Какими способами можно представить синусоидальную величину ответ кратко

Обновлено: 04.07.2024

Для сравнения электрических величин, изменяющихся по синусоидальному закону, необходимо знать разность их начальных фаз. Если на каком – либо участке ток (i) и напряжение (u) имеют одинаковые начальные фазы, говорят, что они совпадают по фазе. Если график изменения во времени напряжения (u) на каком – либо участке цепи пересекает координату времени t раньше графика тока (i), то говорят, что напряжение по времени опережает ток.

На рис. 2.4 для заданного элемента цепи представлены графики изменения во времени двух электрических величин: напряжения (u) и тока (i). Из этих двух графиков видно, что они сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол φ.

Рис. 2.4. Графическое изображение синусоидальных величин

Векторное изображение синусоидальных величин.

Синусоидальная функция является гармонической, т. к. сама функция, скорость ее изменения (первая производная), и ускорение (вторая производная) изменяются по одинаковому синусоидальному закону одной частоты [6].

При гармоническом изменении синусоидальной величины постоянной остаётся амплитуда. Этим можно воспользоваться для определения мгновенного значения электрической величины, не рассматривая графика её зависимости от времени. Синусоидальную функцию времени можно изобразить вектором, равным амплитуде данной функции, равномерно вращающимся с угловой скоростью (ω). При этом начальное положение вектора определяется (для t = 0) его начальной фазой (ψ_i).

Рис. 2.5. Векторное изображение синусоидальных величин

На рис. 2.5 показаны вращающийся вектор тока (I_m) и график изменения тока (i) во времени. При изображении синусоидальной ЭДС, напряжений и токов, из начала координат проводят векторы, равные амплитудным значениям этих величин под углом (ψ) к горизонтальной оси. Положительные углы (ψ) откладываются против часовой стрелки.

Если вращать вектор против часовой стрелки, то в любой момент времени он составит с горизонтальной осью угол, равный (ωt + ψ). Проекция вращающегося вектора на ось ординат (ось мгновенных значений) равна мгновенному значению синусоидальной величины.

Векторной диаграммой называется совокупность векторов на плоскости, изображающих ЭДС, напряжение и токи одной частоты.

Представление синусоидальных величин комплексными числами.

Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости в прямоугольной системой координат.

Комплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают (+j); по оси абсцисс – действительную часть комплексного числа, а ось обозначают (+1).

На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента, или в виде двух составляющих вектора, направленных по действительной и мнимой осям.

Рис. 2.6. Синусоидальный ток, представленный вектором

Например, синусоидальный ток представляют вектором ( ), модулем которого является значение амплитуды тока ( ), а аргументом – начальная фаза ( ), которую можно выражать в радианах или в градусах (рис. 2.6). Составляющим вектора ( ) по действительной оси будет ( ), а по мнимой – ( ), то есть .

Вектор ( ) называют комплексной амплитудой тока. Обычно при расчётах пользуются действующими значениями. При построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относительно осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать. При анализе электрических цепей переменного тока приходится иметь дело с умножением и делением электрических величин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме (2.11):

где – оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин.

Комплексное число.
В чистом виде синусоидальные ф-ии в уравнениях вызывают много проблем, так как неизвестными являются их амплитуды и фазы, но в уравнения входят функции, которые можно исключить из уравнений только в самых простейших случаях - типа RLC-цепи, не сложнее.
Если представить их вращающимся вектором на комплексной плоскости, то вместо синусов и косинусов у всех величин будет общий множитель - оператор вращения e^jwt, который тут же сократится из всех уравнений - и уравнения станут обычными алгебраическими. В результате цепи переменного тока в комплексных числах по принципу анализа и набору методов ничем не отличаются от цепей постоянного тока, и нет никаких принципиальных ограничений по сложности схемы. В практическом применении e^jwt сразу опускают, и некоторые преподы даже не помнят о его роли в переходе к комплексному представлению синусоидальных величин. И вместо функций времени (синусов и косинусов) мы получаем просто числа, правда - комплексные, но это даже для современных телефонов уже не проблема, прошли времена бессонных ночей с логарифмической линейкой.

Например, в виде бесконечных степенных рядов. В некоторых случаях можно сохранить только несколько первых членов таких рядов. Это облегчает вычисление этих функций.

Сколько способов вы знаете приготовления картошки? Наверное, много. Для каждой ситуации и применения, вы выберете вам удобный.
Так же и в случае с математикой. И синус-функциями в вашем примере. Применяют тот способ, который удобнее по нескольким критериям - сложность расчета, требуемая точность, наглядность (для исследования) и так далее.

аналитическая (AsinB)
алгебраическая (а+jb)
векторная (полярные координаты)
операторная
табличная (таблицы Брадиса)
у каждой свое применение.. как у ложки, вилки и поварежки..

1. Представление синусоидальных величин вращающимися векторами (рис.2.3).

Рис. 2.3 Векторное изображение синусоидальных величин: а) – вращающийся вектор; б) – кривая изменения его проекции на ось Оа.

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.

Любую синусоидально изменяющуюся во времени величину можно изображать вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а угловая скорость вращения – угловой частоте этой синусоидальной величины. Начальное положение вращающегося вектора определяется углом, равным начальной фазе синусоидальной величины y и отклоняемым от положительного направления оси ОХ в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

2. Представление синусоидальных величин с помощью комплексных чисел. Символический метод.

Символический метод или метод комплексных чисел соединяет в себе достоинства аналитического способа с наглядностью, присущей геометрической интерпретации.

Представление векторов в виде комплексных чисел позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими действиями над их комплексами и, таким образом, выполнить любую задачу аналитическим способом.

Рис. 2.4 Представление вектора в комплексной плоскости: · - комплексное число, A_m – комплексная амплитуда, А – комплексное действующее значение синусоидальной величины A=A_m/√2=Ae iΨ (A

Проекция вектора на мнимую ось j (ось ординат) соответствует коэффициенту при мнимой единице j-А².

Мнимая единица j представляет собой поворотный множитель, умножение на который означает поворот вектора на 90 о против часовой стрелки, т.е. поворот в положительном направлении.

Модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изображающего это комплексное число.

Аргумент комплексного числа определяется выражением

и показывает угол, на который повёрнут вектор по отношению к положительному направлению вещественной оси +1.

Таким образом, любой вектор однозначно изображается комплексным числом, соответствующим концу этого вектора, т.е. точке.

Комплексный метод расчёта применим только к цепям с синусоидальными ЭДС, напряжениями и токами, т.к. только синусоидальные величины можно изобразить векторами.

Существуют 3 формы записи комплексного числа:

1) алгебраическая: A=A’+jA” или зачастую записывают так:

- действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной величины:

Переход от показательной формы к тригонометрической выполняется при помощи формулы Эйлера:

Переход от алгебраической формы к показательной и от показательной к тригонометрической выполняется с помощью модуля |A| и аргумента комплексного числа y в соответствии с алгоритмами -(рис.2.5 а, б).

Рис. 2.5 Алгоритм перехода (представления) синусоидально изменяющегося вектора из одной формы в другую:

а – алгебраической в показательную; б – показательной в тригонометрическую.

Комплекс может быть выражен также в показательной форме:

Здесь представляет собой так называемый поворотный множитель, показывающий, вектор длиной А повёрнут относительно положительного направления вещественной оси +1 на угол y.

Если вектор, выраженный комплексом , умножить на комплекс , то получим вектор той же длины, но образующий с положительным направлением вещественной оси угол y+g, т.е. вектор, опережающий на угол g:

Для перевода из алгебраической формы в показательную определяют модуль и аргумент по формуле

Сложение и вычитание комплексных чисел производится только в алгебраической форме.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить в алгебраической форме, однако это удобнее произвести в показательной форме.

Комплексное число, изображающее производную синусоидальной функции, равно комплексному числу, изображающему саму синусоидальную функцию , умноженному на jw.

Комплексное число, изображающее интеграл синусоидальной функции, равно комплексному числу, изображающему саму синусоидальную функцию , делённому на jw.

Согласно формулы Эйлера (2.1) и (2.1¢) для единичного вектора (А=1) модуль комплексного числа

Умножая правую и левую часть формулы Эйлера (2.1) на I_m, получим

В общем случае угол y может быть представлен так:

Подставляя выражение (2.2) в выражение (2.1²), мы можем представить его в следующем виде:

Теперь представим, что имеет место ток, изменяющий свою форму во времени по синусоидальному закону:

Эта синусоидально изменяющаяся величина (2.4) соответствует мнимой части уравнения (2.3), т.е.:

Обычно комплексное число соответствует определённой синусоиде и запись выполняют для t=0; тогда выражение 2.5 для синусоидального тока можно представить комплексным числом

Левые части этих выражений – это комплексные числа, соответствующие комплексной амплитуде тока I_m и комплексу действующего значения тока I.

Правые части – амплитудное (I_m) и действующее (I) значения тока, повёрнутые на угол j в положительном направлении относительно вещественной оси +1 (см. рис.2.4.)

При этом согласно формуле (2.1):

Таким образом, поворот вектора А_m на угол ±p/2, соответствует умножению его на ±j; поворот на ±p - умножению его на -1 и т.д.

Пусть имеется синусоидально изменяющееся напряжение, аналитическая запись которого может быть произведена следующим образом

и графически представлена в виде синусоиды, сдвинутой относительно начала системы координат на угол 45 о – рис. 2.6а.

Рис. 2.6 Пример представления комплексного числа двумя способами:

а) – в виде синусоиды sinwt, б) – в виде вектора, расположенного в комплексной системе координат (+j,+1).

Запись действующего значения данного напряжения можно выполнить так:

Используя теорему Эйлера (2.1), запись можно произвести и так:

Имеется синусоидально изменяющийся ток

Интерпретация действующего значения данного тока с помощью комплексного числа будет такова:

Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи можно изображать графически в виде соответствующих синусоид, такие графики в электротехнике называют волновыми диаграммами (см. рис. 13).

Обычно на одной волновой диаграмме изображают несколько синусоид переменных величин (напряжений, токов), относящихся к одной и той же цепи. Для оценки их взаимного расположения вдоль оси абсцисс вводится разность их начальных фаз, называемая фазовым сдвигом. Чаще всего встречается фазовый сдвиг между током и напряжением.

Если фи>0 , то говорят, что напряжение опережает ток по фазе, при фи напряжение отстает по фазе от тока, при фи=0 напряжение и ток совпадают по фазе, а если фи=П , то напряжение и ток находятся в противофазе.

Волновые диаграммы не всегда удобны для исследования, особенно при сложных разветвленных цепях. Проще в этом случае изображать синусоидальные величины вращающимися векторами. Изобразим вращающийся вектор, соответствующий току:

Длина отрезка ОА в принятом масштабе равна амплитуде тока . Проекция вектора на ось ординат (ОВ) равна мгновенному значению тока в момент времени . При вращении вектора в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки) с угловой скоростью в любой момент времени его проекция на ось ординат будет равна соответствующему мгновенному значению тока:

Любой вектор на плоскости, проведенный из начала координат и изображающий значение ЭДС, напряжения или тока, однозначно определяется точкой, соответствующей концу этого вектора (точка на рисунке).

Комплексное число (соответствующее точке ) имеет вещественную (ОС) и мнимую (ОВ) составляющие на комплексной плоскости.

Перевод комплексных чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:

Для напряжения и тока аналогично.

При расчетах цепей синусоидального тока целесообразно перейти от гармонических функций времени к их изображениям в комплексной форме и производить все расчеты, используя комплексные числа. Конечный результат может быть представлен снова в виде синусоидальной функции времени.

Читайте также: