Классический метод анализа переходных процессов кратко

Обновлено: 02.07.2024

Сущность классического и операторного метода расчета переходных процессов. В чем сложности того и другого метода? Какому из них отдавать предпочтение при расчетах?

Классический метод - это анализ ПП при помощи законов Кирхгофа. Является самым универсальным, и многие численные методы анализа ПП в сложных схемах базируются на классическом методе.
Операторный метод основан на преобразовании Лапласа. Позволяет уйти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Проще ли он классического метода - вопрос весьма спорный: при ненулевых начальных условиях сложность его ненамного меньше классического. К тому же, операторный метод очень трудно совместим с нелинейными элементами. Он служит основой большинства методов ТАУ - теории автоматического управления, где обобщается не только на аналоговые, но и на дискретные системы, начальные условия всегда полагаются нулевыми.
Какому отдать предпочтение при расчетах? Вот освоите оба - сами нам расскажете какой "лучше́е".

классический - с реальными цифрами (можно утонуть если система содержит больше двух устройств), 2. не всегда можно найти общий ответ (образ) системы, 3. если тебе необходимо расчитать переходный процесс отдельного устройства то лучше в цифрах, предпочтение только после расчёта на устойчивость, чаще операторному. (он проще).

Задача анализа – определить законы изменения токов и напряжений на реактивных элементах цепи после коммутации. Поскольку переходный процесс является динамическим процессом, то он описывается соответствующим дифференциальным уравнением вида (6.14). Классический метод анализа основан на классическом же методе решения дифференциальных уравнений, согласно которому полное решение линейного неоднородного (с ненулевой правой частью ¹ 0) дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами равно сумме двух решений – установившегося (частного) и свободного(общего):

U = U_y + U_cb. (6.16)

Установившееся решение – это напряжение или ток в новом установившемся режиме после окончания переходного процесса, т.е. при всех нулевых значениях производных:

Свободное решение – это напряжение или ток, которые определяются по формуле:

где – постоянные вещественные коэффициенты, определяемые из начальных условий; - комплексные корни однородного характеристического уравнения n-го порядка Данное уравнение имеет п корней, причем, поскольку коэффициенты вещественны, все корни будут либо вещественными, либо комплексно сопряжёнными.

Рассмотрим на примере последовательной цепи второго порядка алгоритм классического метода анализа:

1) Определение начальных условий для электрических величин, которые не изменяются скачком. Для данной схемы такой величиной будет ток, поскольку он является одинаковым для всех элементов и до момента коммутации был равен нулю. Поэтому начальными условиями примем нулевые: = 0.

2) Составление дифференциального уравнения:

Из полученного уравнения можно найти частотный коэффициент передачи (ЧКП), используя (6.15):

3) Определение установившегося решения при всех нулевых значениях производных:

Это говорит об отсутствии тока в цепи после окончания переходного процесса, т.к. в установившемся режиме постоянный ток через зарядившийся конденсатор не проходит (он создает такое же по величине встречное напряжение).

4) Определение свободного решения в соответствии с (6.17):

где и - корни однородного характеристического уравнения ,

причем данное уравнение будет иметь два комплексно-сопряженных корня.

5) Запись полного решения из (6.16): I .

6) Определение коэффициентов и из начальных условий при t=0:

7) Запись решения в окончательном виде: i = A[exp(s₁t) – exp(s₂t)] .

U = U_y + U_cb. (6.16)

Свободное решение – это напряжение или ток, которые определяются по формуле:

Рассмотрим на примере последовательной цепи второго порядка алгоритм классического метода анализа:

2) Составление дифференциального уравнения:

Из полученного уравнения можно найти частотный коэффициент передачи (ЧКП), используя (6.15):

3) Определение установившегося решения при всех нулевых значениях производных:

4) Определение свободного решения в соответствии с (6.17):

где и - корни однородного характеристического уравнения ,

причем данное уравнение будет иметь два комплексно-сопряженных корня.

5) Запись полного решения из (6.16): I .

6) Определение коэффициентов и из начальных условий при t=0:

7) Запись решения в окончательном виде: i = A[exp(s₁t) – exp(s₂t)] .

Классический метод расчета переходных процессов основан на составлении и последующем решении (интегрировании) дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа и связывающих искомые токи и напряжения послекоммутационной цепи и заданные воздействующие функции (источники электрической энергии).

Порядок ДУ определяется числом независимых начальных условий. Другой способ – по формуле: , где число реактивных элементов, число независимых емкостных контуров, число независимых индуктивных узлов.

Независимый емкостной контур – контур, образованный только ёмкостями или ёмкостями и независимыми источниками напряжения.

Независимый индуктивный узел – узел, к которому подключены только индуктивности или индуктивности и независимые источники тока.

При этом падение напряжений в активных сопротивлениях r и на реактивных элементах: конденсаторе C и катушке индуктивности L определяются соответственно:

Преобразуя систему уравнений, можно вывести итоговое дифференциальное уравнение относительно какой-либо одной переменной величины x(t): .

Здесь n – порядок дифференциального уравнения, он же – порядок цепи, коэффициенты a_k > 0 и определяются параметрами пассивных элементов R, L, C цепи, а правая часть является функцией задающих воздействий.

В соответствии с классической теорией ДУ полное решение НДУ находится в виде суммы частного решения НДУ и общего решения однородного дифференциального уравнения:

Частное решение полностью определяется видом правой части f(t) дифференциального уравнения. Зависит от воздействующих источников электрической энергии, поэтому вид обуславливается источниками электрической энергии и называется принужденной составляющей .

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которые определяются коэффициентами дифференциального уравнения, и не зависит от правой части. не зависит от воздействующих источников и по этой причине называется свободной составляющей и полностью определяется параметрами пассивных элементов цепи, а физически процессом перераспределения запасов энергии электрического и магнитного полей в реактивных элементах цепи.

Таким образом, любая искомая величина в переходном режиме

Свободную составляющую переходного процесса ищут в виде

где n – порядок цепи, совпадающий с порядком дифференциального уравнения;

p_k – корни характеристического уравнения (собственные числа цепи);

A_k – постоянные интегрирования.

Следует заметить, что свободный процесс происходит в цепи, освобожденной от источников энергии. При отсутствии источников свободные токи и напряжения должны со временем затухать. Следовательно, вещественные корни характеристических уравнений или вещественные части комплексно-сопряженных корней должны быть отрицательными.

Вид свободной составляющей переходного процесса определяется числом и значениями корней характеристического уравнения:

= 0.

В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и различные, решение имеет вид:

где А_1, А₂, …, А_m – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий задачи.

В случае, когда корни уравнения – вещественные и равные, т. е.
p₁ = p₂ = …p_m = p, свободная составляющая определяется уравнением:

Если корни комплексно-сопряженные , тогда решение имеет вид: , где А и – постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий задачи.

Если число корней характеристического уравнения больше одного, то необходимо иметь не только начальные условия искомой переменной, но и ее производных. При этом порядок производных, начальное значение которых необходимо знать, на единицу меньше числа корней характеристического уравнения. Для определения производных при уравнения Кирхгофа дифференцируют и решают совместно для .

Данный метод применяют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. При более высоких порядках определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой сложный процесс.

Последовательность:

· Вычислить начальные независимые условия.

а) Постоянные источники:

б) Синусоидальные источники:

· Вычислить зависимые условия.

· Вычислить вынужденную составляющую.

а)

б)

· Составляется характеристическое уравнение и считаются его корни. Корни определяют вид свободной составляющей.

· Записываем ответ в виде:

, уже найдя все постоянные интегрирования.

Основные этапы решения классическим методом:

1. Определение начальных условий

2. Определение дифференциального уравнения

3. Определение характеристического уравнения

4. Определение свободной составляющей

5. Определение принуждённой составляющей

6. Определение неизвестных констант

7. Проверка полученного решения

Таким образом, любая искомая величина в переходном режиме

Свободную составляющую переходного процесса ищут в виде

где n – порядок цепи, совпадающий с порядком дифференциального уравнения;

p_k – корни характеристического уравнения (собственные числа цепи);

A_k – постоянные интегрирования.

= 0.

В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и различные, решение имеет вид:

где А_1, А₂, …, А_m – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий задачи.

Последовательность:

· Вычислить начальные независимые условия.

а) Постоянные источники:

б) Синусоидальные источники:

· Вычислить зависимые условия.

· Вычислить вынужденную составляющую.

а)

б)

· Записываем ответ в виде:

, уже найдя все постоянные интегрирования.

Основные этапы решения классическим методом:

1. Определение начальных условий

2. Определение дифференциального уравнения

3. Определение характеристического уравнения

4. Определение свободной составляющей

5. Определение принуждённой составляющей

6. Определение неизвестных констант

7. Проверка полученного решения

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных взаимодействиях, приводящих к изменению их режима работы, т. е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах цепи, при которых замыкание отдельного участка цепи и т. д [2].

Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрических полей этих элементов не может измениться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Переходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной — нелинейными.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные аналитические методы, которые применяются для расчёта переходных процессов: [3]

– Метод интеграла Фурье и др.

Наиболее распространёнными являются классический и операторный методы. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчёта простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

Цель нашей работы заключается в реализации классического и операторного методов на примере сложной цепи.

Предметом исследования являются классический и операторный метод.

Основная часть

1. Классический метод

Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения, либо решить систему уравнений известными математическими методами.

Рассмотрим электрическую схему.

$C:\Users\Максим\Desktop\image002.jpg$

Рис. 1. Схема цепи

Она содержит катушку индуктивности с индуктивностью L, конденсатор с емкостью C, источник тока ЭДС E, ключ S, резисторы: R₁, R₂, R_i, R_k.

Составим систему уравнений для случая замыкания цепи и получим:

Остается определить начальные условия для системы. Нам потребуются знания двух законов коммутации [3].

Первый закон коммутации.

В ветви с катушкой индуктивности ток в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

Второй закон коммутации.

Напряжение на конденсаторе в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

Согласно схеме на рисунке 1, ток на катушке и напряжение на конденсаторе в докоммутационный момент равно нулю. Исходя из этого, начальные условия для нашей системы примут вид:

Решаем систему при помощью Maple 13 и получаем, что ток на катушке имеет следующую зависимость [6]:

$C:\Users\Максим\Desktop\Снимок.PNG$

1) Асимптота

2) При переходном процессе на практике было доказано возникновения сверхтока, что продемонстрировано на рисунке 2.

2. Операторный метод

Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям, что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым [4].

В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:

Приведем нашу систему к операторному виду. Для этого, используя определение, а также свойства преобразования Лапласа установим, что:

Исходя из этого система примет вид:

Исключая четвертое уравнения системы, решим ее относительно параметра p и получим:

При помощи обратного преобразования Римана — Меллина, встроенного в математический пакет, установим, что [6]

$C:\Users\Максим\Desktop\Снимок.PNG$

Вывод:

На практике установлено, что операторный метод является проще классического тем, что при его реализации требуется решать систему алгебраических уравнений.

В ходе научно — исследовательской работы была решена задача об исследовании изменения тока на катушке в переходных процессах.

В ее основе лежали два метода: классический и операторный. Оба метода широко применимы на практике, однако, второй предпочтен в случаи рассмотрения более сложных цепей.

Переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. А значит, проделанная работа имеет не только теоретическую ценность, но и не малое значение при расчете той или иной конкретной практической задачи.

Реализацию модели можно увидеть в приложение [5].

Костюкова Н.И. Основы математического моделирования. Интернет-Университет Информационных Технологий, 2008 г.
Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1986.
Попов В.П. Основы теории цепей — М.: Высшая школа, 2000.
Качанов Н. С. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.
Малеко Е.М., Захаркина Е.И. Численные методы. Издательство: Магнитогорск. гос. тех. ун-та им. Г.И. Носова, 2012.
Maple в инженерных расчетах: Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. 80 с.

Основные термины (генерируются автоматически): операторный метод, переходный процесс, катушка индуктивности, система уравнений, уравнение, цепь, дифференциальное уравнение, общее решение, переходной процесс, различный род.

Классический метод анализа переходных процессов кратко

Похожие статьи

Расчет переходного процесса при включении электропривода.

К расчёту переходных процессов в линейных электрических.

Аналитический обзор методов анализа переходных процессов.

Цепно-полевой подход к анализу переходных процессов.

Анализ режимов электроферромагнитных цепей приведением.

Исследование нелинейной динамической цепи с тиристорными.

О методе решения линейных интегральных уравнений.

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики.

Некоторые общие положения методики составления и решения.