По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения кратко
Обновлено: 30.06.2024
Центростремительным ускорением называется ускорение тела при движении тела по окружности.
Данная величина характеризует, насколько быстро изменяется направление линейной скорости объекта при его движении по окружности.
Обозначается центростремительное ускорение латинской буквой a, так как это векторная величина, обычно ее обозначение условно выглядит так: \(\vec a\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Единицами измерения в международной системе СИ является м/с 2 .
Силы центростремительная и центробежная, в чем отличия
На любое тело, передвигающееся по круговой траектории, воздействует постоянная сила, которая направлена к центру окружности, описывающей траекторию движения. Эта сила получила название центростремительной.
Центробежная сила представляет собой силу инерции. По третьему закону Исаака Ньютона, на каждое действие приходится равное ему по силе, но противоположное по направлению противодействие. И центробежная сила является той самой силой, которая противоположна центростремительной силе.
Сходства центростремительной и центробежной силы:
- Они являются инерциальными.
- Возникают всегда при движении тела.
- Появляются только парами и всегда уравновешивают друг друга.
Их различия заключаются в следующем:
Куда направлен вектор центростремительного ускорения
При передвижении точки по окружности ее скорость направлена по касательной к окружности, а ускорение — по радиусу к центру окружности. Т.е. центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости.
Вывод формулы центростремительного ускорения
Как найти через угловую и линейную скорость
Центростремительное ускорение, при условии равномерного движения по окружности, можно вычислить с помощью линейной скорости движения.
Центростремительное ускорение можно вычислить через угловую скорость.
Угловой скоростью (\omega) называется физическая величина, численно равная отношению угла поворота (\varphi) к тому интервалу времени (t), за который этот поворот произошел:
Определение и формула центростремительного ускорения
Центростремительным ускорением называют компоненту полного ускорения материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, которая определяет быстроту изменения направления вектора скорости.
Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости. Обозначают центростремительное ускорение, обычно $<\overline>_n$. Центростремительное ускорение еще называют нормальным.
Центростремительное ускорение равно:
где $<\overline
Первым верные формулы для вычисления центростремительного ускорения получил Х. Гюйгенс.
Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:
Формула центростремительного ускорения при равномерном движении точки по окружности
Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. При таком перемещении величина скорости материальной точки неизменна ($v=const$). Но это не означает, что полное ускорение материальной точки при таком виде движения равно нулю. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности, по которой перемещается точка. Следовательно, в этом движении скорость постоянно изменяет свое направление. Отсюда следует, что точка имеет ускорение.
Рассмотрим точки A и B которые лежат на траектории движения частицы. Вектор изменения скорости для точек A и B найдем как:
Если время, затрачиваемое на движение от точки A до точки B, стремится к нулю, то дуга AB мало не отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, получим:
Величину модуля среднего ускорения определяют как:
Перейдем к пределу при $\Delta t\to 0\ $ от $\left\langle a\right\rangle \ \ $в формуле (4):
Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:
При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $\frac<\pi >$.
И так, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, обладает ускорением, которое направленно к центру окружности ($<\overline>_n\bot \overline$), его величина равна скорости в квадрате, деленной на радиус окружности:
где $\omega $ - угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot R$). В векторном виде формулу для центростремительного ускорения можно записать, опираясь на (7) как:
где $\overline$ - радиус-вектор, равный по длине радиусу дуги окружности, направленный от центра кривизны к местоположению рассматриваемой материальной точки.
Примеры задач с решением
Задание. Векторное уравнение $\overline\left(t\right)=\overline\ >$, где $\omega =2\ \frac,$ описывает движение материальной точки. По какой траектории движется данная точка? Чему равен модуль ее центростремительного ускорения? Считайте, что все величины в системе СИ.
Решение. Рассмотрим уравнение движения точки:
В декартовой системе координат это уравнение эквивалентно системе уравнений:
Для того, чтобы понять по какой траектории движется точка нам следует исключить время из уравнений системы (1.2). Для этого возведем оба уравнение в квадрат и сложим их:
\[x^2+y^2=^2\left(\omega t\right)+^2\left(\omega t\right)=1\ \left(1.3\right).\]
Из уравнения (1.3) мы видим, что траекторией движения точки является окружность (рис.2) радиуса $R=1$ м.
Для того чтобы найти центростремительное ускорение воспользуемся формулой:
Модуль скорости определим используя систему уравнений (1.2). Найдем компоненты скорости, которые равны:
Квадрат модуля скорости будет равен:
Из того, какой получился модуль скорости (1.6), мы видим, что наша точка движется по окружности равномерно, следовательно, центростремительное ускорение будет совпадать с полным ускорением.
Подставим $v^2$ из (1.6) в формулу (1.4), имеем:
Ответ. 1) Окружность; 2) $a_n=4\ \frac$
Задание. Каково центростремительное ускорение точек на ободе диска в момент времени, равный $t=2$c, если диск вращается в соответствии с уравнением: $\varphi (t)=3+2t^3$? Радиус диска равен $R=0,$ м.
Решение. Центростремительное ускорение точек диска будем искать, применяя формулу:
Угловую скорость найдем, используя уравнение $\varphi (t)=3+2t^3$ как:
При $t=2\ $c угловая скорость равна:
\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac\right).\]
Можно вычислить центростремительное ускорение по формуле (2.1):
Ответ. $a_n=57,6\frac$
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
1. Как на опыте убедиться в том, что мгновенная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, в любой точке этой окружности направлена по касательной к ней?
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории.
Если к вращающемуся точильному камню приложить металлический прут, то из-под него вырвутся искры.
Это раскаленные частицы камня, отрывающиеся при трении о прут.
Искры летят с той скоростью, которой обладали в момент отрыва.
Направление движения искр, а значит, и вектор их скорости, совпадает с касательной к окружности, по которой они двигались.
Векторные величины характеризуются модулем и направлением.
При изменении хотя бы одной из этих двух характеристик вектор меняется.
2. Почему движение по окружности является движением с ускорением?
При движении тела по окружности модуль вектора скорости может меняться или оставаться постоянным.
Однако направление вектора скорости обязательно меняется.
В результате вектор скорости меняется, т.е. является переменной величиной.
Движение, у которого скорость меняется, называется движением с ускорением.
Значит, движение по окружности всегда происходит с ускорением.
3. Как направлено ускорение тела при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью? Как называется это ускорение?
Ускорение, с которым тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, называется центростремительным.
Центростремительное ускорение в любой точке траектории направлено по радиусу окружности к ее центру.
4. По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения?
Модуль вектора центростремительного ускорения тела, движущегося с постоянной по модулю скоростью, определяется по формуле:
где
а - модуль вектора центростремительного ускорения тела (м/с 2 ),
v - модуль вектора скорости (м/с),
r - радиус окружности (м).
4. Как направлена сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью?
Сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, называется центростремительной силой.
Центростремительная сила в каждой точке траектории движения тела направлена по радиусу окружности к центру.
Почему?
По второму закону Ньютона ускорение всегда сонаправлено с силой, в результате действия которой оно возникает.
Значит, и сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, в каждой точке направлена, как и центростремительное ускорение, по радиусу окружности к ее центру.
Модуль вектора центростремительной силы, действующей на тело, движущееся по окружности с постоянной по модулю скоростью, определяется по формуле:
где
F - центростремительная сила (Н),
m - масса движущегося по окружности тела (кг),
r - радиус окружности (м).
В качестве центростремительных сил могут выступать силы разных видов.
Например:
- шар легкоатлетического молота движется по окружности под действием силы упругости троса;
- планеты обращаются вокруг Солнца под действием силы всемирного тяготения;
- автомобиль совершает поворот за счет силы трения колес о дорогу;
- движение электронов вокруг ядра атома обусловлено действием сил электрического притяжения.
Под действием этих центростремительных сил возникает ускорение, меняющее направление скорости теля, благодаря чему оно движется по окружности или ее дуге.
Тело изменяет направление движения, когда движется по окружности. Это говорит о том, что подобное движение происходит под действием некоторой силы. Такую силу называют центростремительной. С ней связано центростремительное ускорение.
Линейная скорость меняется от точки к точке
При движении по окружности вектор линейной скорости \(\vec\) изменяет свое направление (рис. 1). Значит, направления векторов \(\vec\) для соседних точек будут различаться! Но в каждой точке окружности вектор \(\vec\) направлен перпендикулярно радиусу.
Рис. 1. Точка движется по окружности, линейная скорость изменяется по направлению, но в каждой точке остается перпендикулярной радиусу
Тело, двигаясь по кругу, изменяет направление, в котором движется. А если меняется направление движения, изменяется вектор скорости тела.
Примечания:
- Характеристики вектора – это его длина и его направление. Если изменится хотя бы одна из них, говорят, что изменился вектор.
- Через красную точку на рисунке 1 проходит ось вращения. По правилу правого винта вдоль оси вращения направлена угловая скорость.
Центростремительная сила – причина движения по окружности
Первый закон Ньютона гласит: пока на тело не действуют другие тела, оно сохраняет свою скорость неизменной. То есть, тело покоится, или движется с постоянной скоростью по прямой.
Тело изменит скорость своего движения по направлению или по модулю, только если на него подействует сила (другое тело).
При движении тела по окружности вектор скорости изменяется по направлению. Значит, на движущееся по окружности тело действует сила.
Эта сила притягивает тело к центру окружности (рис. 2), заставляя тело поворачивать. Поэтому, силу называют центростремительной (стремится к центру). Она направлена к центру окружности по радиусу.
Рис. 2. Чтобы точка двигалась по окружности, на нее должна действовать центростремительная сила. Эта сила направлена по радиусу к центру окружности
А если эту силу убрать, тело начнет двигаться по прямой с постоянной (одной и той же) скоростью.
Примечание: На любое тело, движущееся по окружности, действует центростремительная сила. Она в каждой точке этой окружности направлена к ее центру по радиусу.
Центростремительное ускорение
Второй закон Ньютона утверждает: если есть сила, появится ускорение.
Сила и ускорение связаны так:
Это ускорение \(\vec>>\) сонаправлено (рис. 3) с вектором силы \(\vec< F_> >\), поэтому, его называют центростремительным ускорением.
Рис. 3. Центростремительная сила и центростремительное ускорение сонаправлены, они направлены по радиусу к центру окружности
Длина центростремительного ускорения отличается от длины вектора силы в \(m\) раз. Где \(m\) – это масса точки.
Вектор ускорения \(\vec>>\) направлен по радиусу к центру окружности. Значит, он перпендикулярен вектору \(\vec\) линейной скорости.
Поэтому центростремительное ускорение иногда называют нормальным ускорением.
Примечание: Нормаль – это перпендикуляр. Нормальное, значит, перпендикулярное.
Нормальное ускорение можно вычислить, пользуясь выражением:
\( \vec> \left( \frac>> \right) \) — центростремительное ускорение;
\(v \left( \frac> \right)\) — линейная скорость точки;
\(R \left( \text\right)\) – радиус окружности, по которой движется точка.
\(m \left( \text\right)\) – масса точки.
Чем быстрее движется тело, и чем меньше радиус окружности, тем больше нормальное ускорение и центростремительная сила, действующая на тело.
Примечание: Нормальное ускорение есть всегда, когда есть движение по окружности, при этом не важно, меняется ли скорость тела по модулю, или не меняется.
Читайте также: