План урока схема горнера
Обновлено: 05.07.2024
Цель урока: Познакомить учащихся с методом решения уравнений, основанном на применении теоремы Безу. Научить использовать его при решении уравнений.
Задачи: вырабатывается умение: логически мыслить, анализировать, решать уравнения высших степеней.
Ход урока
1. Проверить усвоение изученного.
Повторить алгоритм деления многочлена на многочлен.
а) Выполнить деление:
(х 3 -4х 2 -11х+30): (х-2)
б) Найти значение многочлена
х 3 -4х 2 -11х+30 при х=2
в) Выполнить деление
(х 3 -4х 2 -11х+30): (х-3)
г) Найти значение многочлена
х 3 -4х 2 -11х+30 при х=3
2. Изучение нового материала
Любой многочлен R(x) можно представить в виде:
P(x)= (х-а) Q(х) + r, где r=P(a)
Пример 1. Найти остаток от деления х 4 -6х 3 +8 на х+2
Теорема Безу. Если уравнение а 0 х n + a 1 x n -1 + … + a n-1 x+a n = 0,
где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.
Пример 2. Решите уравнение
х 3 -8х 2 +19х-12=0
Свободный член – 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.
При x=1 значение многочлена равно 0. Это означает, что 1 является корнем уравнения, а х 3 -8х 2 +19х-12 делится на x-1.
Выполнив деление, получим уравнение х 2 -7х+12=0 , решая которое, получим что x=3 или x=4.
Сформулировать обобщенную теорему Безу
3. Решение задач.
1) Решить уравнения:
а) х 3 -3х 2 -4х+12=0,
б) х 3 +4х 2 +5х+2=0,
в) х 4 +4х 3 +х 2 -12х-12=0,
г) х 4 +4х 3 -х 2 -16х-12=0.
2) Доказать, что уравнение не имеет целых корней:
в) х 4 +х 3 +х 2 +х+1=0.
3) Уравнение х 3 +17х 2 +bх-17=0 имеет три различных целях корня. Найти b
Какие уравнения можно решить с помощью теоремы Безу? Можно ли решить уравнение этим методом, если коэффициенты дробные? Какие еще методы применяются при решении таких уравнений?
Домашнее задание. Выучить теорему Безу.
1) Решить уравнение:
а) х 3 +3х 2 -5х-10=0,
б) х 4 -5х 3 +11х 2 -25х+30=0,
в) х 4 +3х 2 -3х 3 +12х-28=0.
2) Решить уравнение двумя способами:
а) х 3 -5х 2 -4х+20=0,
б) х 3 -3х 2 -3х+1=0,
в) 6х 4 -35х 3 +62х 2 -35х+6=0.
Тема урока: Дробно-рациональные уравнения.
Цель урока: Познакомить учащихся с различными методами решения дробно-рациональных уравнений. Научить правильно выбирать метод решения уравнений.
Задачи: выработать умение: логически мыслить, анализировать, пользоваться методом интервалов.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
Проверить решение двух уравнений:
уравнение решается по общей схеме.
Вопрос: как лучше выполнить умножение (х-2) 2 (х+2) 2 .
Выбрать более простой способ.
Вопрос: можно ли это уравнение с помощью замены привести к уравнению вида а)?
2. Изучение нового материала.
Рассмотреть на примерах различные методы решения дробно-рациональных уравнений.
1) Общая схема решения уравнения: . Уравнение равносильно системе:
Пример 1 . Решить уравнение:
2) Метод замены переменных.
имерППППппррр Пример 2 . Решить уравнение:
Замена приводит к квадратному уравнению , которое имеет корни: t 1 =0,5; t 2 =2. Решая далее уравнения:
получим корни заданного уравнения: ; ; 1; 4.
3) Применение основного свойства дроби
Пример 3. Решить уравнение
Замечаем, что повторяется выражение x 2 +15, но замена: t= x 2 +15 не приводит к более простому уравнению.
Проверим, что 0 не является решением уравнения и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x. Получим уравнение:
Далее делаем замену: и получаем уравнение:
Откуда t=7 или t=14. Решая уравнения:
и , получим корни уравнения: и .
Заметим, что если 0 является решением, то его следует записать в ответ.
3. Решение задач.
4. Итоги урока. Какие методы можно применять при решении дробно-рациональных уравнений?
5. Домашнее задание
Творческое задание: решить уравнение:
Самостоятельная работа 1
1. Преобразовать в многочлен:
2. Разложить на множители:
а) 27х 3 + 108х 2 +144х + 64,
3. Разделить многочлен на многочлен:
а) (х 3 + 8х 2 + 11х – 20) : (х + 5),
в) (х 3 + 2х 2 – 7х – 14) : (х + 2),
с) (2х 4 + 4х 3 – 11х 2 – 10х +15) : (2х 2 – 5).
1. Преобразовать в многочлен:
2. Разложить на множители:
а) 8х 3 – 60х 2 +150х – 125,
3. Разделить многочлен на многочлен:
а) (х 3 - 7х 2 + 14х – 8) : (х – 2),
в) (х 3 + 4х 2 – 5х – 20) : (х + 4),
Самостоятельная работа 2
1. Сократить дробь: .
2. Выделить целую часть: а) ; в) .
3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:
а) х 3 – 6х 2 + 11х – 6 = 0,
в) х 3 – 5х 2 – 2х + 24 = 0,
с) х 4 + 3х 3 – 13х 2 – 17х + 26 = 0.
х 3 + 9х 2 + 27х + 27
1. Сократить дробь: х 3 + 27 .
х 4 + 5х – 2 х 5 + 4
2. Выделить целую часть: а) х – 3 ; в) х 3 – 2х + 1 .
3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:
а) х 3 – 7х 2 + 14х – 8 = 0,
в) х 3 – х 2 – 14 х + 24 = 0,
с) х 4 + 4х 3 – 9х 2 – 16х + 20 = 0.
Самостоятельная работа 3
1. Решить уравнения:
г) (х +2) (х + 4) (х + 6) (х + 8) = –15,
1. Решить уравнения:
в) (х 2 +3х – 4) (х 2 +3х –7 ) = 18,
г) (х – 2) (х – 4) (х – 6) (х – 8) = –15,
Самостоятельная работа № 4
Решить возвратные уравнения:
4х 3 – 5х 2 – 5х + 4 = 0,
3х 4 + 5х 3 – + 5х + 3 = 0.
Решить однородные уравнения:
3(х 2 – 5) 2 + 4(х 2 – 5) (х + 7) – 7 (х + 7) 2 = 0,
(х – 2) 4 + 5(х + 2) 4 = 6(х 2 – 4) 2 .
Решить возвратные уравнения:
5х 3 – 4х 2 – 4х + 5 = 0,
2х 4 – 5х 3 + 4х 2 – 5х + 2 = 0.
Решить однородные уравнения:
3(х 2 + 5) 2 + 4(х 2 + 5) (х – 7) – 7 (х – 7) 2 = 0,
(х-3) 4 + 4(х + 3) 4 = 5(х 2 – 9) 2 .
Самостоятельная работа № 5
Решить дробно-рациональные уравнения:
|2х – 3| + |2х – 5| = 2,
Решить дробно-рациональные уравнения:
|2х + 3| + |2х – 5| = 8,
Самостоятельная работа № 6
sin 2x – 3cos 4x = 4,
sin x = х 2 + 4х + 5.
Найти значения а, при которых уравнение
3sin x – 7 cos x = a
sin 2x – 4 cos 4x = 5,
cos x = х 2 + 6х + 10.
Найти значения а, при которых уравнение
4 sin x – 5 cos x = a
Самостоятельная работа № 7
Решить систему уравнений:
а) х 2 + ху + у 2 = 37,
б) 5х 2 – 7ху + 2 у 2 = 0,
в) х 2 + у 2 + 3ху = 31,
Решить систему уравнений:
а) х 2 - ху + у 2 = 21,
б) 4х 2 – 9ху + 5у 2 = 0,
в) х 2 + у 2 + 5ху = 60,
Самостоятельная работа 8
Решить систему уравнений:
Решить систему уравнений:
Самостоятельная работа 9
1. Решить неравенства:
2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:
а) 2х – 5у + 10 0,
1. Решить неравенства:
2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:
Решить уравнение: х 3 – 8х 2 + 19х – 12 = 0.
Какое уравнение называется следствием из другого уравнения?
Какое из данных уравнений является следствием другого уравнения:
2(х + 3) + х (х – 4) = (х – 4) (х + 3 )
Какое уравнение называется однородным? Привести пример уравнения с двумя переменными. Решить уравнение:
2(х 2 – 1) 2 – 5(х 2 – 1) (х 2 + 4х) + 2 (х 2 + 4х) 2 = 0.
5х 3 – 6х 2 – 6х + 5 = 0,
2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0.
Обобщенная теорема Безу.
Решить уравнение: 2х 3 + 5х 2 – х – 1 = 0.
Какие уравнения называются равносильными? Привести пример.
Равносильны ли уравнения:
Какие уравнения называются возвратными? Решить уравнения:
12х 4 – 20х 3 – х 2 – 20х + 12 = 0,
х 3 – 5х 2 – 5х + 1 = 0.
Решить уравнение: 2(х 2 – 4) 2 + 5(х 2 – 4) (х 2 – 2х) – 3(х 2 – 2х) 2 .
Дробно-рациональные уравнения. Методы решения. Решить уравнения:
Что значит решить уравнения с параметрами? Решить уравнения:
х 2 – 2ах + а 2 – 1 = 0;
(а 2 – 9) · х + а + 3 = 0.
Решить уравнения, содержащие знаки модуля:
Методы решения уравнений, содержащих знаки модуля. Решить уравнения:
|х 2 – 5х| = 5х - х 2 ,
Метод оценки. Решить уравнения:
а) | х 2 – 5 х - 6| + = 0,
б) 3 sin 4х – 4 cоs 2х = 7.
х 2 – 6ах + 9а 2 – 2а + 2 = 0.
Методы решения систем уравнений с двумя переменными.
Решить системы уравнений:
а) х 2 + у 2 – ху = 13,
б) (3х – 4) 2 + (5у – 2) 2 = 328,
(3х – 4) (5у – 2) = 36;
в) х 2 – 4ху + 3у 2 = 0,
Метод интервалов. Решить неравенство:
Изобразить множество решений неравенства:
б) (х – 3) 2 + (у + 2) 2 ≤ 9.
Методы решения систем уравнений с двумя переменными.
Решить системы уравнений:
а) х 2 + у 2 + 3ху = 31.
б) (5х – 4) 2 + (3у + 2) 2 = 65,
(5х – 4) (3у + 2) = 36;
в) х 2 + 5ху – 6у 2 = 0,
Метод интервалов. Решить неравенство:
Изобразить множество решений неравенства:
б) (х + 2) 2 + (у – 3) 2 ≥ 16.
Похожие документы:
. Урок № 7-8. Тема урока: Повторение. Квадратные корни. Цели урока . сделает в рабочей тетради самостоятельно, без ошибок). 1) Найдите значение корня: а) ; б) ; . теореме, обратной теореме Виета, корни . 2. 3; ; Разложить многочлен на множители; р=3. Отрезок .
Урок №1 Тема : Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения
. корней; В) не имеет корней; Г) множество. Г) множество. УРОК №5 Тема: Теорема Виета Цели урока: Ознакомить учащихся с теоремой . работать по трое суток без отдыха. Он был . : определение многочлена, разложение многочленов на множитель, основные свойства .
Примерная учебная программа по алгебре и началам анализа для 10 -11 классов (профильный уровень) Пояснительная записка
. темы формулируются и доказываются: две теоремы о делении многочленов с остатком; теорема Безу; теоремы о нахождении рациональных и целых корней многочлена; основная теорема . характера. номер урока при 5ч номер урока при 6ч Тема урока § количество часов .
На уроках математики (4)
Тип урока: Урок усвоения и закрепления первичных знаний.
- Ознакомить учеников с понятием корней многочлена, научить находить их. Усовершенствовать навыки применения схемы Горнера по разложению многочлена по степеням и деления многочлена на двучлен.
- Научиться находить корни уравнения с помощью схемы Горнера.
- Развивать абстрактное мышление.
- Воспитывать вычислительную культуру.
- Развитие межпредметных связей.
1. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
Пусть Fn(x)= a n xn +a n-1x n-1 +. + a1x +a0 -многочлен относительно x степени n, где a0, a1. an –данные числа, причем a0 не равно 0. Если многочлен Fn(x) разделить с остатком на двучлен x-a, то частное (неполное частное) есть многочлен Qn-1(x) степени n-1, остаток R есть число, при этом справедливо равенство Fn(x)=(x-a) Qn-1(x) +R. Многочлен Fn(x) делится нацело на двучлен (x-a) только в случае R=0.
Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена Fn(x) на двучлен (x-a) равен значению многочлена Fn(x) при x=a, т.е. R= Pn(a).
Немного истории. Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывается в виде таблицы, которая называется схемой Горнера.
Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену x–a.
Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - а (схема Горнера).
Вывод общей формулы для схемы Горнера.
Разделить с остатком многочлен f(x) на двучлен (x-c) значит найти такой многочлен q(x) и такое число r, что f(x)=(x-c)q(x)+r
Запишем это равенство подробно:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
x n : f0 = q0 => q0 = f0 x n-1 : f1 = q1 - c q0 => q1 = f1 + c q0 x n-2 : f2 = q2 - c q1 => q2 = f2 + c q1 . . x 0 : fn = qn - c q n-1 => qn = fn + c qn-1.
Демонстрация схемы Горнера на примере.
Задание 1. С помощью схемы Горнера разделим с остатком многочлен f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 на двучлен x-2.
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, где g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остаток.
Разложение многочлена по степеням двучлена.
Используя схему Горнера, разложим многочлен f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степеням двучлена (x+2).
В результате должны получить разложение f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2) 2 -2(x+2)+12
Схему Горнера часто используют при решении уравнений третьей, четвертой и выших степеней, когда удобно разложить многочлен на двучлен x-a. Число a называют корнем многочлена Fn(x) = f0x n + f1 x n-1 + f2 x n-2 + . +fn-1 x + fn , если при x=a значение многочлена Fn(x) равно нулю: Fn(a)=0, т.е. если многочлен делится нацело на двучлен x-a.
Например, число 2 является корнем многочлена F3(x)=3x 3 -2x-20, так как F3(2)=0. это означает. Что разложение этого многочлена на множители содержит множитель x-2.
Любой многочлен Fn(x) степени n 1 может иметь не более n действительных корней.
Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Если старший коэффициент уравнения равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.
Закрепление изученного материала.
Для закрепления нового материала учащимся предлагается выполнить номера из учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).
(2 ученика решают у доски, а остальные, решив, в тетради задания сверяются с ответами на доске).
Подведение итогов.
Поняв структуру и принцип действия схемы Горнера, ее можно использовать и на уроках информатики, когда рассматривается вопрос о переводе целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. В основе перевода из одной системы счисления в другую лежит следующая общая теорема
Теорема. Для перевода целого числа Ap из p-ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо Ap последовательно делить с остатком на число d, записанное в той же p-ичной системе, до тех пор, пока полученное частное не станет равным нулю. Остатки от деления при этом будут являться d-ичными цифрами числа Ad, начиная от младшего разряда к старшему. Все действия необходимо проводить в p-ичной системе счисления. Для человека данное правило удобно лишь при p = 10, т.е. при переводе из десятичной системы. Что касается компьютера, то ему, напротив, “удобнее” производить вычисления в двоичной системе. Поэтому для перевода “2 в 10” используется последовательное деление на десять в двоичной системе, а “10 в 2” — сложение степеней десятки. Для оптимизации вычислений процедуры “10 в 2” компьютер использует экономную вычислительную схему Горнера. [1]
Домашнее задание. Предлагается выполнить два задание.
1-е. Используя схему Горнера разделить многочлен f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на двучлен (x-3).
2-е. Найти целые корни многочлена f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6.(учитывая, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена)
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера;
формировать умения и навыки в нахождении корней многочленов;
научить обобщать и систематизировать материал;
развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;
воспитывать требовательность к себе, усердие.
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся
1. Проверка домашнего задания.
а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске).
Решение:
НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.
Ответ: x 2 – 1.
б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется фронтально). [1]
Решение. По теореме Безу, если f(1) = 0, то f(x) делится на (x – 1). Проверим это.
f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 2 – 3 x + 2).
(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).
P(x) = (x – 1) Q 1(x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2(x) + 5 (2)
Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3, P(2) = 5.
Пусть P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b или
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)
Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.
Ответ: 2 x + 1.
г) При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.
(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).
Решение. При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).
Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.
Ответ: m = 1, n = –30.
2. Теоретический опрос.
а) Как читается теорема Безу?
б) Привести пример, где используется теорема Безу.
в) Из правила перемножения двух многочленов как найти старший коэффициент произведения?
г) Имеет ли степень нулевой многочлен?
д) Найти степень многочлена (3 x 499 – 5 x 400 + 7 x 372 – 11) 4 + (x – 1) 2006 . (Ответ: десятая)
е) Приведите многочлен (x 2 – 1) (x 2005 + x 2003 + x 2001 + … + x) к стандартному виду. (Ответ: x 2007 – 1).
III. Подготовка к изучению нового материала
В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:
Значение f(0) равно свободному члену многочлена.
Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Нахождение значений многочлена не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, чтобы вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7. Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по следующему алгоритму:
1. Строка коэффициентов записывается первой.
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (в нашем случае число 7), при котором вычисляем значение многочлена.
Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.
2 • 7 – 9 = 5, во второй пустой клетке ставится число 5 • 7 – 32 = 3, в третьей ставится число 3 • 7 + 0 = 21, а в последней 21 • 7 – 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:
Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.
IV. Закрепление изученного материала
Рассмотрим решение домашнего задания № 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.
f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0. [2]
V. Нахождение корней многочлена
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением степени” – можно найти все корни многочлена.
В частности, подобрав один корень кубического уравнения, тем самым понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.
При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера. Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).
Пример 1. Найти корни многочлена f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).
Решение. Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.
x = –1 — корень
второй раз x = –1 — не корень
проверим x = 3
x = 3 – корень.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,
Замечание. При нахождении корней многочлена не следует проводить лишних точных вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые оценки приводят к нужному результату.
Например, схема Горнера для проверки значений 31 и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 может выглядеть следующим образом:
31 и – 31 не являются корнями многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31.
Пример 2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.
Решение. Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Заметим, что – 1 и 1 не являются корнями многочлена. Следует проверить остальные делители.
Замечание. Очень важно учащимся овладеть “длинной” схемой Горнера. В данном примере как раз удобна “длинная” схема.
x 2 + 57 x + 3 129 = 0, корней нет.
Ответ: корней нет. [2]
VI. Самостоятельная работа
На доске три человека решают для последующей проверки.
Найти корни многочлена по схеме Горнера:
а) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;
Ответ: – 1; 2; – 3.
б) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;
Ответ: 1; 2; 3.
в) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.
Ответ:
(Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки).
VII. Исследовательская работа учащихся
– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?
(Ответы учащихся).
– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.
– В каких числах получались ответы?
(Ответы учащихся).
– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.
Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.
Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.
- Методы решения уравнений высших степеней различными способами.
- Метод замены переменной.
Решение. Введем новую переменную, обозначив х 2 -9=t, тогда получаем:
Возвращаемся к “старой” переменной х 2 -9=1, х=± √ 10; х 2 -9=7, х=±4.
Ответ: х 1 =+ √ 10; х 2 =- √ 10; х 3 =-4; х 4 =4.
Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
Решение . Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:
(х 2 + 3х)(x 2 + 3x + 2) = 24
Вводим замену: x 2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t 2 + 2t – 24 = 0, t 1 = -6; t 2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x 2 + 3x = -6, x 2 + 3x + 6 = 0, D
Уравнение x 2 + 3x = 4 имеет корни х 1 = -4, х 2 = 1.
Ответ : х 1 = -4, х 2 = 1.
Пример 3. Дано: (х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2
Решение . Разложим на множители х 2 + 15 + 50.
х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).
Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2
Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х 2 + х – 20)( х 2 + 8х – 20) = 18х 2
Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х 2 . Получим:
Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t 2 +9t-10=0, t 1 = -10, t 2 = 1.
Вернемся к исходной переменной:
Решим первое уравнение х 2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х 1 = ; х 2 =
Решим второе уравнение х 2 - х – 20 = 0, D =81, х 3 = - 4, х 4 = 5.
Ответ : х 1 = ; х 2 = ; х 3 = - 4, х 4 = 5.
Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х 4 +324=х 4 +18 2 ,
(х 2 +18) 2 =х 4 +36х 2 +324, тогда х 4 +324= х 4 +36х 2 +324-36х 2 . Получим:
Приведем левую и правую части к одному знаменателю:
Приравняем к нулю. Получим:
Решим уравнение в числителе методом группировки:
Разложим на множители , приравняв к нулю:
, введем новую переменную: х 2 =t, получаем:
х 2 -25=0, или х 2 +6х+18=0
Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.
Пример 5. Дано: (х-1) 4 -х 2 +2х-73
(х-1) 4 -(х 2 -2х+1)-72, (х-1) 4 -(х-1) 2 -72.
Введем новую переменную: (х-1) 2 =t, t 2 -t-72=0, D=1+288=289
х 2 -2х+1-9=0, х 2 -2х+1+8=0 ,
х 2 -2х-8=0 х 2 -2х+9=0
D=4+32=36 D=4 - 36= -32, D
Пример 6. Дано: (х 2 -2х-1) 2 +3х 2 -6х-13=0
Решение. Выполним преобразования: (х 2 -2х-1) 2 +3(х 2 -2х-1)-10=0.
Введем новую переменную: х 2 -2х-1=t
х 2 -2х-1+5=0, х 2 -2х-1-2=0 ,
х 2 -2х+4=0 х 2 -2х-3=0
- не является корнем уравнения
Разделим обе части уравнения на (х-1) 2 , получим
Решение . В левой части выделим полный квадрат разности:
Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:
Вводим замену: t 2 + 18t – 40 = 0; t 1 = -20, t 2 = 2.
Вернемся к “старой” переменной, получим:
Решение . х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:
Решим это уравнение:
Вернемся к “старой” переменной:
Решаем первое уравнение х 2 – 14х + 15 = 0
Второе уравнение не имеет действительных корней.
Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:
Введем новые переменные: (х-1) 2 =а; (х+1) 2 =b, получаем:
а 2 +9b 2 -10аb=0, поделим на а 2 , 1+9( 2 -10( ), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:
9t 2 -10t+1=0, D=100-36=64, t 1,2 =
Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:
Проводим преобразования и получаем:
х 1 =-2. Введем замену: х 2 +4х=t, тогда
Решая уравнения, получаем:
Подставляем значение t, получаем уравнение:
х 2,3 = Ответ: х 1 =-2; х 2 =-2+ ; х 3 = -2- .
Пример 2. Дано: х 4 +2х 3 +2х+1=0
Решение. Поделим на уравнение на х 2 , получим:
х 2 +2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:
вводим новую переменную: t= х+ , t 2 +2t-2=0, D=4+8=12,
x 2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2
x 2 + (1+ )x +1 = 0, D= ,
Пример 3. Дано: х 4 +х 3 -72х 2 +9х+81=0
Решение. Поделим уравнение на х 2 и сгруппируем:
(х 2 + +(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:
(х+ ) 2 +( х+ )-90=0, вводим новую переменную: t= х+ , решаем уравнение:
t 2 +t-90=0, D=1+360=361,
t 1,2 = Решаем уравнения, подставляя значения t:
х 2 +10х+9=0, D=100-36=64
х 2 -9х+9=0, D=81-36=45
Ответ: х 1 х 2 =-1; х 3,4 =
Определение. Уравнение р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =0, где n – натуральное число, а - произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени .
Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n на двучлен х-а равен Р(а).
Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:
Если р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =(b 0 x n-1 +b 1 x n-2 +…+b n-2 x+b n-1 )(x-a)
Читайте также: