На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей сколькими способами можно выбрать 4 пары

Обновлено: 17.05.2024

6. Примеры более сложных задач на сочетания, размещения и перестановки без повторений.

Пример 17 . Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Выберем сначала из 10 роз 2 розы. Это можно осуществить способами. Мы используем сочетания, а не размещения, потому что порядок, в котором выбираются цветы, значения не имеет. Независимо от выбора роз 3 георгина из 8 можно взять способами. Тогда, по правилу произведения, 2 розы и 3 георгина можно выбрать способами.

. Ответ: 2520 способами.

Пример 18 . Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколько существует возможностей выбора этих пяти человек?

Можно было действовать иначе: сначала выбрать комиссию способами, а затем председателя и секретаря способами. Всего вариантов: . Ответ: 13160160

Пример 19 . Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома:

б) не стояли рядом?

Решение. а). Подсчитаем сначала число вариантов расстановки, когда первый и второй тома стоят рядом. Их можно считать за одну книгу. Тогда получается Р 7 = 7! перестановок. Но первый и второй тома можно соединить двумя способами: слева первый, справа второй том и наоборот. За счет этого количество вариантов удваивается и всего их будет 27! = 10080.

б). Указанные тома не стоят рядом во всех остальных случаях, значит, из общего числа перестановок восьми книг надо вычесть число перестановок, когда тома стоят рядом. Итак, 8! – 10080 = 30240.

Ответ: а)10080, б) 30240.

Пример 20 . Даны две параллельные прямые. На одной из них имеется 10 точек, а на другой – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?

Решение. Заметим, что здесь будет два типа треугольников, расположенных вершинами вверх и вершинами вниз. Для треугольника первого типа вершину выбираем 10 способами, а основание (2 точки из 20) – способами. Всего, по правилу произведения, получается 10 треугольников. Аналогично, треугольников второго типа будет 20 . Наконец, применив правило суммы, получим общее количество треугольников: 10 + 20 = 2800.

Ответ: 2800 треугольников

Пример 21 . В вагоне электрички имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, трое – против хода, а остальным безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

Решение. Желающих сидеть по ходу движения разместим способами, против хода – , остальных троих на три пустых места – Р 3 = 3! способами. По правилу произведения всех пассажиров можно разместить способами.

Ответ: 43200 способами

Пример 22 . На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Решение. Четырех девушек можно выбрать способами. После этого выбираем способами юношей (здесь уже существенен порядок). Всего = 17 417 400.

Ответ: 17 417 400 способами

7. Перестановки с повторениями

До сих пор мы рассматривали комбинации, в которых элементы не повторялись, то есть каждый из них можно было взять в выборку только один раз. Если же это ограничение убрать, то получим еще три вида комбинаций: перестановки, размещения и сочетания с повторениями.

А теперь рассмотрим общий случай. Пусть дана выборка

состоящая из n элементов, причем, элемент а повторяется m 1 раз, элемент b – m 2 раз, и т.д., элемент с – m k раз и m 1 + m 2 +…+ m k = n . Перестановки в такой выборке, где есть одинаковые элементы, называются перестановками с повторениями и число перестановок с повторениями обозначается . Из приведенных выше рассуждений следует формула:

Пример 23 . Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р 8 (2,2,2). По формуле:

Ответ: 5040 способами

Пример 24 . У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение девяти дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой выдачи?

Решение. Обозначая фрукты по первым буквам названия, составим несколько вариантов выдачи: ЯЯГГГАААА, ААГГЯГААЯ, ГГГААЯЯАА. Эти выборки имеют один и тот же состав и отличаются только перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с повторениями.

Ответ: 1260 вариантов

8. Размещения с повторениями

Определение.8.1. Размещениями с повторениями из n по m называются упорядоченные m -элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число размещений с повторениями из n по m обозначается В отличие от обычных размещений, где m  n , в размещениях с повторениями m и n могут быть любыми. Выведем формулу числа размещений с повторениями. Будем конструировать m -элементную выборку из n элементов. Первый элемент, как и все последующие, мы можем выбирать n способами, ведь на любое место можно поставить любой из n элементов. Применяя правило произведения, получим:

ММММ, МММА, ММАМ, МАММ, АМММ, ММАА, МАМА, АММА, АМАМ, ААММ, МААМ, АМАА, ААМА, АААМ, МААА, АААА.

Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ… Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу размещений с повторениями из 3 по 6:

Ответ: 729 комбинаций

9. Сочетания с повторениями

Определение 9.1. Сочетаниями с повторениями из n по m называются неупорядоченные m -элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число сочетаний с повторениями из n по m обозначается . В отличие от обычных сочетаний, где m  n , в сочетаниях с повторениями m и n могут быть любыми. Формулу для вычисления числа сочетаний с повторениями выведем на основе следующего частного примера.

Пример 27 . В почтовом отделении имеются открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить набор из 5 открыток?

Ясно, что в купленном наборе открыток они будут повторяться и порядок их в наборе не важен, то есть это будут сочетания с повторениями из 3 по 5. Зашифруем все возможные наборы из 5 открыток следующим образом: открытки каждого вида изобразим в виде единиц, разделенных символами . Так выборка 11111 означает, что мы купили 2 открытки первого вида, одну – второго и 2 открытки третьего вида, а 11111 – все 5 открыток третьего вида. Подсчитаем количество таких выборок. Каждая из них состоит из 7 элементов: пяти единиц и двух трегольников, то есть состав не меняется, а меняется только порядок элементов. Значит, это будут перестановки с повторениями из 7 элементов, где  повторяется два раза, а 1 – пять раз.

В общем случае, если имеется n видов открыток, а купить надо m штук, получим:

Это и есть формула числа сочетаний с повторениями, однако она неудобна для запоминания, поэтому представим эту формулу в другом виде. Для этого вычислим по формуле (4.2):

и сравним с (9.1). Правые части этих равенств равны. Приравнивая левые части, получим формулу, выражающую число сочетаний с повторениями через обычное число сочетаний.

Пример 28 . В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?

Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, …

Состав меняется от выборки к выборке, значит, это уже не перестановки; порядок элементов несущественен, это – сочетания с повторениями из 2 по 6.

Сделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.

Ответ: 7 вариантов

Пример 29 . Сколько существует прямоугольных параллелепипедов, длина ребра которых выражается целым числом от 1 до 9?

Решение. Параллелепипед определяется тремя ребрами, поэтому его можно представить в виде тройки чисел. Выпишем несколько вариантов: (1,1,5); (2,7,9); (4,4,4) … Элементы в выборке могут повторяться, состав меняется, порядок не существенен, например, выборки (2,7,9) и (9,2,7) соответствуют одному и тому же параллепипеду. Применяем формулу сочетаний с повторениями

Ответ: 165 параллелепипедов

10. Схема определения вида комбинации

Приведем в систему полученные формулы всех 6 видов комбинаций с повторениями и без повторений, представив алгоритм определения вида комбинации следующей схемой.

На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей, сколькими способами можно составить из них 4 пары для танцев?

Посчитаем число способов выбрать 4 девушек из 12 без учетапорядка их выбора.

Посчитаем число способов выбрать 4 парней из 15 без учета порядка их выбора.

Суть в том, чтобы выбрать 4 девушек и зафиксировать их на своих местах, затем выбрать 4 парней и сопоставить одного парня одной девушке.

Это можно сделать 4!

= 24 способами, переставляя парней.

Таким образом, количество способов составить пары равно 495 * 1365 * 24 = 16216200.

На танцплощадке собрались n юношей и n девушек?

На танцплощадке собрались n юношей и n девушек.

Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек(Желательно решить 2 способами)?

Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек(Желательно решить 2 способами).

На балу присутствует 30 кавалеров 25 дам ?

На балу присутствует 30 кавалеров 25 дам .

Сколько существует способов составить пару для танца?

Студенческом городке количество юношей и девушек выражено отношение 1 : 3 a) если количество девушек 27 то сколько студентов юношей b) если количество юношей 46 то сколько студентов девушек в) если ко?

Студенческом городке количество юношей и девушек выражено отношение 1 : 3 a) если количество девушек 27 то сколько студентов юношей b) если количество юношей 46 то сколько студентов девушек в) если количество юношей 78 то сколько всего студентов г) если количество студентов 36 то на сколько юношей меньше чем девушек д) если юношей меньше чем девушек на 12 то сколько всего студентов пожалуйста решите если сможете.

Сколько различных смешанных пар для игры в теннис можно образовать из 8 юношей и 6 девушек?

Сколько различных смешанных пар для игры в теннис можно образовать из 8 юношей и 6 девушек.

Из 8 юношей и 6 девушек составляют три танцевальных пары?

Из 8 юношей и 6 девушек составляют три танцевальных пары.

Сколькими способами это можно сделать?

В соревнованиях приняли 117 спортсменов, причём юношей на 39 больше, чем девушек?

В соревнованиях приняли 117 спортсменов, причём юношей на 39 больше, чем девушек.

Сколько юношей и сколько девушек участвовало в соревнованиях?

Сколькими способами можно разбить на пары 5 юношей и 5 девушек ( парой считается юноша и девушка)?

Сколькими способами можно разбить на пары 5 юношей и 5 девушек ( парой считается юноша и девушка).

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

В соревнованиях участвовали 117 спортсменов причём юношей было на 39 больше чем девушек сколько юношей и сколько девушек участвовала в соревнованиях?

В соревнованиях участвовали 117 спортсменов причём юношей было на 39 больше чем девушек сколько юношей и сколько девушек участвовала в соревнованиях.

На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Сколькими способами можно выбрать 5 карт из 52 так, чтобы среди них оказались две пары карт одного достоинства
Сколькими способами можно выбрать 5 карт из 52 так, чтобы среди них оказались две пары карт одного.

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары ?
Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары ? Ответ 13!! = 13*11*9*7*5*3*1 = 135135. Но.

Сколькими способами можно составить 4 танцевальные пары?
2)в группе 13 парней и 14 девушек. Сколькими способами можно из них составить 4 танцевальные пары?

Сколькими способами можно одновременно соединить 3 пары абонентов?
Помогите, не могу решить. 2.Имеется n абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно.

Решение

Для выбора четырех пар достаточно выбрать неупорядоченную четверку юношей, расположить их, скажем, по росту, а затем выбрать упорядоченную четверку девушек. Убедитесь в том, что такая схема выбора производит все четверки пар и каждую по одному разу.

А если девушек было бы больше, тогда получается мы должны были бы наоборот взять неупорядоченную четверку девушек и упорядоченную юношей, верно?

Да, вроде бы до меня дошло. Потому что, только так можно рассмотреть все варианты. Если берём сочетание * сочетание, тогда рассматриваются не все случаи. Если размещение * размещение, то получаются совпадающие пары, а в случае сочетания * размещения как раз то, что нужно, только брать размещение нужно из гендера, в котором больше человек, а из другого гендера сочетание.

Решение

Salamani, ну или можно записать в более симметричном варианте: , тогда не нужно анализировать, кого больше.

Сколькими способами можно одновременно соединить три пары абонентов?
Имеется n абонентов. Сколькими способами можно одновременно соединить три пары?

Сколькими способами можно выбрать.?
Сколькими способами можно выбрать 4 набора по 5 карт из колоды, содержащей 52 карты?

Сколькими способами можно выбрать парня?
В классе 15 ребят и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать: а) парня; б) девушку; в) одного.

Сколькими способами можно выбрать n тетрадок
Имеется 3n+1 тетрадей. Из них n – с одинаковыми красными обложками, а 2n+1 – с различными.

1.На школьном вечере 12 девушек и 15 юношей.Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца
2.В двух урнах находиться соот-но m1 и m2 белых и n1 и n2 черных шаров.Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу береться один. Какова вероятность того, что шар белый?

Выбрать девушек для участия в танцах можно ^4 $" />
cпособами. При каждом таком выборе можно ^4$" />
способами выбрать юношей для УЧАСТИЯ в танцах.По правилу произведения выбрать юношей и девушек ТОЛЬКО ДЛЯ УЧАСТИЯ в танцах можно ^4\cdot СC_^4$" />
способами. Но каждую выбранную четверку юношей и девушек можно способами распределить по парам.
Итого: ^4\cdot СC_^4\cdot 4!$" />
способов.

Вторая задача - формула Полной вероятности.
Гипотез - 4 - все итого первого вытягивания:
б б
б ч
ч б
ч ч

Читайте также: