Почему комплексные числа не изучают в школе

Обновлено: 02.07.2024

Проще говоря, необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. Такая операция невозможна в множестве действительных чисел, но не невозможна вообще.

В процессе работы будет необходимо:

познакомиться с понятием комплексного числа;

создать программу ознакомления с материалом, включающую в себя элементы тестирования;

изучить полученные результаты тестирования и сделать выводы о качестве созданного математического пособия;

выявить перспективу на будущее.

1. Немного истории.

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное

духа, почти что амфибия

бытия с небытиём.

2. Понятие комплексного числа.

2.1. Алгебраическая форма z=a+b·i, b €R, i 2 = - 1

a = Re z – действительная часть числа (вещественная);

b = i m – мнимая часть числа z .

Если a ≠ 0, b ≠ 0, то z - мнимое число ( z = 97-7 · i ) .

Если a = 0, b ≠ 0, то z - чисто мнимое число ( z =55 · i ) .

Если a ≠0, b =0, то z - действительное число ( z =-4) .

Степени числа i :

i 1 = i=> i 4 п +1 = i

i 2 = -1=> i 4 п +2 = -1

i 3 = i 2 · i=- i=> i 4 п +3 =- i

i 4 =( i 2 ) 2 =1 => i 4 п =1

1) z=a+b·i и z=a-b·I – сопряженные;

сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами ( z + =2а, z · =а 2 + b 2 );

2) z = a + b · i и - z =- a - b · I - противоположные

Сумма двух противоположных чисел равна 0( z +(- z )=0 ).

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i 2 =-1

1) Условие равенства комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 · i и z 2 = a 2 + b 2 · i

z 1 = z 2 , если a 1 = a 2 и b 1 = b 2

2) Сумма комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 · i и z 2 = a 2 + b 2 · i равна:

z 1 + z 2 =( a 1 + a 2 )+( b 1 +b 2 )·i

3) Разность комплексных чисел равна:

z 1 - z 2 = (a 1 - a 2 ) + (b 1 - b 2 ) ·i

4) Произведение комплексных чисел равно:

z 1 ·z 2 = (a 1 · a 2 – b 1 · b 2 ) + (a 1 · a 2 + b 1 · b 2 )

5) Частное комплексных чисел равно:

(Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.)

2.2 Понятие о комплексной плоскости.

Комплексная плоскость С – плоскость с прямоугольной декартовой системой координат x , y , каждая точка которой ( x ; y ) отождествлена с комплексным числом z = x + yi . Поэтому на комплексной плоскости говорят о точках z или о векторах z , подразумевается вектор, приложенный в начале координат с концом в точке z . Ось абсцисс OX на комплексной плоскости называется действительной осью, а ось ординат OY – мнимой осью.

Поле С является алгебраическим расширением поля действительных чисел и получается присоединением к полю R корня i многочлена x 2 +1. Поле С алгебраически замкнуто: любой многочлен с коэффициентами из С разлагается над С на линейные множители. Поле С является единственным минимальным расширением поля R, в котором уравнение x 2 +1 имеет корень.

2.3 Геометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число z=a+b·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (a; b). Эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто – мнимые – точками оси ординат.

К омплексное число изображается также вектором на комплексной плоскости с началом в точке О и концом в точке z . Сумма и разность комплексных чисел строятся по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма:

Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов:

2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа.

z = r · (cos + i sin ), где r·cos =Re z; r·sin =Im z;

= Arg z – главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z , - .

Для комплексных чисел z 1 =r 1 ·(cosφ 1 +i·sinφ 1 ) и z 2 =r 2 ·(cosφ 2 +i·sinφ 2 ) справедливы равенства:

z 1 ·z 2 =r 1 ·r 2 · (cos (φ 1 + φ 2 ) +i· sin (φ 1 +φ 2 ));

(cos (φ 1 - φ 2 ) +i· sin (φ 1 -φ 2 )).

Для п -ой степени числа z справедливо равенство:

z n = r n (cos(nφ) + i·sin(nφ)), n N

При r=1 соотношение принимает следующий вид и называется формулой Муавра:

(cosφ + i· sinφ) n =cos(nφ)+i·sin(nφ).

Корень п -ой степени:

, где κ = 0, 1, 2, …, n-1

z =8+6· i – алгебраическая форма.

2.5 Показательная форма комплексного числа.

e ±i·φ =cos φ±i ·sin φ – формула Эйлера

1) Для комплексных чисел , справедливы равенства:

2) Для n-ой степени числа z справедливо равенство:

z n =r n · e i·n ·φ .

3) Корень n–ой степени из числа равен:

3 Построение комплексных множеств на плоскости.

Так как z=x+y · i , x R, y R, то

а) первое условие примет вид:

Это множество точек, лежащих внутри и на границе кольца между окружностями с центром (1;0) и радиусами, равными 2 и 3;

б) второе условие примет вид:

искомое множество есть часть кольца, ограниченная отрезками прямых: y=0 и y=

Решение данной системы есть следующее множество точек, изображенных на плоскости:

Так как z = x + y · i, то

Тогда исходное неравенство примет вид:

Решением данной системы является следующее множество точек:

4 Графическое решение систем уравнений и неравенств комплексных чисел, содержащих параметр.

При каких значениях параметра а система уравнений

имеет единственное решение?

Так как z = x + y · i, то система будет выглядеть следующим образом:

Графиком функции y = 1 – x является прямая, проходящая через точки (0;1) и (1;0), а график x 2 + y 2 = a представляет собой окружность с радиусом . Система уравнений будет иметь единственное решение только в том случае, когда прямая, заданная функцией y = 1 – x будет касательной к окружности с радиусом .

Ответ: при система уравнений имеет единственное решение.

При каких значениях параметра а система неравенств выполняется для всех х на отрезке ?

Так как z = x + y · i , то система будет выглядеть следующим образом:

Для решения системы неравенств воспользуемся графическим методом.

Введём прямоугольную систему координат и обозначим вертикальную ось ОХ , а горизонтальную – О а.

Решением данной системы неравенств является множество точек, заключенных внутри окружности, заданной уравнением , и в то же время находящимися между прямыми , а так же лежащие не ниже точек графика, заданного функцией .

Данные чертежа наглядно иллюстрируют решение системы неравенств: .

В статье обсуждается необходимость и возможность изучения комплексных чисел в старшей школе, анализируются актуальные учебники математики, рассматриваются методические аспекты введения данного раздела в школьный курс математики.

Ключевые слова: комплексное число, числовая система, базовый уровень, профильный уровень.

Комплексные числа — раздел, не всегда встречающийся в современных школьных учебниках алгебры и начал математического анализа [1]. Из книг, рассмотренных нами, эта тема рассматривается лишь в одном учебнике базового уровня, в остальных случаях — только в учебниках профильного уровня. Естественно, возникает вопрос — должен ли учитель рассказать о существовании множества комплексных чисел, показать, как выполняются арифметические операции на этом множестве, как подойти к этой теме оптимально с точки зрения как времени, так и содержания.

Изучение комплексных чисел и работа с ними способствует развитию у учащихся абстрактного мышления, позволяет полностью увидеть структуру всех изученных ранее числовых множеств и операций с ними. Множество комплексных чисел принципиально отличается от всех числовых систем, являющихся подсистемами действительных чисел: комплексные числа нельзя отобразить на одной координатной прямой с другими числами, их нельзя упорядочить. Кроме того, комплексные числа — это тот редкий раздел математики, который объединяет в себе алгебру, геометрию и тригонометрию; показывает возможность привлечения смежных областей науки для решения конкретной задачи, реализуя тем самым интеграционные связи математики — как ближние, так и дальние [2]. Сама идея того, что из отрицательного числа можно извлечь корень, побуждает обучающихся посмотреть на ранее известные вещи с другой точки зрения.

Нами был рассмотрен ряд учебников по алгебре и началам математического анализа для 11 класса, входящих в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации образовательных программ среднего общего образования на 2019–2020 учебный год [4]. Среди них учебники базового уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина), углубленного уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина; М.Я Пратусевич и др.) и базового и углубленного уровней (С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.; Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др.). Анализ перечисленных выше учебников показал, что авторы стремятся изложить определенные сведения о множестве комплексных чисел в средней школе: во всех учебниках приводится исторический материал, рассматриваются алгебраическая, геометрическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел, формула корней кубического уравнения. В учебниках углубленного уровня приводится показательная форма записи комплексного числа, рассматриваются операции возведения в степень и извлечение корня из комплексного числа. Материал учебников поможет сформировать представление о комплексных числах даже при самостоятельном изучении.

Важно показать различные формы записи комплексного числа и переходы от одних форм к другим; в каких случаях используется та или иная форма записи комплексного числа. Так, например, в учебнике С. М. Никольского приведена показательная форма комплексного числа и подчеркиваются ее преимущества: короткая запись числа и удобство при умножении, делении или возведении в степень. Также говорится о применении такого типа записи в физике. Г.К. и О. В. Муравины в учебниках и для базового, и для профильного уровней ограничиваются лишь тождеством Эйлера, а М. Я. Пратусевич и Ю. М. Колягин приводят только алгебраическую и тригонометрическую формы записи.

При изучении операций сложения, умножения и сопряжения комплексных чисел можно предложить учащимся самим вывести формулы, основываясь на алгоритме приведения подобных слагаемых и сложения и умножения многочленов. Совместный вывод теоретического материала может облегчить восприятие темы.

Комплексные числа являются самостоятельной темой, объединяющей в себе ранее изученные разделы. Поэтому можно осуществить изучение этой темы в рамках курса внеурочной деятельности даже в 10 классе, при условии пропедевтики в основной школе, оставив уроки в 11 классе для повторения.

Изучение комплексных чисел в школе в первую очередь способствует развитию абстрактного мышления: раздвигаются привычные рамки, выполняются операции, ранее считавшиеся невыполнимыми. Содержательно-методическая линия числа приобретает законченный характер. Кроме того, при изучении комплексных чисел необходимо знакомиться и с историей развития числа и теми проблемами, которые привели к появлению комплексных чисел. Тем самым расширяется исторический кругозор и повышается культурный уровень обучающихся, что имеет огромное значение для общего развития старшеклассника. Все это актуализирует изучение комплексных чисел в урочной или внеурочной деятельности по математике в средней школе.

Алгебра и начала математического анализа. Сборник рабочих программ. 10–11 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [сост. Т. А. Бурмистрова]. — 2-е изд. -–М.: Просвещение, 2018. — 143 с.
Жмурова И. Ю., Полякова Т. С., Лялина Е. В. 2Иинтеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования // Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. — № 1 (18). — С. 66–72.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс, Углубленный уровень: методическое пособие к учебнику. — М.: Дрофа, 2015. — 272 с.
Приказ Минпросвещения России «О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования, сформированный приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 28 декабря 2018 г. N 345" от 22.11.2019 № 623 // Российская газета. 25.11.2019 г. № 8023.

Основные термины (генерируются автоматически): число, комплексное число, базовый уровень, профильный уровень, углубленный уровень, учебник, абстрактное мышление, внеурочная деятельность, кубическое уравнение, математический анализ.

Понятие числа известно всем людям и изучается, начиная с детского сада. Но на самом деле существуют различные виды чисел и употребляются они для решения различных задач. Все понимают, что числа – это абстрактные понятия, а процесс познания чисел – это процесс их конструирования. Нельзя, например, сказать, что наряду с положительными числами существуют еще и отрицательные или, что наряду с вещественными числами существуют еще и комплексные. В процессе развития математики ученые неоднократно сталкивались с проблемой, когда при решении задачи не было инструментов и не хватало имеющихся знаний. Возникал вопрос: "Как же поступать в таких случаях?" Такое положение приводило к необходимости конструирования новых видов чисел и понятий на основе уже существующих. Так для пересчёта разнообразных предметов человечество стало использовать натуральные числа. Когда натуральных чисел оказалось недостаточно, ввели новые числа - дроби, а точнее - рациональные числа. В процессе развития математики появились вещественные числа, ну а м нимые числа в свое время стали настоящей палочкой — выручалочкой для математиков, ведь сложнейшие задачи стали решаться гораздо проще с приятием существования мнимых чисел.

Роль комплексных чисел в математике очень велика и объясняется тем, что при решении алгебраических уравнений любым способом заранее неизвестно, существуют ли вещественные корни и каково их число. В то же время в курсе высшей алгебры доказывается, что если искать корни на множестве комплексных чисел, то эти корни существуют всегда, и их число равно степени решаемого уравнения. Например, квадратное уравнение всегда имеет два корня, кубическое – три и т.д. Таким образом, использование комплексных чисел полностью решает проблему решения алгебраических уравнений.

Роль комплексных чисел велика и за пределами решения алгебраических уравнений. Во многих случаях, например, при изучении колебательных процессов их использование оказывается гораздо удобнее, чем использование вещественных чисел.

Если говорить об изучении комплексных чисел в школьной программе, то раньше комплексные числа вводили в школе в виде простых арифметических действий над ними и в качестве демонстрации решения полиноминальных уравнений, и то в классах с углубленным изучением математики ( я говорю об обычных общеобразовательных школах). Не более того. В лучшем случае в школе связь комплексных чисел с тригонометрией демонстрировалось не более чем, как некий математический фокус. Не знаю, на сколько это честно в математике пользоваться фокусами без раскрытия механизма. Поэтому не удивительно, что из школьников мало кто вспомнит, что такое вообще комплексные числа. А уж как они связаны с кругом. Многое даже очень интересное легко забывается за ненадобностью. Возможно, остается некое общее впечатление о том, что уроки были интересными, но о чем именно - трудно даже вспомнить.

В современной школе комплексные числа изучают не везде. Чаще они имеют отношение к профилю 10 класса. В профиль, такие как математический, химический, технологический, информационный и др., предполагающий профильное изучение математики, комплексные числа входят в обязательном порядке. В таких профильных классах программа содержит определенное количество часов на изучение комплексных чисел и то не достаточное для рассмотрения более глубоких практико - ориентированных задач на стыке дисциплин естественно-математического цикла. В базовом курсе математики комплексных чисел, конечно же, нет.

Если говорить в целом о математиком образовании, то, конечно, комплексные числа помогают и порой просто необходимы не только в тригонометрии, но и в геометрии, и в физике. На мой взгляд, комплексные числа несомненно могут стать прекрасным способом демонстрации красоты математики, а также неплохим мостиком к линейной алгебре, помимо традиционной геометрии. Многие коллеги, работая в школе и наблюдая с каждым годом снижение уровня математической подготовки и интереса учащихся именно к точным наукам, склонны к варианту "демонстрации красоты" комплексных чисел на математическом кружке с чуть более продвинутым уровнем подготовки учащихся. В ряде случаев это имеет место быть, когда весь этот разнообразный материал не может быть доведен до сведения интересующихся математикой учащихся по ряду объективных причин. Тогда он может быть изучен в школе на факультативных занятиях, что поможет расширить представления учащихся и об аппарате комплексных чисел и о методах математических исследований. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам, а геометрия комплексной плоскости может служить мощным орудием в решении сложных олимпиадных задач.

В свою очередь, убеждена, что все учащиеся должны иметь представление не только о множестве натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел, но и о множестве комплексных чисел, которое в школьном курсе общеобразовательных классов не изучается. На мой взгляд понятие комплексных чисел обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики - идею обобщения понятия числа. Знание комплексных чисел позволит учащимся глубже осмыслить такие разделы школьной программы, как решение уравнений и неравенств, тригонометрические функции. Поэтому "лишней" данную тему никак нельзя назвать. А закончит свое размышление мне хотелось бы следующим высказыванием Ф. Клейна: " Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение."

1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. Математики. М.: Просвещение, 1998. 288 с.

2. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / под ред. А.Б. Жижченко. М.: Просвещение, 2010. 336 с.

3. Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень. М.: Просвещение, 2010. 463 с.

4. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 11 кл.: учебник. М.: Дрофа, 2014. 318 с.

5. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. М.: Просвещение, 2009. 464 с.

6. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). М.: Мнемозина, 2009. 424 с.

Цель исследования: обосновать необходимость изучения комплексных чисел в курсе алгебры и начал математического анализа и определить их место в школьном курсе математики, а также рассмотреть различные задачи, которые можно решить с помощью комплексных чисел.

- алгебраическая форма комплексного числа (определение комплексных чисел);

- операции над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление);

- комплексные числа и координатная плоскость (геометрическая интерпретация комплексного числа);

- тригонометрическая форма записи комплексного числа;

- комплексные числа и квадратные уравнения;

- возведение комплексного числа в степень;

- извлечение кубического корня из комплексного числа.

Отметим также, что, например, в УМК, разработанном под руководством Никольского С.М., нежели, например, в УМК Мордковича А.Г., каждая тема представлена кратко, но достаточно ёмко; имеется достаточное количество заданий для отработки необходимых умений и навыков. В УМК Мордковича А.Г. темы также раскрыты достаточно полно, но имеется излишняя вводная часть, которую где-то можно было бы сократить.

Задача 1. Решить уравнения: а) ; б) [6].

Решение. а) Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители: . Рассмотрим отдельно каждый множитель: ; .

Ответ. .

б) Найдем дискриминант уравнения: . Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта: . Теперь подставляем значение дискриминанта в формулу корней квадратного уравнения: .

Ответ. .

Задача 2. Найдите a и b, если [7].

Решение. Домножим числитель и знаменатель на число , сопряженное со знаменателем:

Приравнивая отдельно вещественные и мнимые части, получим

Решаем квадратное уравнение и находим

Ответ.

Задача 3. Выполните действия:

а) ; б) [2].

А можно предложить и более сложные задания.

Задача 4. Выполните действия [7].

Решение. Выражение не является тригонометрической формой комплексного числа. Пользуясь формулами и тем, что , получим

Теперь можно воспользоваться формулой Муавра:

Отдельно вычислим :

Выражение можно вычислить, используя формулу бинома Ньютона:

Задача 5. Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна суммы квадратов его сторон.

Решение. Чтобы решить задачу стандартным способом, учащемуся необходимо вывести формулы нахождения каждой медианы треугольника. Покажем вывод искомой формулы на примере одной из медиан.

1) Рассмотрим : по теореме косинусов имеем, что

2) Рассмотрим :

Из 1) и 2) получаем: Преобразовав наше выражение и выразив медиану , получим формулу первой медианы: .

Аналогично получаем формулы для нахождения двух оставшихся медиан:

, .

Согласно условию задачи найдем сумму квадратов медиан треугольника и получим:

, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь решение данной задачи методом комплексных чисел. Отметим, что для решения задачи вторым способом учащемуся необходимо знание всего одной формулы – формула нахождения расстояния между двумя точками, которая выглядит следующим образом: [8].

Используя формулу нахождения расстояния между двумя точками, запишем квадраты медиан треугольника:

Тогда сумма квадратов медиан треугольника равна:

Найдем сумму квадратов сторон треугольника:

Преобразовав полученные суммы, получим: что и требовалось доказать.

Кроме того, комплексные числа – это математический аппарат для описания движений плоскости. Подробнее с этим можно познакомиться в [9].

С помощью формулы Муавра возведения комплексного числа в целочисленную степень можно выводить формулы косинуса и синуса любого кратного угла, в частности двойного и тройного углов. Рассмотрим вывод формулы косинуса и синуса двойного углов.

Возьмем комплексное число

и возведем его во вторую степень, пользуясь формулой Муавра и формулой сокращенного умножения (частный случай формулы бинома Ньютона).

Получим: с одной стороны,

;

с другой стороны,

Отсюда, приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получаем, что , .

Заключение. Итак, комплексные числа – это числа, которые нашли многочисленные, а порой и неожиданные применения. Нельзя не отметить, что при решении задач с применением комплексных чисел порой обнаруживаются новые интересные факты и обобщения.

Применение метода комплексных чисел при решении задач по элементарной геометрии дает учащимся возможность научиться решать геометрические задачи аналитическим способом, не прибегая к построению чертежа.

Читайте также: