Основные понятия математического анализа кратко
Обновлено: 05.07.2024
Математический анализ – раздел математики, изучающий функции и их обобщения методом пределов.
Математический анализ в широком понимании является весьма значительной частью математики, его методы широко используются в других разделах математики, в естественных и некоторых гуманитарных науках, а также в технике. Старинное название – анализ бесконечно малых. В классическом математическом анализе объектом изучения (анализа) являются функции. Способы их изучения базируются на понятии предела.
Математический анализ в узком понимании употребляется для наименования только основ математического анализа, которые изучаются в системе высшего (а частично, и среднего) образования. В них входят дифференциальное и интегральное исчисления, их обоснование и непосредственные приложения.
Функция – одно из основных понятий математики. Функцией называется правило (отображение, соответствие, закон) f, ставящее каждому элементу x из некоторого множества X в соответствие определённый элемент y из множества Y, который обозначают как f(x).
Предел числовой последовательности. Пусть дана числовая последовательность – функция f, ставящая каждому натуральному числу n из множества натуральных чисел N в соответствие определенный элемент y из множества действительных чисел R, который обозначим как
Действительное число c называется пределом последовательности , если для любого действительного числа ε > 0 существует такое число N, что для всех натуральных n > N выполняется неравенство , при этом пишут . Здесь указано, что n берутся достаточно большими, а близость y к c определяется модулем их разности.
Предел функции. Пусть функция f ставит каждому числу x из некоторого подмножества действительных чисел R в соответствие действительное число y = f(x). Действительное число b называется пределом функции f в точке a из R (при x стремящемся к a), если для любого действительного числа ε > 0 существует такое действительное число δ > 0, что для любого такого числа x, что 0 интегральных сумм в случае непрерывных функций дал в 1823 году О. Коши, а в случае произвольных функций в 1853 Б. Риман. Определённый им интеграл стали называть интеграл Римана . Если функция f на отрезке [a,b] интегрируема в смысле Римана и имеет на [a,b] первообразную F, то определения Ньютона и Римана приводят к одинаковому результату, т.е. верна формула которую называют формулой Ньютона-Лейбница. Существуют многочисленные обобщения понятия определённого интеграла, наиболее часто применяемым в математике является предложенное в 1902 году А. Лебегом обобщение, которое называют интегралом Лебега.
Математический анализ до XVII представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач; например, задачи на вычисление площадей фигур и объёмов тел с кривыми границами, работы переменной силы и т.д. Каждая задача или группа задач решалась своим методом, часто сложным и громоздким. Математический анализ в его современном понимании начал создаваться в XVII-XVIII веках в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других учёных. В XIX веке были четко сформулированы и изучены его основные понятия – предел, производная, касательная , дифференциал, интеграл, которые в дальнейшем в XX веке обобщались и развивались. Для современного математического анализа характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий и строгих доказательств основных утверждений о них можно решать разнообразные задачи теоретического и прикладного характера при помощи достаточно простых и чётких алгоритмов.
Из российских математиков в развитие математического анализа в XIX веке значительный вклад внесли М.В. Остроградский и П.Л. Чебышев, а в XX веке большой вклад в разные разделы математического анализа внесли математики московской математической школы, которую создали в 1920-ые годы в Московском университете Д.Ф. Егоров и Н.Н. Лузин.
Многих матанализ пугает. Но на самом деле, если вы понимаете, что такое математическая абстракция, то матанализа не стоит бояться. Математический анализ – это просто набор абстракций чуть более высоко уровня, чем алгебра. Ну а если понятие математической абстракции вам незнакомо, можете прочесть предыдущие урок, начиная с Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция .
Итак, прежде всего, давайте ответим на вопрос: А что же такое, математический анализ? А узком смысле слова математический анализ – это анализ бесконечно малых величин. В такой анализ входят, как правило, дифференциальные и интегральные исчисления. В более широком смысле, кроме дифференциалов и интегралов, в математический анализ входит:
· Теория функций. Это о том, что такое функция вообще (точное определение), какие бывают функции, что вообще можно делать с функциями, различные свойства функций, способы приближенного вычисления функций и многое другое.
· Гармоничный анализ. Здесь задача сводиться к исследованию гармонических функций (синусоида, например). Это про ряды Фурье и прочее тому подобное.
· Теория динамических систем. Это наука о том, как изменяются во времени различные системы с взаимосвязанными элементами, особенно механические системы. Как правило, для решения таких задач как раз и используют дифференциальные уравнения.
· Эргодическая теория. Здесь можно заметить, что динамические системы с определенной вероятностью повторяют свои состояния. Такое их свойство называют эргодичностью.
· Глобальный анализ. А вот это очень абстрактная абстракция. Гораздо абстрактнее, чем дифференциальные и интегральные уравнения, ибо в глобальном анализе они представлены на многообразиях пространств и векторных расстояниях.
· Нестандартный анализ. Это альтернативная теория, в которой бесконечно малые величины – это ни какие не переменные, а особый вид чисел. Считается, что нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные стандартной математике.
Ну, а теперь вернемся к основам математического анализа. Начнем с функций . Классическое определение гласит, что функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу второго множества соответствует один и только одни элемент из второго множества. Что такое множество, вы может узнать здесь: Математика для чайников. Глава 7. Множества . Обычно эти множества – это множества действительных чисел (но не всегда). Функция может быть и комплексная, и векторная, и даже матричная. А вообще соответствие (функцию) можно задать на любых множествах, даже самых экзотических.
Но мы с вами поговорим о числовых функциях. В данном случае это будет просто соответствие одних чисел (аргументов) другим числам (значениям). Множество аргументов называется областью определения функции, а множество значению – областью значений функции. Функцию можно задать в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы или в виде какого-то правила. Обычно математический анализ имеет дело с функцией, заданной в виде формулы.
Другой объект, немного похожий на функции, и который тоже может встретится в матанализе - это числовая последовательность . Классическое определение последовательности такое: последовательность - это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Соответственно, в случае числовой последовательности такими объектами являться числа. Есть еще строго определение. Оно звучит так: пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы.
Читайте также: