По каким правилам упрощают числовые выражения записанные без скобок кратко

Обновлено: 05.07.2024

При вычислении числовых выражений сначала выполняют имеющиеся операции в следующем порядке:

возведение в степень и вычисление корня
умножение и деление
сложение и вычитание

цифра показывает приоритет (очередность) выполнения чем меньше цифра тем раньше выполняют операцию

Все операции делают в порядке появления в выражении слева направо.

2*3+4*5-6

Вычитанием называется двухместная операция, обратная сложению. Она не коммутативна и не ассоциативна, обладает антикоммутативностью. В случае, если на том же множестве определено ещё и умножение, то вычитание должно быть дистрибутивно по отношению к нему.

То есть, в арифметике у вычитания выделяют лишь 2 свойства:

антикоммутативность (при перемене мест уменьшаемого и вычитаемого результат получатся обратным) [a-b=-(b-a)];
дистрибутивность по отношению к умножению (распределительный закон) [a*(b-c)=ab-ac].

Ассоциативность и привычная по сложению коммутативность отсутствуют:

У умножения есть переместительное, сочетательное и распределительное свойство (которые чаше называются законами). Записываются они так (в том же порядке):

a*b = b*a (от перестановки сомножителей произведение не меняется - вообще говоря, это верно не для всех объектов, для которых определена операция "умножение". Скажем, для матриц или для элементов групп переместительное свойство не соблюдается).

Могу посоветовать сайт, которым пользуемся мы, когда ищем ответы по математике. Он называется слово, потом точка, потом домен ws (а не ru).

Там постранично отсканирован решебник, просто и понятно изложено. Вот выдержка именно из него:

Там есть и другие решебники, пригодятся ребенку позже.

Есть еще математикус.ру.

Есть сайт алленг.ру, там можно помимо готовых домашних заданий найти учебники (в том числе и для высшего и средне-профессионального образования), их количество постоянно пополняется.

Можно поискать в книжных магазинах.

Если раньше все школы нашей необъятной Родины учились по единому учебнику, то в настоящее время учебников по одному и тому же предмету развелось вагон и маленькая тележка.

Предлагаю поэтому, посетить один полезный интернет - ресурс, где представлено домашнее задание за 6 класс по математике (и другие классы, и другие предметы тоже) по учебникам разных авторов. Это здесь.

Лингвистический факультет иностранных языков предполагает не только и не столько знание языка (например, английский - это просто уже норма жизни для всех), сколько освоение анализа языка, лингвистических теорий, методику преподавания. Лично я считаю, что именно это и отличает настоящего лингвиста от человека, свободно и без акцента владеющего иностранным языком, таких людей уже много.

Математика на экономических специальностях не слишком сложная, в основном статистика.

По каким правилам упрощают числовые выражения, записанные без скобок?

Решение

Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то эти действия выполняют по порядку слева направо.
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление), то сначала выполняют умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо).
Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем, то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий.

Нашли ошибку?

Если Вы нашли ошибку, неточность или просто не согласны с ответом, пожалуйста сообщите нам об этом

Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).

Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.

Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.

СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Правила упрощения алгебраических выражений

Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:

приведение подобных;
разложение на множители;
сокращение дроби;
сложение и вычитание дробей;
умножение и деление дробей.

В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:

При наличии подобных их рекомендуется привести, при этом не имеет значения то, в какой момент они образовались.
При появлении первой возможности для сокращения дробей, рекомендуется ей сразу воспользоваться. Исключением являются дроби с одинаковыми знаменателями, которые требуется вычитать или суммировать. Такие дроби можно сократить после выполнения необходимых действий.

Приведение подобных

Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.

Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.

В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.

Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.

К примеру, приведем слагаемые:

2 a + 3 b - a + 8 b + 7 a = 8 a + 11 b

Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.

Рассмотрим выражение с квадратной степенью:

Здесь число 3 является коэффициентом.

Разложение на множители

Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

4 x 2 - 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 - 4 x y + 4 y 2 = 4 x - 2 y 2

В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.

Сокращение дроби

В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.

Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:

разложение на множители числителя и знаменателя;
при наличии в числителе и знаменателе общих множителей их допустимо исключить из выражения.

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.

Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.

Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:

a b + c d = a · d + c · b b · d ;

a b - c d = a · d - c · b b · d

Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:

Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:

2 · 4 - 1 · 3 3 · 4 = 5 12

В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:

3 · 3 + 2 · 4 - 5 · 12 24 = - 43 24

В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:

3 4 7 - 1 2 3 = 25 · 3 7 - 5 · 7 3 = 75 - 35 21 = 40 21

Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:

определить общий множитель;
умножить каждую дробь на недостающий множитель;
сложить или вычесть числители.

Здесь общий множитель равен 12. Тогда:

a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12

Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:

a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12

Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:

разложение знаменателей на множители;
определение одинаковых множителей;
выделение всех общих множителей по одному разу;
умножение общих множителей на оставшиеся множители, которые не являются общими.

Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:

1 a b 2 + 1 a 2 b

Разложим знаменатели на множители:

a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b

Вычислим единые множители:

a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯

Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:

a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2

Общим знаменателем является a 2 b 2 . Умножим первую дробь на а, вторую — на b:

1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2

Умножение и деление дробей

Умножение и деление дробей выполняют таким образом:

a b · c d = a · c b · d ;

a b : c d = a · d b · c

Арифметические действия выполняют в следующем порядке:

вычисление степени;
умножение и деление;
сложение и вычитание.

Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.

2 + 3 2 - 16 2 1 - 8 5 3 3

Используя правило умножения и деления дробей, получим:

2 + 3 2 - 16 2 1 - 8 5 3 3 = 2 + 9 - 16 2 1 - 8 5 3 3 = - 5 2 1 - 8 5 3 3 = 25 · 1 - 8 5 3 3 = 25 · - 3 5 3 3 = 25 5 · - 3 5 3 3 = 5 · - 3 3 3 = 5 · - 1 3 = - 5 3 = - 125

Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.

Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.

Попробуем упростить выражение:

x y - y x · 5 x y x + y

Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:

x · x y - y · y x = x · x - y · y y x = x 2 - y 2 y x = x - y x + y y x

Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:

x y - y x · 5 x y x + y = x - y x + y y x · 5 x y x + y

x - y x + y y x · 5 x y x + y = x - y x + y · 5 x y y x x + y

x - y x + y · 5 x y y x x + y = 5 x - y

Пояснения на примерах

Требуется упростить выражения:

a - 2 b + 3 b + 6 a ;

a + a b - 3 a + 2 b a ;

a 2 b + a b 2 - a b + 2 a b 2 .

Приведем подобные и упростим выражения:

a ¯ - 2 b ¯ ¯ + 3 b ¯ ¯ + 6 a ¯ = 7 a + b

a ¯ + a b ¯ ¯ - 3 a ¯ + 2 b a ¯ ¯ = - 2 a + 3 a b

Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:

В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.

a 2 b + a b 2 ¯ - a b + 2 a b 2 ¯ = a 2 b + 3 ¯ a b 2 ¯ - a b .

Требуется упростить выражения:

a 3 b 4 - 3 a b 2 + 8 a 2 b 3

4 x 2 - 16 x y + 16 y 2

a 2 + 6 a y + 9 y 2 - 4

Путем разложения на множители упростим данные выражения:

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

a 3 b 4 - 3 a b 2 + 8 a 2 b 3 = a b 2 a 2 b 2 - 3 + 8 a b

4 x 2 - 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 - 4 x y + 4 y 2 = 4 x - 2 y 2

a 2 + 6 a y + 9 y 2 - 4 = a + 3 y 2 - 2 2 = a + 3 y - 2 a + 3 y + 2

a 2 - b 2 a 2 + 2 a b + b 2

72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

a 2 - b 2 a 2 + 2 a b + b 2 = a - b a + b a + b 2 = a - b a + b a + b a + b = a - b a + b

x 2 + 2 x y + y 2 x 2 - y 2

x 2 y - 4 y x 2 - 4 x + 4

a 3 - b 3 a 2 + a b + b 2

x 2 - 1 x - 1 = x 2 x = x

В первую очередь выполним разложение на множители:

x 2 - 1 x - 1 = x - 1 x + 1 x - 1 = x + 1

x 2 + 2 x y + y 2 x 2 - y 2 = x + y 2 : x + y x - y x + y : x + y = x + y x - y

x 2 y - 4 y x 2 - 4 x + 4 = y x 2 - 4 x - 2 2 = y x - 2 x + 2 x - 2 2 = y x + 2 x - 2

a 3 - b 3 a 2 + a b + b 2 = a - b a 2 + a b + b 2 a 2 + a b + b 2 = a - b .

Дано выражение, которое требуется упростить:

1 x y - 2 x 2 - x 4 x 2 - y 2

В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:

1 x y - 2 x 2 - x 4 x 2 - y 2 = 1 x y - 2 x - x 2 x - y 2 x + y

Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:

y - 2 x = - 2 x - y

1 x y - 2 x 2 - x 4 x 2 - y 2 = 1 x y - 2 x - x 2 x - y 2 x + y = = 1 x y - 2 x - x - y - 2 x 2 x + y = 1 x y - 2 x + x y - 2 x 2 x + y

Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:

1 x y - 2 x + x y - 2 x 2 x + y = 2 x + y + x 2 x y - 2 x 2 x + y = x 2 + 2 x + y x y 2 - 4 x 2

Ответ: x 2 + 2 x + y x y 2 - 4 x 2

x 8 - x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4

Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:

x 8 - x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 - x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4

Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2

Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:

x 8 - x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 - x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 - x x 2 + 2 x + 4 + + 1 · 2 - x x 2 + 2 x + 4 = x + 2 - x 2 - x x 2 + 2 x + 4 = 2 8 - x 3

Требуется упростить выражения:

3 a + 1 4 + 2 a - 3 10

2 x 2 - 5 3 + 3 x + 2 2 - 2 x 2 - 2 x - 1 4

5 a b - 3 · 2 a b 15 = 5 a b - 6 a b 15 = - a b 15

5 3 a + 1 + 2 2 a - 3 20 = 15 a + 5 + 4 a - 6 20 = 19 a - 1 20

4 2 x 2 - 5 + 6 3 x + 2 - 3 2 x 2 - 2 x - 1 12 = = 8 x 2 ¯ - 20 ¯ ¯ + 18 x ¯ ¯ ¯ + 12 ¯ ¯ - 6 x 2 ¯ + 6 x ¯ ¯ ¯ + 3 ¯ ¯ 12 = 2 x 2 - 5 + 24 x 12

Дано выражение, которое требуется упростить:

1 a 2 x 2 b 3 y - 1 a x 3 b 2 y 4

При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:

a во второй степени;

x в третьей степени;

b в третьей степени;

y в четвертой степени.

В результате получим:

1 · x · y 3 a 2 x 2 b 3 y - 1 · a · b a x 3 b 2 y 4 = x y 3 - a b a 2 x 3 b 3 y 4

Ответ: x y 3 - a b a 2 x 3 b 3 y 4

Нужно упростить выражение:

t + 3 3 t - 1 + t + 3 t + 1 : t 2 + 3 t 1 - 3 t + t 2 + 3 t + 1

Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.

Выглядит этот алгоритм таким образом:

t + 3 3 t - 1 + t + 3 t + 1 ⏞ 1 : t 2 + 3 t 1 - 3 t ⏞ 2 + t 2 + 3 t + 1 ⏞ 3 .

t + 3 · t + 1 3 t - 1 + t + 3 · 3 t - 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 - 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t + 3 t + 1 + t + 3 3 t - 1 3 t - 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 - 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t 2 + 3 t + t + 3 + 3 t 2 + 9 t - t - 3 3 t - 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 - 3 t + t 2 + 3 t + 1 =

4 t 2 + 12 t 3 t - 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 - 3 t + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 3 t - 1 t + 1 : t t + 3 1 - 3 t + t 2 + 3 t + 1 = .

= 4 t t + 3 3 t - 1 t + 1 · 1 - 3 t t t + 3 + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 · 1 - 3 t - 1 3 t - 1 t + 1 · t t + 3 + + t 2 + 3 t + 1 = - 4 t + 1 + t 2 + 3 t + 1 = - 4 + t 2 + 3 t + 1 = t 2 - 1 t + 1 = t - 1 t + 1 t + 1 = t - 1

Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил. Но если вдруг что-то еще непонятно - попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических действий без скобок:

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.

В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Дробная черта

Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:

13 + 2	= (13 + 2) : (10 - 7).
10 - 7

Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:

нельзя заменить на

потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.

20 : 4(2 + 3) ≠	20	;
	4(2 + 3)

20	= 20 : (4(2 + 3)).
4(2 + 3)

Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.

По каким правилам упрощают числовые выражения без скобок?

Сначала умножение или деление, а потом всё остальное.

СРОЧНО?

Придумайте и запишите какое нибудь выражение, числовое выражение, буквенное выражение, равенство, уравнение, числовое неравенство, неравенство с буквой.

Привет ребят?

Расскажите, как раскрывать скобки и упрощать выражения.

Объясните, в чем особенность раскрытия скобок, перед которыми стоит отрицательный числовой множитель?

Объясните, в чем особенность раскрытия скобок, перед которыми стоит отрицательный числовой множитель.

Какие выражения можно записать без скобок (53 + 8)×9?

Какие выражения можно записать без скобок (53 + 8)×9.

По какому правилу записан ряд буквенных выражений?

Запиши еще три выражения по тому же правилу.

1)a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + Доп.

Задания Составь числовые ряды если a = 5, a = 3.

Назовите примеры числовых выражений?

Назовите примеры числовых выражений.

Как найти значения числового выражения?

Какие выражения называют буквенными?

Приведите пример буквенного выражения.

Расскажи по какому правилу работает вычислительная машина если она вычисляет значение числового выражения ?

Расскажи по какому правилу работает вычислительная машина если она вычисляет значение числового выражения ?

+ ( 13 - 5) после того как в нее поступает число.

По какому правилу составлен числовой ряд 17 26 ?

По какому правилу составлен числовой ряд 17 26 .

Как научиться упрощать выражения объяснения с примером?

Как научиться упрощать выражения объяснения с примером.

Как правельно упрощать выражения ?

546÷7 = 78л солодкої води 546 + 78 = 624л всього літрів завезли до супермаркету.

В) составляют обратное уравнение 3 * х = 21 х = 21 : 3 х = 7.

Ух, с таким течением никргда. 72км / 6ч = 12км / ч и течение 62км / ч течение больше скорости.

Это элементарное неравенство.

Х = 11 х = 10 а = 12 d = 11 x = 34 x = 28.

90 * 3 = 270 (км) - проехал 500 - 270 = 230 (км) - осталось Ответ : 230 километров.

Х = 8 * 6, 5 : 5, 2 Сможешь посчитать сам(а).

Найти : угол ADC 1) Т. К. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов следует Угол CAD + угол ADC + Угол DCA = 180 2) угол ADC = 180 - (CAD + DCA) 180 - (30 + 80) = 70 градусов - угол ADC.

По свойству треугольника сумма всех углов равна 180 градусов.

© 2000-2022. При полном или частичном использовании материалов ссылка обязательна. 16+
Сайт защищён технологией reCAPTCHA, к которой применяются Политика конфиденциальности и Условия использования от Google.

Читайте также: