Конечные и бесконечные десятичные дроби 6 класс план урока
Обновлено: 01.07.2024
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
УРОК № 138. Глава 5 . Обыкновенные и десятичные дроби (25 часов )
Тема . Бесконечные периодические десятичные дроби.
Цель . Дать определение периодической десятичной дроби. Научиться представлять обыкновенную дробь в виде периодической дроби.
Организационный момент.
Проверка домашнего задания. (Собрать тетради)
Актуализация опорных знаний.
1. Сформулировать признак делимости на 2, 5, 3, 4, 9, 10, 25.
2. Конечную десятичную дробь записали в виде обыкновенной дроби. Может ли знаменатель этой дроби иметь простые делители, отличные от 2 и 5?
3. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.
4. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.
Объяснение нового материала.
Итак, мы знаем, что если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь. Поэтому при делении числителя этой дроби на знаменатель уголком не может получится конечная десятичная дробь.
Определение. Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются периодическими десятичными дробями. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.
1) Разложите в десятичную дробь число: .
1. Сократима ли дробь?
2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.
3. Разделим числитель на знаменатель уголком.
4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 2. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,666. где точки означают, что цифра 6 повторяется бесконечно много раз.
Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .
2) Разложите в десятичную дробь число .
1. Сократима ли дробь?
2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3 и 11, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.
3. Разделим числитель на знаменатель уголком.
4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 20. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,0202. где точки означают, что цифры 0 2 повторяются бесконечно много раз.
Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .
3) Разложите в десятичную дробь число .
1. Сократима ли дробь?
2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.
3. Разделим числитель на знаменатель уголком.
4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 35. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 3,177. где точки означают, что цифра 7 повторяется бесконечно много раз.
Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .
Вообще, если числитель положительной несократимой дроби разделить на её знаменатель уголком, то в частном получится, либо конечное, либо бесконечное периодическое её десятичное разложение.
Пример 2 . Разложите в десятичную дробь число:
Приписывая к целому числу (после запятой) или к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы превращаем её в равную ей бесконеч-ную периодическую десятичную дробь с периодом 0.
Пример 2 . Разложите в десятичную дробь число:
Следовательно, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать периодической дробью с периодом 0.
Итак, любое рациональное число разлагается в периодическую дробь.
Решение упражнений.
Уч.с.194 № 973(1ст.). Запишите число в виде периодической дроби, назовите ее период:
Уч.с.194 № 974(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую делением числителя на знаменатель уголком:
Уч.с.194 № 975(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую:
Уч.с.194 № 976(а). Разложите обыкновенную дробь в десятичную и назовите ее период:
Уч.с.194 № 977(а). Разложите обыкновенную дробь в периодическую:
Подведение итогов урока.
Домашнее задание. § 5.2 (выучить теорию). № 973(б)–977(б), 893(в).
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Любое рациональное число p/q можно разложить в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Обыкновенную дробь можно разложить в конечную десятичную, если в знаменателе нет простых множителей, кроме 2 и 5.
Вы уже знаете, как это сделать.
1. Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы привести к знаменателю 10, 100, 1000 и т. д.;
2. Выполнить деление числителя на знаменатель.
Пример 1. Умножили числитель и знаменатель на 2.
Пример 2. Сначала сократили дробь.
Пример 3. Выполнили деление 3 на 125.
Рассмотрим примеры, когда привести к знаменателю 10, 100 и т. д. нельзя. Возможно только деление числителя на знаменатель.
Заметим, что при делении получаются повторяющиеся остатки и, соответственно, повторяющиеся цифры в частном. Из-за этого процесс деления бесконечен. Отсюда происходит бесконечная десятичная дробь.
Рассмотрим другие примеры.
Повторяющиеся цифры 3; 27; 6 называют периодом дроби. Бесконечные десятичные дроби 0,333…; 0,2727…; 0,1666… называют периодическими.
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр (период дроби).
Отметим, что любое рациональное число p/q разлагается в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Замечание. При делении уголком десятичное разложение с периодом 9 не возникает.
Далее рассмотрим, как выполняются действия с периодическими дробями?
1. Сравните дроби
Запишем дробь 1/3 в виде бесконечной периодической дроби 0,333…
Запишем дробь 0,3 в следующем виде 0,300… Приписывая бесконечно много нулей, мы превращаем конечную дробь в равную ей бесконечную периодическую дробь с периодом 0.
Теперь можем сравнить: 0,333… > 0,300…
2. Разложите обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь, округлите до десятых.
Разбор заданий тренировочного модуля
Представьте в виде периодической дроби. В ответе укажите её период.
Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 0,(3); 0,(5); 0,(6).
I. Организационный момент.
«На сегодняшнем уроке вы продолжите знакомиться с увлекательным миром чисел. Углубите знания о десятичных дробях, научитесь по знаменателю обыкновенной дроби определять такие, которые можно выразить тем или иным видом десятичной дроби.
II. Упражнения, связанные с развитием логического мышления.
1. Представьте себя на минутку первобытными людьми или древними пастухами, которые не умеют ни считать, ни писать, тем не менее они знали, не пропала ли хоть одна овца из их огромного стада. Как они могли это знать, не умея считать?
Числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек.
Данный урок является первым из двух в теме "Бесконечные периодические дроби".
Цели урока:
знакомство с бесконечными периодическими дробями, введение понятия периода, запись обыкновенной дроби в виде периодической и наоборот;
развитие грамотной математической речи, логического мышления, умения анализировать и делать выводы
воспитание информационной культуры, поддержание интереса к математике.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Бесконечные периодические дроби
образовательные: знакомство с бесконечными периодическими дробями, введение понятия периода, запись обыкновенной дроби в виде периодической и наоборот;
развивающие: развитие грамотной математической речи, логического мышления, умения анализировать и делать выводы;
воспитательные: воспитание информационной культуры, поддержание интереса к математике.
Оборудование:
мел, доска, мультимедийная доска, раздаточные материалы, компьютер, проектор.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Актуализация опорных знаний и умений.
Проверка домашнего задания.
Изучение нового материала.
Первичное закрепление знаний, формирование умений.
Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Задачи повышенной трудности.
Организационный момент
Актуализация опорных знаний и умений
Но будущего не бывает без прошлого. Вспомним, какую тему мы начали изучать на предыдущих уроках? (разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь). Действительно. А любую ли обыкновенную дробь можно превратить в десятичную? (нет). Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы это стало возможным? (знаменатель несократимой дроби не должен иметь других простых делителей, кроме 2 и 5). Верно. Какие два способа разложения вам известны? (домножить знаменатель до степени 10 и разделить уголком). Какой способ кажется вам более удобным?
Устная работа
Проверим на практике, насколько вы ориентируетесь в этом материале. На слайдах изображены обыкновенные дроби. Ваша задача определить, какие из них можно разложить в конечную десятичную дробь, а какие – нет, и обосновать свой ответ.
Проверка домашнего задания
Откройте тетради, проверим, как вы выполнили домашнее задание.
Возьмите простые карандаши и приготовьтесь сверять ответы. Не забывайте ставить себе плюсик за каждый верно выполненный пункт задания. На слайдах - правильные ответы, вам остается только сверить их с полученными дома.
Давайте подсчитаем, что у вас получилось.
Кто выполнил домашнее задание на 4 и 5?
На этом с прошлым покончено, и мы начинаем двигаться навстречу будущему. Запишем в тетрадях сегодняшнее число (сегодня тринадцатое апреля), классная работа.
Изучение нового материала
Сегодня мы с вами узнаем, как кратко записать период, как правильно прочесть периодическую дробь, как преобразовать периодическую дробь в обыкновенную.
Давайте внимательно рассмотрим следующую схему. Как уже сказано выше, бесконечные дроби делятся на периодические и непериодические.
Как вы считаете, удобна ли такая форма записи: 1, 23232323… ? (нет) Поэтому придумали сокращение. Если одни и те же цифры повторяются бесконечное количество раз, то почему бы не записать этот набор цифр с каким-то маркером, который бы показывал, что дробь периодическая? Таким маркером стали обычные скобки. Давайте посмотрим: 1, 23232323… = 1, (23). Читается это как 1 целая и 23 в периоде. Период может быть выражен одной цифрой, двумя, тремя и т.д. Запишите, пожалуйста, эту схему в тетради.
Откуда вообще берутся такие дроби? Как их получить? Очень легко. Из обыкновенных дробей, в знаменателе которых имеются простые делители, отличные от 2 и 5.
Рассмотрим такие дроби: . Запишите примеры к себе в тетрадь.
Когда мы начинали изучать десятичные дроби, мы говорили, что любое целое число можно представить в виде десятичной дроби. Как это сделать? (приписать 0 после запятой). А сколько нулей можно приписать? (сколько угодно). Тогда следующий вопрос: можно ли представить целое число в виде периодической дроби? (да) С каким периодом? (0). Распространяется ли это на конечные десятичные дроби? (да). Еще раз убедимся в этом, взглянув на следующий слайд. Запишите это в тетради.
На этом с теорией временно покончим. Предлагаю немного отдохнуть.
Физкультминутка
Первичное закрепление знаний, формирование умений
В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь? (если знаменатель обыкновенной дроби имеет другие простые делители, кроме 2 и 5).
Каким способом любую обыкновенную дробь можно разложить в десятичную? (делением столбиком).
Какие десятичные дроби можно получить при делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель? (конечные, бесконечные, бесконечные периодические).
Теперь посмотрите на слайд и прочтите дроби: 0,(2); 78, (972); 1,(03); 3,6(23); 61, (32).
Отлично! Переходим к письменной работе. Обратимся опять к учебнику. Начнем с №973.
Письменно на доске и в тетрадях №973 (в-д), 974 (а, г) , 976 (а).
Запишите число в виде периодической дроби, назовите её период
Разложите обыкновенную дробь в периодическую делением числителя на знаменатель уголком
Разложите обыкновенную дробь в десятичную и назовите её период.
Домашнее задание
Вашим домашним заданием будет доделать номера, которые мы начали в классе. Итак, записываем: п. 5.2, №974(б, в), 976 (в, г).
Самостоятельная работа с взаимопроверкой (тестирование)
Закрываем тетради и учебники, берем лист, который всё это время лежал на ваших столах, подписываем сверху – фамилия, имя, класс. Приступаем к работе.
Несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, если
а) знаменатель обыкновенной дроби является степенью числа 2
б) знаменатель обыкновенной дроби является степенью числа 5
в) знаменатель обыкновенной дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5.
Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной следующим способом:
а) разделить уголком числитель обыкновенной дроби на знаменатель
б) представить знаменатель обыкновенной дроби в виде степени числа 10
в) оба способа
Выберите дроби, которые невозможно разложить в конечную десятичную дробь
в) верны оба варианта
При разложении в десятичную дробь результат будет следующим:
При разложении в десятичную дробь результат будет
а) конечной десятичной дробью
б) периодической дробью
Теперь поменяйтесь тетрадями с соседом по парте, возьмите в руки простые карандаши и проверьте друг друга. 1 правильный ответ равен 1 баллу, правильные ответы можете видеть на слайде.
Поднимите руки, у кого 5? 4? Молодцы! В конце урока не забудьте подать дневники на оценку.
Задачи повышенной трудности
Обратите внимание на примеры, изображенные на доске. Узнаете их? Это те дроби, с которыми сегодня мы уже сталкивались. Посмотрите на них внимательно. Видите какую-то закономерность?
Но как понять, почему получается именно так? Откуда берутся знаменатели 9 и 99? Сейчас вы увидите, как превратить периодическую дробь в обыкновенную, и получите ответ на вопрос.
Ввести понятие масштаба, опираясь на знания учащихся из географии.
Научить находить расстояние на карте и на местности, зная масштаб, и наоборот, зная расстояние на местности и на карте, вычислять масштаб.
Активизировать познавательную и поисковую деятельность учащихся.
2) Найти в учебниках географии 6 класса:
а) для чего нужен масштаб – задание 1 группе;
б) определение масштаба и виды масштабов – задание 2 группе;
в) информацию о численном и именованном масштабе – задание 3 группе;
г) информацию о линейном масштабе – задание 4 группе.
I. Вступительное слово учителя: Называется тема и цель урока.
- Сегодня на уроке мы продолжаем изучение темы “Пропорции” и найдем практическое применение данной темы.
II. Повторение пройденного.
- Начнем урок с повторения пройденного, с решения устных упражнений:
1. Найдите отношение чисел:
а) 3 : 5; б) 14 : 7; в) 4 : 2; г) 9 : 15.
Можно ли из этих отношений составить пропорцию?
(3 : 5= 9 : 15; 14 : 7= 4 : 2; 15: 9 = 5 : 3; 7 : 14 = 2 : 4).
2. Решите задачу:
3 комбайнера закончат уборку урожая за 7 дней .За сколько дней закончат ту же работу 7 комбайнеров, работая с той же производительностью?
- Какая пропорциональная зависимость получается при решении задач?
Ответ обучающихся: - Обратная.
3 к 7 дн 7к х дн.
Составим пропорцию и решим устно.
3. Проверим, как вы знаете математические термины. Проведем игру “10 из 10”. Я читаю вам 10 математических терминов дважды, вы должны записать их в тетрадь без грамматических ошибок.
Отношение, Частное, Часть, Величина, Процент, Деление, Пропорция, Свойство, Зависимость пропорциональная.
После выполнения работы на доске появляются: критерии оценки и правильный вариант выполнения задания. Обучающиеся проверяют и оценивают работы друг друга в паре.
Оценки: “5” - 9-10 слов “4” - 7-8 слов “3” - 5-6 слов.
III. Изучение нового материала.
Учитель: напомните, зачем нужен масштаб?
Примерный ответ : Ни один географический объект – реку, мост, поселок – невозможно изобразить на топографическом плане, карте в натуральную величину. Люди всегда рисовали уменьшенные изображения местности, причем разные участки изображения уменьшали произвольно, в разной степени. Поэтому старинные чертежи местности не дают возможности понять, например, каково расстояние между берегами реки, чему равна длина реки и т.д.
Чтобы план местности был более точным, необходимо все его детали уменьшать в одинаково число раз с сохранением всех пропорций. Вот для чего нам нужен масштаб.
- Итак, ребята, чтобы изобразить длину реки на карте, построить железные и автомобильные дороги, здания, для этого на бумаге вычерчивают план. Можно ли изображать все это в натуральную величину?
- Верно на бумаге не уместится, поэтому и применяют масштаб.
- какие виды масштаба бывают?
Примерный ответ : Масштаб показывает во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту, уменьшена по отношению к ее действительным размерам на местности.
- Каким другим словом можно заменить слово “масштаб”.
- Верно, иначе можно сказать отношение.
Значит масштаб – это отношение длины отрезка на карте (плане) к длине соответствующего отрезка на местности.
- Какие виды масштаба вы знаете:
Ответ обучающихся: -Численный, именованный и линейный.
- а кто сможет рассказать нам о численном и именованном масштабе?
Ответ обучающихся : - Масштаб пишут по разному:
1) в виде отношения 1 : 100 (это означает, что 1 см плана заменяет 100 см на местности). Это численный масштаб.
2) можно просто записать в 1 см – 1 м. Масштаб, записанный таком виде называют именованным.
Учитель: о линейном масштабе.
- Линейный масштаб представляет собой линию разделенную на равные отрезки.
Отрезки справа от нуля показывают какому расстоянию на местности соответствуют расстояния на плане в 1 см, 2 см и т.д.
Домашнее задание: ТПО №2, стр.5-6
План урока по математике 6 класс
Тема урока: Масштаб
Проверка домашнего задания
Продолжение изучения темы
- на прошлом уроке мы вспомнили все, что знаем о масштабе, а теперь применим свои знания при решении задач.
Задача №1. Расстояние на карте Кемеровской области между городами Юрга и Кемерово равно 21 см.
Масштаб 1 : 400 000
Вычислите расстояние на местности.
Для решения задачи составляем пропорцию: 1 : 400 000 = 21: х х = 21* 400 000
х = 8400000 х = 84 км - расстояние
между городами Юрга и Кемерово на местности.
Задача №2. Расстояние между г.Кемерово и Москва равно 3000 км.
Масштаб 1 : 20 000 000
Вычислите расстояние между городам Кемерово и Москва на карте.
Для решения задачи составляем пропорцию
1 : 20 000 000 = х : 300 000 000х = х = 15 см - расстояние между городами Кемерово и Москва на карет.
Расстояние между г.Москва и Санкт-Петербург на карте 6,5 см. на местности 650 км. Найти масштаб карты.
Решение: 650 км = 65 000 000 см.
Масштаб 1 : 10000000
Ответ: 1: 1 0000000 - масштаб карты.
Учитель: Ребята, мы решили 3 задачи. С каким масштабом мы работали?
Ответ обучающихся: с численным.
- Чему вы научились сегодня на уроке?
- Узнали определение масштаба.
- Вспомнили, какие виды масштаба бывают и закрепили свои знания по географии на математике.
- Научились находить расстояние на карте и на местности, используя масштаб.
4. Домашнее задние: ТПО № 2, стр. 7-8
Отзыв на урок алгебры в 9 классе
Дата проведения: 20 мая 2013 г. Класс:9
Тип урока: урок закрепления полученных знаний.
Вид: урок-практикум, продолжительность 2 часа.
Учитель: Любченко Лариса Александровна.
Цель посещения: знакомство с опытом работы учителя.
Основной способ проведения урока – урок сочетания различных форм занятий, включает в себя также практическое занятие с открытым выходом в Интернет, по дидактической цели – комбинированный урок.
На протяжении всего урока прослеживается отчетливая целенаправленность урока. Темп урока посилен для учащихся. При демонстрации наглядности учащиеся привлекаются к разговору. Учителем используется достаточное материальное и организационное обеспечение урока. Материал содержит красочную презентацию, подробно описывающую все этапы решения заданий первой части итоговой аттестационной работы.
Урок направлен на формирование ключевых компетентностей учащихся, а также на подготовку учащихся к своему первому экзамену по математике. Сценарий урока насыщен наглядностью, дидактическим и раздаточным материалом, используются инновационные технологии: компьютерное тестирование. В течение всего урока поддерживается активность и внимание учащихся. Сценарий урока продуман и хорошо спланирован. Каждая этап урока реализован как по времени, так и по объему. Обратную связь учитель получает через Лист оценивания и рефлексии. В этом сказывается одна из особенностей культуры педагогического труда учителя.
Все этапы урока сопровождаются работой ПК. При проведении урока соблюдены все требования СанПиН.
Читайте также: