Какую функцию называют возрастающей на некотором промежутке кратко

Обновлено: 07.07.2024

Функцию \(у = f(x)\) называют возрастающей на промежутке \(X\), если для любых двух точек x 1 и x 2 промежутка \(X\), таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f x 1 f x 2 .

Функция является возрастающей, если большему значению независимой переменной соответствует большее значение функции.

Функцию \(у = f(x)\) называют убывающей на промежутке \(X\), если для любых двух точек x 1 и x 2 промежутка \(X\), таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f x 1 > f x 2 .

Функция является убывающей, если большему значению независимой переменной сопоставимо меньшее значение функции.

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните!

Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

№ 259 (1) Мерзляк 9 класс

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Как определить по графику, что функция возрастает

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Запомните!

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

В этой статье мы строго определим понятия возрастающей и убывающей функций. Введем понятие монотонности и строгой монотонности, изучим ее свойства. Научимся применять монотонность для решения неравенств и поиска минимумов и максимумов.

Поведение функций

Начем издалека, с рассуждений, которые приведут нас к теме этой статьи. Надо ведь разобраться, как вообще люди пришли к идее возрастающих и убывающих функций, монотонности и почему.

Функция — правило, ставящее числу x в соответствие какое-то значение y . Зададимся вопросом, а как вообще может меняться функция?

Для проведения измерений нам нужно взять две разные точки x 1 и x 2 . Для удобства возьмем такие точки, чтобы x 1 x 2 , то есть мы как бы переходим от x 1 к x 2 (слева направо). Две точки есть. Теперь найдем все возможные варианты изменения функции для этой пары точек:

f ( x 1 ) f ( x 2 ) — значение функции увеличилось
f ( x 1 ) > f ( x 2 ) — значение функции уменьшилось
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) — значение функции не изменилось

Итак, в самом общем смысле на паре точек функция может измениться лишь тремя перечисленными выше способами. Ключевой момент — на паре точек x 1 и x 2 . Но поставленный в начале раздела вопрос более общий — нам нужно классифицировать поведение функции в общем на каком-то промежутке!

Судить о поведении функции на промежутке только по ее изменению на двух точках этого промежутка, конечно, нельзя. На иллюстрации ниже приведен наглядный пример, почему так делать нельзя: для пары точек x 1 , x 2 функция уменьшается, а для пары x 3 , x 4 увеличивается.

Как же тогда быть? А все просто! Нужно смотреть на изменение функции не на конкрентной паре точек, а на всех парах x 1 x 2 промежутка. Тогда, по аналогии со всеми возможными вариантами изменения функции на двух точках, можно выделить все возможные варианты поведения функции на промежутке:

Возрастание (для всех пар увеличивается)
Убывание (для всех пар уменьшается)
Постоянство (для всех пар не меняется)
Хаос (разные пары имеют разное изменение)

Теперь, когда у нас есть общее представление о типах поведения функций, приступим к подробному их анализу. Может, этот тернистый и полный опасностей путь выведет нас к интересным и полезным результатам? (спойлер: выведет)

Возрастающая функция

Функция f ( x ) на промежутке M ⊆ R называется возрастающей или неубывающей, когда для любых двух чисел x 1 , x 2 ∈ M этого промежутка, таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) .

∀ x 1 , x 2 ∈ M : x 1 x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 )

Функция f ( x ) на промежутке M ⊆ R называется строго возрастающей, когда для любых двух чисел x 1 , x 2 ∈ M этого промежутка, таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f ( x 1 ) f ( x 2 ) .

∀ x 1 , x 2 ∈ M : x 1 x 2 ⇒ f ( x 1 ) f ( x 2 )

Выяснить, являются ли следующие функции неубывающими или строго возрастающими: а ) f ( x ) = x б ) f ( x ) = 2 в ) f ( x ) = x 2 г ) f ( x ) = x

Пункт а) Берем две произвольные точки x 1 и x 2 , такие что x 1 x 2 . Раз f ( x ) = x , то получаем следующую ситуацию:

x 1 = f ( x 1 ) x 2 = f ( x 2 )

f ( x 1 ) f ( x 2 )

Это по определению означает, что функция f ( x ) = x является строго возрастающей на всей своей области определения ( − ∞ , + ∞ ) .

Пункт б) Функция f ( x ) = 2 при любом x равна 2 . Значит, для любых пар x 1 и x 2 вида x 1 x 2 значения функции будут равны:

f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = 2

Это по определению означает, что функция f ( x ) = 2 неубывает на всей области определения ( − ∞ , + ∞ ) .

Пункт в) Представляем график обычной параболы и замечаем, что функция x 2 не является возрастающей на всей своей области определения. Для доказательства этого достаточно взять x 1 = − 1 и x 2 = 0 . Найдем значения функции для этих точек:

f ( x 1 ) = x 1 2 = ( − 1 ) 2 = 1 f ( x 2 ) = x 2 2 = 0 2 = 0 f ( x 1 ) > f ( x 2 )

Итак, мы нашли такую пару точек, при которых значение функции уменьшилось. Значит, нельзя говорить, что f ( x ) = x 2 является неубывающей или строго возрастающей функцией на всей своей области определения ( − ∞ , + ∞ ) .

Попробуем для этой же функции рассмотреть только неотрицательные x . Вновь возьмем произвольную пару уже неотрицательных чисел 0 ≤ x 1 x 2 . Попробуем доказать, что:

f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 1 2 x 2 2 0 x 2 2 − x 1 2 0 ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 )

Первая скобка x 2 − x 1 будет положительной, так как по условию x 1 x 2 . Вторая скобка всегда положительная, так как в ней находится сумма двух положительных чисел. Произведение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому последнее неравенство выполняется.

Итак, мы по определению доказали, что квадратичная функция x 2 строго возрастает на полуинтервале [ 0 , + ∞ ) .

Пункт г) Сразу напомню, что квадратный корень от отрицательных чисел мы взять не можем, поэтому областью определения функции x

является все неотрицательные числа, то есть [ 0 , + ∞ ) . Берем две произвольные точки x 1 x 2 из этой области. Для строгой монотонности нам нужно доказать, что

f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 1

Выпишем последнее неравенство дважды. В первом обе части умножим на x 1

Читайте также: