стержня, несмотря на то, что по условиям задачи у нас стержень вовсе не сокращается.

Наконец, рассмотрим ситуацию, когда один конец стержня от нас удаляется, а другой приближается в силу того, что в момент начала измерения мы находились где-то в районе середины длинного стержня. Для определенности возьмем отрезок Ls и Lf, учтем, что их сумма равна L.

В этом случае по отношению к удаляющемуся концу справедливы соотношения

t1 = t3 = Ls / (C – V). (25)

t2 = t4 = Lf / (C + V). (26)

Измеренная таким путем длина будет равна:

L’ = C[ Ls / (C – V) + Lf / C + V) ] = ( Lf + Ls + Ls V – Lf V ) / [1 – (V / C)^2] =

= [ L + V (Ls – Lf) ] / [1 – (V / C)^2] (27)

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что движущееся зеркало отражает свет точно также как и неподвижное зеркало.
Насколько обоснована данная гипотеза?
При использовании волновой теории света следует применить принцип ГЮЙГЕНСА.
Зеркало, направленное перпендикулярно пучку света в этом случае должно отражать свет не так же точно, как покоящееся зеркало. Если бы свет был одночастотным, мы бы приобрели доплеровское смещение при отражении света. Но некогерентный свет можно представить как множество компонент когерентного света, и все они приобрели бы одинаковый доплеровский сдвиг частоты. Это привело бы к тому, что фазовый фронт света изменил скорость своего движения точно так же, как изменил бы скорость своего движения фазовый фронт когерентного света.

7. Если молекула, состоящая из двух атомов, разгонится до больших скоростей вдоль оси, на которой расположены эти атомы, что произойдет? В предельном случае – при скорости, равной скорости света, поле от отстающего атома никогда не достигнет опережающего атома. То есть, НАРУШИТСЯ СВЯЗЬ. Следовательно, молекула перестанет существовать как молекула, она превратится в два разрозненных атома. Следовательно, при скоростях, БЛИЗКИХ к скорости света, СВЯЗЬ ОСЛАБНЕТ. Следовательно, молекула имеет основания растянуться, но она не имеет оснований сжаться. Следовательно, гипотеза о растяжении предметов вдоль оси движения – в случае движения их относительно глобальной покоящейся системы – более оправдана. Я ее не выдвигаю и не отстаиваю, но если бы я выбирал из двух равноправных гипотез – А ОНИ РАВНОПРАВНЫ ПО ФОРМУЛЬНОЙ ОБОСНОВНАНОСТИ – я бы выбрал гипотезу о растяжении, а не гипотезу о сокращении.

[1] Ю.Б. Румер, М.С. Рывкин. Теория относительности. М.: Гос. учеб.-педагогич. изд-во. РСФСР. 1972. с.44–52.
[2] А.Эйнштейн. Собрание сочинений. М.: Наука. 1955 г. т.1.

Ранее мы уже изучили формулы, называемые классическими преобразованиями Галилея, однако они несовместимы с постулатами специальной теории относительности (СТО). Поэтому в данном случае нам нужно использовать другие положения. Благодаря новым преобразованиям мы сможем установить, какая связь существует между некоторым моментом события t , наблюдаемого в системе отсчета K в точке с координатами ( x , y , z ) и показателями того же события, которое наблюдается в системе отсчета K ' .

Преобразования Лоренца представляют собой кинематические формулы, с помощью которых происходит преобразование координат и времени в специальной теории относительности.

Они были впервые сформулированы еще в 1904 году в качестве преобразований, относительно которых были инвариантны уравнения электродинамики.

Обозначим основные системы K и K ' , скорость их движения – υ , а ось, вдоль которой они движутся – x . В таком случае преобразования Лоренца примут следующий вид:

K ' → K x = x ' + υ t ' 1 - β 2 , y = y ' , z = z ' , t = t ' + υ x ' / c 2 1 - β 2 . K → K ' x ' = x - υ t 1 - β 2 , y ' = y , z ' = z , t ' = t - υ x / c 2 1 - β 2 .

Используя эти формулы, мы можем вывести из них множество следствий. Так, именно из системы преобразований Лоренца следует лоренцево сокращение длины и релятивистский эффект замедления времени.

Возьмем случай, когда в системе K ' происходит некий процесс, длительность которого составляет τ 0 = t ' 2 – t ' 1 (по собственному времени). Здесь t ' 1 и t ' 2 – это время на часах в начале данного процесса и в его конце. Чтобы вычислить его общую продолжительность в точке x , необходимо взять для расчета следующую формулу:

τ = t 2 - t 1 = t ' 2 + υ x ' / c 2 1 - β 2 - t ' 1 + υ x ' / c 2 1 - β 2 = t ' 2 - t ' 1 1 - β 2 = τ 0 1 - β 2 .

Формула релятивистского сокращения длины выводится из преобразований Лоренца точно таким же образом.

Принцип относительности одновременности

Еще одно важное следствие, которое необходимо знать, – это положение о том, что любая одновременность относительна.

Например, если в системе отсчета K ' взять две разные точки, в которых некий процесс будет протекать одновременно (с позиции стороннего наблюдателя), то в системе наблюдатель будет иметь следующее:

x 1 = x ' 1 + υ t ' 1 - β 2 , x 2 = x ' 2 + υ t ' 1 - β 2 ⇒ x 1 ≠ x 2 , t 1 = t ' + υ x ' 1 / c 2 1 - β 2 , t 2 = t ' + υ x ' 2 / c 2 1 - β 2 ⇒ t 1 ≠ t 2 .

Из этого вытекает пространственная разобщенность данных событий в системе K , следовательно, они не могут считаться одновременными. Нельзя сразу сказать, какое событие будет происходить первым, а какое вторым, поскольку это определяется особенностями системы отсчета – знак разности будет определен знаком выражения υ ( x ' 2 – x ' 1 ) .

Если между событиями имеется причинно-следственная связь, то данный вывод специальной теории относительности для них использовать нельзя. Однако мы можем показать, что при этом не нарушается принцип причинности, и события следуют в нужном порядке в любой инерциальной системе отсчета.

Разберем пример, показывающий, что одновременность разобщенных в пространстве событий является относительной.

Возьмем систему отсчета K ' и расположим в ней длинный жесткий стержень. Его положение будет неподвижным и ориентированным вдоль оси абсцисс. Установим на оба его конца часы, синхронизированные между собой, а в центр поместим импульсную лампу. Также у нас будет система K ' , совершающая движение вдоль оси x в системе K .

В определенный момент времени лампа включится и пошлет световые сигналы в направлении обоих концов жесткого стержня. Поскольку она находится точно в центре, эти сигналы должны дойти до концов в одно и то же время t , которое должно быть зафиксировано расположенными на них часами. Однако концы стержня движутся относительно системы K так, что один конец стремится навстречу световому сигналу, а другой конец свету приходится догонять. Скорость света, распространяющегося в оба направления, одинакова, но сторонний наблюдатель скажет, что до левого конца свет дошел быстрее, чем до правого.

Рисунок 4 . 4 . 1 . Иллюстрация принципа относительности одновременности: достижение световым импульсом концов стержня в системе K ' в одно и то же время и в системе K в разное.

Инвариантные величины в СТО

Данные преобразования нужны нам для выражения относительного характера временных промежутков и промежутков расстояний. Вместе с тем в специальной теории относительности помимо утверждения относительного характера времени и пространства очень важно установить инвариантные физические величины, не изменяющиеся при смене системы отсчета. Подобной величиной является скорость света в вакууме, чей характер в рамках СТО становится абсолютным. Также важна такая величина, как интервал между событиями, поскольку именно она выражает абсолютность пространственно-временной связи.

Для вычисления пространственно-временного интервала необходимо использовать следующую формулу:

s 12 = c 2 t 12 2 - l 12 2 .

В ней с помощью параметра l 12 выражено расстояние между точками одной системы, где совершаются события, а t 12 – это временной промежуток между теми же самыми событиями. Если местом одного из событий является начало координат, т.е. x 1 = y 1 = z 1 = 0 и ( t 1 = 0 ) , а второе происходит в точке с координатами x , y , z в некоторое время t , то формула вычисления пространственно-временного интервала между ними записывается так:

s = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 .

Преобразования Лоренца дают нам возможность доказать неизменность пространственно-временного интервала между событиями при смене инерциальной системы.

Если величина интервала не зависит от того, какая система отсчета используется, т.е. является объективной при любых относительных расстояниях и временных промежутках, то такой интервал называется инвариантным.

Допустим, что у нас есть событие (вспышка света), которое произошло в точке начала координат в некоторой системе во время, равное 0 , а потом свет переместился в другую точку с координатами x , y , z во время t . Тогда мы можем записать следующее:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 .

У нас получилось, что интервал этой пары событий будет равен нулю. Если мы поменяем систему координат и возьмем другое время для второго события, то результаты окажутся точно такими же, поскольку:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2

Иначе говоря, любые два события, которые связывает между собой световой сигнал, будут иметь нулевой пространственно-временной интервал.

Также формулы Лоренца для времени и координат можно использовать для выведения релятивистского закона сложения скоростей.

Например, у нас есть частица, которая находится в системе отсчета K ' и движется в ней вдоль оси абсцисс со скоростью u ' x = d x ' d t ' . Параметры скорости u ' x и u ' равны 0 . В системе K , соответственно, скорость будет равна u x = d x d t .

Применим к одной из формул преобразования Лоренца операцию дифференцирования и получим следующее:

u x = u ' x + υ 1 + υ c 2 u ' x , u y = 0 , u z = 0 .

Данные отношения являются выражением релятивистского закона сложения скоростей. Он применим в случае движения частицы параллельно относительной скорости υ → в системах отсчета K и K ' .

Если υ ≪ c , то релятивистские отношения могут быть преобразованы в формулы классической механики:

u x = u ' x + υ , u y = 0 , u z = 0 .

Если мы имеем дело со световым импульсом, распространяющимся в системе K ' вдоль оси x ' со скоростью u ' x = c , то в этом случае применима следующая формула:

u x = c + υ 1 + υ / c = c , u y = 0 , u z = 0 .

Иначе говоря, скорость распространения светового импульса в системе K вдоль оси x также будет равна c , что соответствует постулату об инвариантности скорости света.

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x’, y’, z’) и моментом времени t’ этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K’.

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K’ движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x’ системы K’ происходит процесс длительностью τ₀ = t’₂ – t’₁ (собственное время), где t’₁ и t’₂ – показания часов в системе K’ в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K’ (x’₁ ≠ x’₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K’ (t’₁ = t’₂ = t’) происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t₂ – t₁ определяется знаком выражения υ(x’₂ – x’₁), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть в системе отсчета K’ вдоль оси x’ неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизированных часов(рис. 4.4.1(a)), система K’ движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K’ дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t’. Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 4.4.1(b)).

Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в системе отсчета K’ (a) и не одновременно в системе отсчета K (b)

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако, в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света в вакууме c, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.

Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:

где t₁₂ – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l₁₂ – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x₁ = y₁ = z₁ = 0) системы отсчета в момент времени t₁ = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 4.1.3), то

и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s’ окажется равным нулю, так как

Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K’ вдоль оси x’ движется частица со скоростью Составляющие скорости частицы u’x и u’z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K’.

Вопрос-ответ Помогите! В желтой, зелёной и красной коробках лежит по одному яблоку этих же цветов, но цвет яблок не совпадает с цветом коробки. Желтое яблоко лежит не в зелёной коробке. В какой коробке лежит каждое из яблок?

Добавьте сайт в закладки

При использовании данного сайта, вы подтверждаете свое согласие на использование файлов cookie в соответствии с настоящим уведомлением в отношении данного типа файлов.

Если вы не согласны с тем, чтобы мы использовали данный тип файлов, то вы должны соответствующим образом установить настройки вашего браузера или не использовать сайт.

Читайте также: