Объясните в чем заключается графический метод решения уравнений кратко

Обновлено: 04.07.2024

Завершая изучение курса алгебры, необходимо ещё раз остановиться на общих подходах к решению уравнений - это будет и подведением итогов, и хорошей подготовкой к предстоящим экзаменам.

Здесь мы остановимся на функционально-графическом методе решения уравнений. Этот метод замечательно прорабатывается в УМК А.Г.Мордковича “Алгебра и начала анализа”, в котором именно функционально-графическая линия выбрана в качестве приоритетной из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры.

Данный метод помогает найти точное или приближённое значения корней, позволяет найти количество корней уравнения. При построении графиков и решении уравнений мы используем свойства функций, поэтому метод и называется функционально-графическим.

В данном случае мы рассматриваем только решении уравнений, хотя с помощью данного метода могут решаться и системы уравнений, и неравенства, и системы неравенств.

Для решения уравнений “делим” его на две части, вводим две функции, строим их графики, используя свойства функций, находим координаты точек пересечения этих графиков – абсциссы этих точек и есть корни нашего уравнения. В процессе решения уравнений повторяются и свойства различных функций.

Приведённые ниже уравнения можно использовать для работы в классе, для домашних заданий, для самоподготовки и т.д.

Уравнения, решаемые функционально-графическим методом

1. Решение уравнений P(x) = 0, где Р(х) – многочлен, степень которого больше 2

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Решение уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Основное из них таково: по количеству точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) можно судить о количестве корней уравнения f(x)=g(x) , а по абсциссам точек пересечения можно судить о корнях этого уравнения. Проиллюстрируем сказанное.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .


Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Сколько точек пересечения мы видим? Две. Известное поведение графиков показательных функций и линейных функций позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения нет. Значит, графики функций и пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня. А каковы значения этих корней? Для ответа на этот вопрос определяем абсциссы точек пересечения графиков. По рисунку находим, что абсциссы точек пересечения есть −2 и 1 . Через проверку подстановкой убеждаемся, что это действительно корни уравнения :

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Докажем, что множество решений уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Для этого достаточно показать, во-первых, что если x0 – корень уравнения f(x)=g(x) , то x0 – это абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , и, во-вторых, если x0 – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , то x0 – корень уравнения f(x)=g(x) . Приступаем к доказательству.

Пусть x0 – корень уравнения f(x)=g(x) . Тогда f(x0)=g(x0) – верное числовое равенство. Это равенство можно трактовать так: значения функции y=f(x) и y=g(x) в точке x0 совпадают. А из этого следует, что x0 – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x0 – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Это означает, что значения функций y=f(x) и y=g(x) в точке x0 равны, значит, f(x0)=g(x0) . А из этого равенства следует, что x0 – корень уравнения f(x)=g(x) .

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x 2 +6·x−5 .

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1 , 2 и 2,7 . Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

  • Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
  • По чертежу определить все точки пересечения графиков:
    • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
    • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.

    Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

    Решение примеров


    Графический метод решения уравнений начинает входить в арсенал изучающих математику в 7 классе сразу же после знакомства с координатной плоскостью и самой первой функцией – линейной функцией y=k·x+b . Именно тогда мы сталкиваемся с заданиями, наподобие следующего: с помощью графика линейной функции y=2·x−6 определить, при каком значении x будет y=0 [1, с. 50-51]. Для ответа на поставленный вопрос мы строим график указанной линейной функции y=2·x−6 .

    По чертежу находим точку пересечения графика с осью Ox (ось Ox отвечает графику функции y=0 ), и определяем абсциссу точки пересечения: x=3 . По сути, мы решаем уравнение 2·x−6=0 графическим методом.


    Чуть позже в 7 классе изучается функция y=x 2 . После этого опять заходит разговор о графическом методе решения уравнений, но уже более детальный, где метод уже называется своим именем и дается его алгоритм [1, с. 149-151; 2, с. 109]. Там с его помощью решаются уравнения, одной части которых отвечает функция y=x 2 , а другой – линейная функция y=k·x+b . Например, уравнение x 2 =x+1 . Для его решения строятся в одной системе координат соответствующие графики функций y=x 2 и y=x+1 :


    Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .


    В 8 классе изучаются новые виды функций: y=k/x , квадратичная функция y=a·x 2 +b·x+c , . И, естественно, рассматривается графический метод решения соответствующих уравнений. Особенно тщательно разбирается графическое решение квадратных уравнений. В учебнике Мордковича А. Г. приведены аж пять способов графического решения уравнения x 2 −2·x−3=0 [2, с. 127-131].


    И так далее: изучаются функции , степенные функции, тригонометрические, показательные, логарифмические, …, - рассматривается решение соответствующих уравнений графическим методом. Так к концу школьного курса математики мы начинаем воспринимать графический метод решения уравнений как общий метод, позволяющий решать уравнения не только определенных видов, но и уравнения, в которых уживаются самые разнообразные функции: показательные с корнями, тригонометрические с логарифмическими и т.д. Покажем решение такого уравнения.


    Решите уравнение

    Аватар

    Графический метод решения уравнений, заключается в построении графиков функций, при этом точки пересечения данных графиков будут являться корнями уравнения.

    Аватар

    Чтобы решить систему уравнений графическим способом нужно построить графики уравнений, входящих в систему, на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

    Аватар

    Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого из уравнений и найти точки их пересечения. С помощью графического метода удобно находить количество решений системы. Конечно, можно найти и сами численные значения, но это удобно делать только в тех случаях, когда корни системы – целые числа.

    Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно решить намного легче и быстрее!

    С помощью графиков функций!

    Приступим? Начнем с решения уравнений!

    Решение уравнений и неравенств с помощью графиков — коротко о главном

    1. Выразим 𝑥 через 𝑦
    2. Определим тип функции
    3. Построим графики получившихся функций
    4. Найдем точки пересечения графиков
    5. Корректно запишем ответ (с учетом ОДЗ и знаков неравенств)
    6. Проверим ответ (подставим корни в уравнение или систему)

    Решение уравнений с помощью графиков

    Решение линейных уравнений

    Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

    Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.

    Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

    Итак, у тебя есть уравнение: \( \displaystyle 2 -10=2\)

    Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

    Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.

    Иными словами, у нас будет:

    А теперь строим. Что у тебя получилось?


    Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата \( \displaystyle x\) точки пересечения графиков:


    Наш ответ: \( \displaystyle x=6\)

    Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число \( \displaystyle 6\)!

    Вариант 2

    Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

    \( \displaystyle 2 -10=2\)

    В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так, как они сейчас есть:


    Что является решением на этот раз? Все верно. То же самое: координата \( \displaystyle x\) точки пересечения графиков:


    И снова наш ответ: \( \displaystyle x=6\).

    Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее… Например, графическое решение квадратных уравнений.

    Решение квадратных уравнений

    Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

    Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при умножении или возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет…

    Поэтому давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

    Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

    Вариант 1. Напрямую

    Просто строим параболу по данному уравнению: \( \displaystyle ^>+2 -8=0\)

    Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

    \( \displaystyle x=-\frac\)

    Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

    Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

    Точно такой же ответ? Молодец!

    И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \( \displaystyle 3\).

    Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:


    Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:


    Возвращаемся к нашей параболе.

    Для нашего случая точка \( \displaystyle A\left( -1;-9 \right)\). Нам необходимо еще две точки, соответственно, \( \displaystyle x\) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

    Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=2\).

    При \( \displaystyle x=0\):

    При \( \displaystyle x=2\):

    Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:


    Как ты думаешь, что является решением уравнения?

    Правильно, точки, в которых \( \displaystyle y=0\), то есть \( \displaystyle x=2\) и \( \displaystyle x=-4\). Потому что \( \displaystyle ^>+2 -8=0\).

    И если мы говорим, что \( \displaystyle y=^>+2 -8\), то значит, что \( \displaystyle y\) тоже должен быть равен \( \displaystyle 0\), или \( \displaystyle y=^>+2 -8=0\).

    Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

    Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

    Что у тебя получилось? То же самое?

    Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

    Вариант 2. С разбивкой на несколько функций

    Возьмем все тоже наше уравнение: \( \displaystyle ^>+2 -8=0\), но запишем его несколько по-другому, а именно:

    Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

    Построим отдельно две функции:

    Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:



    Соответственно, решением данного уравнения являются:

    Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий, и даже легче, чем искать корни через дискриминант!

    А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение.

    Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

    • \( \displaystyle _>=2^>\)
    • \( \displaystyle _>=5 -3\)


    По графикам видно, что ответами являются:

    Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

    Решение смешанных уравнений

    Теперь попробуем решить следующее уравнение:

    Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.

    В этот раз давай построим 2 следующих графика:

    • \( \displaystyle _>=\frac\) – графиком является гипербола
    • \( \displaystyle _>= -2\) – графиком является прямая, которую ты легко построишь, прикинув значения \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle x\) в голове, даже не прибегая к калькулятору.

    Осознал? Теперь займись построением.

    Вот что вышло у меня:


    Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения \( \displaystyle \frac-x+2=0\)?

    Правильно, \( \displaystyle _>=-1\) и \( \displaystyle _>=3\). Вот и подтверждение:


    Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?

    При \( \displaystyle _>=-1:\frac-\left( -1 \right)+2=-3+1+2=0\).

    Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения – одно удовольствие!

    Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:

    Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!

    Теперь посмотрим, что у тебя вышло:

    \( \displaystyle 2^>=x+1\), соответственно:

    • \( \displaystyle _>=2^>\) – кубическая парабола.
    • \( \displaystyle _>=x+1\) – обыкновенная прямая.


    Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является \( \displaystyle _>=1\).

    Прорешав такое количество примеров, уверена, ты понял, как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.

    Решение систем уравнений с помощью графиков

    Графическое решение систем, по сути, ничем не отличается от графического решения уравнений.

    Мы будем строить два графика, и их точки пересечения будут являться корнями данной системы.

    Один график – одно уравнение, второй график – другое уравнение. Все предельно просто!

    Начнем с самого простого – решение систем линейных уравнений.

    Решение систем линейных уравнений

    Допустим, у нас есть следующая система:

    Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с \( \displaystyle y\), а справа – что связано с \( \displaystyle x\). Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:

    А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему?

    Намекну: мы имеем дело с системой, в системе есть и \( \displaystyle x\), и \( \displaystyle y\)… Смекаешь?

    Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только \( \displaystyle x\), как при решении уравнений!

    Еще один важный момент – правильно их записать и не перепутать, где у нас значение \( \displaystyle x\), а где значение \( \displaystyle y\) !

    Записал? Теперь давай все сравним по порядку:


    И ответы: \( \displaystyle x=1\) и \( \displaystyle y=-1\). Сделай проверку – подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?

    Все сошлось? Идем дальше!

    Решение систем нелинейных уравнений

    А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:

    Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:

    А теперь так вообще дело за малым – построил быстренько и вот тебе решение! Строим:


    Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

    Все сделал? Сравни с моими записями:


    При \( \displaystyle _>=-1\), \( \displaystyle _>=0\).

    При \( \displaystyle _>=2\), \( \displaystyle _>=-3\).

    Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее.

    Решите систему уравнений: \( \displaystyle \left\< \beginy=^>+2x+2;\\y-^>=2.\end \right.\)

    Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:

    Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!

    Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:


    Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:

    При \( \displaystyle _>=-1\), \( \displaystyle _>=1\).

    При \( \displaystyle _>=0\), \( \displaystyle _>=2\).

    При \( \displaystyle _>=2\), \( \displaystyle _>=10\).

    А теперь еще раз посмотри на систему:

    Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут?

    Согласись, математика – это все-таки просто, особенно когда, глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!

    Решение неравенств с помощью графиков

    Решение линейных неравенств

    После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни – по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!

    Начнем мы, как обычно, с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:

    Неравенство нестрогое, поэтому \( \displaystyle 4\) — не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее \( \displaystyle 4\), так как \( \displaystyle 5\) больше \( \displaystyle 4\), \( \displaystyle 6\) больше \( \displaystyle 4\) и так далее:


    Ответ: \( x\in \left( 4;+\infty \right)\)

    Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:

    Решение неравенства с двумя переменными


    \( 2 -3

    Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой.

    А если было бы больше Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.


    Решение квадратных неравенств

    Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.

    Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции \( \displaystyle a^>+bx+c=0\).

    А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси \( \displaystyle Ox\) (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).

    В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:



    Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу – решим графически неравенство \( \displaystyle -^>+10 -21

    Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:



    А теперь возвращаемся к нашему неравенству \( \displaystyle -^>+10 -21

    Ответ: \( \displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty \right)\)


    Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства: \( \displaystyle -^>+10 -21


    Возвращаемся к нашему неравенству \( \displaystyle -^>+10 -21

    Согласись, это намного быстрее.

    Запишем теперь ответ: \( \displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty \right)\)

    Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.

    Вариант 3


    \( \displaystyle -^>+10 -21

    Ответ: \( \displaystyle \left[ 2;4 \right]\).

    Решение смешанных неравенств

    Теперь перейдем к более сложным неравенствам!


    \( \displaystyle 4x

    У тебя так же? Отлично!

    Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть \( \displaystyle _>=^>\).

    Смотри, что получилось в итоге:


    А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график \( \displaystyle _>=4x\)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!


    На каких промежутках по оси \( \displaystyle Ox\) у нас \( \displaystyle _>=^>\) находится выше, чем \( \displaystyle _>=4x\)? Верно, \( \displaystyle x\in \left( -2;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\).

    Это и есть ответ!

    Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

    Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

    В следующих вебинарах вы сможете отработать навык решения уравнений, неравенств и систем алгебраическим способом.

    Решение линейных уравнений (алгебраически)

    Цель урока — научиться решать линейные уравнения любого уровня сложности. Линейные уравнения – основа всей алгебры. Научитесь решать линейные уравнения, и вам будет намного проще осваивать всё остальное.

    Приёмы, которые мы узнаем на этом уроке, применяются не только в линейных, но во всех типах уравнений, от квадратных до логарифмических. Все приёмы будем разбирать на конкретных примерах и сразу же отрабатывать.

    Мы решим разберём все возможные типы линейных уравнений, решив 65 уравнений.

    ЕГЭ №15. Решение уравнений и неравенств методом интервалов

    В этом видео мы узнаем (вспомним) метод интервалов, поймём как и почему он работает. Вспомним, как решать квадратные, рациональные неравенства, а также неравенства с модулем и иррациональные.

    Читайте также: