От каких величин и как зависит период колебаний пружинного маятника кратко

Обновлено: 07.07.2024

Механическая колебательная система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) $k$, один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы $m$, называется пружинным маятником .

Рассмотрим простейший пружинный маятник — движущееся по горизонтальной плоскости твёрдое тело (груз), прикреплённое пружиной к стене (рис. $1$). Допустим, что силы трения не оказывают существенного влияния на движение груза.

Первоначально пружина не деформирована (не растянута и не сжата), поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на груз не действуют. Точка О — положение равновесия груза.

Переместим груз вправо. Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости, направленная влево, к положению равновесия, и по модулю равная:

Если отпустить груз, то под действием силы упругости он начнёт ускоренно перемещаться влево, к точке $О$, по мере приближения к которой скорость груза будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения. При приближении к точке равновесия деформация пружины уменьшается, а значит, уменьшается и сила упругости. Так как груз имеет скорость при прохождении положения равновесия, то он по инерции продолжает свое движение влево. Теперь пружина начинает сжиматься (деформация сжатия), что приводит к возникновению силы упругости, направленной вправо, т.е. к положению равновесия. По мере возрастания степени деформации пружины сила растет и все больше тормозит движение груза. В конце концов, груз останавливается.

Но сила упругости, направленная к точке $О$, будет продолжать действовать, поэтому груз вновь придёт в движение в обратную сторону, вправо, и на обратном пути его скорость будет возрастать от нуля до максимального значения в точке $О$.

Движение груза от точки $О$ к крайней правой точке снова приведёт к растяжению пружины, опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение груза до полной его остановки.

В каждой точке траектории, кроме положения равновесия, на груз действует сила упругости пружины, которая направлена к положению равновесия.

$\overline<F> Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости$
со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):

здесь — коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T=2\pi \sqrt<\frac<m> >$

Примеры решения задач

Задание	На какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закрепленный на пружине жесткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?
Решение	Движение пружинного маятника происходит по гармоническому закону:

$x=A\sin \left(\omega t+<\varphi > _0\right)$

Начальная фаза колебаний в данном случае равна нулю, поэтому можно записать:

Положение равновесия тело проходит с максимальной скоростью. Найдем закон изменения скорости тела со временем:

откуда максимальное значение скорости:

$v_<max> =A\omega$

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T=2\pi \sqrt<\frac<m> >$

$\omega =\frac<2\pi > =\sqrt>$

Подставив значение циклической частоты в соотношение для максимальной скорости, получим:

$v_<max> =A\sqrt>$

$A=v_<max> \sqrt>$

Переведем единицы в систему СИ: масса груза г кг; коэффициент жесткости пружины кН/м Н/м.

$A=1\cdot \sqrt<\frac<0,64> >=0,04\ m=4\ cm\$

Задание	Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний маятника уменьшится в 1,5 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?
Решение	Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T=2\pi \sqrt<\frac<m> >$

Частота колебаний маятника:

$\nu =\frac =\frac<2\pi >\sqrt>\$

Частота колебаний маятника до того, как подвесили гирю:

$<\nu > _1=\frac<2\pi >\sqrt>\$

Частота колебаний маятника после того, как подвесили гирю:

$<\nu > _2=\frac<2\pi >\sqrt>\$

, т.е. можно записать:

$\sqrt >=1,5\sqrt>$

Возведем обе части в квадрат и найдем массу первоначального груза:

$\frac =^2\cdot \frac;$

$<1,5> ^2m=m+m_0;$

$m=\frac<m_0> \$

Переведем единицы в систему СИ: масса гири г кг.

$m=\frac<0,1> =0,08\ kg=80\ g$

Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.

Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:

где $<\omega >^2_0=\frac$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $<\omega >_0=\sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ - амплитуда колебаний; $<(\omega >_0t+\varphi )$ - фаза колебаний; $\varphi $ и $_1$ - начальные фазы колебаний.

Частота и период колебаний пружинного маятника

Косинус (синус) - периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($\nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Зная, что для пружинного маятника $<\omega >_0=\sqrt>$, период колебаний его определим как:

Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды. Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:

Примеры задач на период колебания пружинного маятника

Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $\Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $\Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:

Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:

\[F_u=k\Delta x\ \left(1.3\right).\]

Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $\frac$:

Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:

Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:

Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8\ \frac$:

Ответ. $T$=0,6 с

Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.

Решение.Период колебаний пружинного маятника равен:

Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:

Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

От каких величин зависит, а от каких не зависит период колебаний математического и пружинного маятника?

Период колебания – это физическая величина, показывающая время одного колебания . Обозначение – Т, единица этой величины – секунда (с).

Колебания пружинного происходят под днйствием силы упругости, а математического -под действием силы тяжести и упругости

Период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается. Период колебания математического маятника зависит от ускорения свободного падения

Период колебания математического маятника не зависит от массы груза, от амплитуды колебания (зависит от амплитуды колебания , но при БОЛЬШИХ УГЛАХ! углах отклонения груза)

Период колебания пружинного маятника зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается. Зависит от массы груза: с увеличением массы груза на пружине период колебания маятника

Читайте также: