Каким свойством обладает длина отрезка 5 класс ответы кратко

Обновлено: 04.07.2024

Геометрию начинают изучать в 7 классе и в первую очередь знакомятся с ее основными понятиями: точка, прямая, плоскость, луч, отрезок. Если нарисовать прямую линию и на ней поставить две точки, то часть прямой между ними и будет отрезком.

Отрезком называют часть прямой, заключенную между двумя точками.

АВ и CD — отрезки. Точки А, В и С, D — концы этих отрезков.

Что значит измерить длину отрезка

Прямая не имеет длины, она бесконечна, а отрезок имеет начало и конец и его можно измерить. Его длина — это расстояние между конечными точками. Измерить отрезок — значит измерить расстояние между его концами.

Чтобы узнать определенную величину, ее сравнивают с эталонной величиной, единицей. Длина выражается в миллиметрах (мм), сантиметрах (см), дециметрах (дм), метрах (м), километрах (км). Например, чтобы найти длину отрезка, мы прикладываем к нему линейку и сравниваем их. На линейке нанесены нужные нам эталонные отрезки — сантиметры и миллиметры, и мы смотрим, сколько сантиметров и миллиметров помещается в наш отрезок. Длина изображенного на рисунке отрезка АВ — 4 сантиметра, кратко это записывают как 4 см.

Умение измерять длину полезно не только на уроках математики. Оно поможет в чтении масштаба географической карты и построении маршрута на местности.

Длина отрезка на координатной плоскости

Если отрезок лежит в координатной плоскости, то его длину можно вычислить, если известны координаты его конечных точек.

Точки А (1;6) и В (8;1) являются концами отрезка, лежащего на координатной плоскости. Построим прямые линии через них перпендикулярно осям координат и получим проекции отрезка AB на осях x и y. Данный отрезок будет гипотенузой получившегося прямоугольного треугольника АВС. Так как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, зная длины отрезков АС и СВ, можем посчитать длину искомого отрезка. Составим уравнение:

A B 2 = А С 2 + С В 2 ;

A B = A С 2 + C В 2 .

Если координаты конечных точек ( x 1 ; y 1 ) и ( x 2 ; y 2 ) , то формула для нахождения длины отрезка принимает вид: l = y 2 - y 1 + x 2 - x 1 , где l — длина искомого отрезка.

Длина отрезка — всегда положительное число.

Свойства длины отрезка

Длины равных отрезков равны.
Точка делит отрезок на два отрезка, причем сумма длин двух образовавшихся отрезков равна длине всего отрезка. На рисунке точка С лежит на отрезке АВ и делит его на два отрезка АС и СВ. АС = 3 см, СВ = 1 см, АВ = 4 см, т.е. АС + СВ =3 см +1 см =4 см.
Длину одного отрезка можно выразить через длину другого отрезка. Если длина отрезка а в n раз больше длины отрезка b, то верно выражение а = nb. На рисунке ВС=1 см, а АВ=4 см, поэтому можем записать АВ=4ВС. Верно также будет, что АВ=2BD, а BD=2ВС, так как BD=2 см.

Примеры решения задач с пояснениями

Дано: Четыре отрезка лежат на одной прямой. AN=NB, ВК=КС, АС=5 см.

Решение: длина отрезка АС равна сумме длин составляющих его отрезков. АС=AN+NB+ВК+КС. Так как AN=NB, ВК=КС и АС=5 см, то 2NB+2ВК=5 (см), 2·(NB+ВК)=5 (см),NB+ВК=2,5 (см), NB+ВК=NK ⇒ NK=2,5 (см).

Ответ: NK = 2,5 см.

Дано: на прямой лежат точки О, А, В, ОА = 12 см, ОВ = 9 см.

Найти: расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если

точка О расположена на отрезке АВ;
О не лежит на АВ.

Пусть М — середина отрезка ОА, N — середина отрезка ОВ.

Длина отрезка MN равна расстоянию между серединами отрезков ОА и ОВ, a MN=МО+ON=6 (см)+4,5 (см)=10,5 (см).

Комментарий: новую точку на чертеже, образованную пересечением отрезков AC и BD мы не учитываем, поскольку о ней не говорится в задании.

Для того, чтобы образование 6 отрезков выглядело более наглядно, можно расположить заданные точки в следующем порядке:

Такое решение задания также является правильным.

47. Начертите отрезки MN и АС так, чтобы MN = 6 см 3 мм, АС = 5 см 4 мм.

48. Начертите отрезки EF и ВК так, чтобы EF = 9 см 2 мм, ВК = 7 см 6 мм.

49. Начертите отрезок АВ, длина которого равна 8 см 9 мм. Отметьте на нём точку С так, чтобы СВ = 3 см 4 мм. Какова длина отрезка АС?

50. Начертите отрезок ТР, длина которого равна 7 см 8 мм. Отметьте на нём точку Е так, чтобы ТЕ = 2 см 6 мм. Какова длина отрезка ЕР?

TP — TE = 7 см 8 мм — 2 см 6 мм = 5 см 2 мм

Ответ: 5 см 2 мм.

51. Сравните на глаз отрезки АВ и CD (рис. 17). Проверьте свой вывод измерением.

Глядя на рисунок 17 кажется, что отрезок CD > AB.

Проверим вывод измерением:

Ответ: эти отрезки равны.

52. Назовите все ломаные, изображённые на рисунке 11. Какая из них имеет наибольшее количество звеньев?

На рисунке 11 можно выделить 5 ломаных:

BAC — 2 звена
BADE — 3 звена
ADE — 2 звена
CADE — 3 звена
CAD — 2 звена

Значит наибольшее количество звеньев имеют ломанные BADE и CADE.

53. Назовите звенья ломаной, изображённой на рисунке 18, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Назовём звенья ломанной и измерим их длину:

AB = 19 мм
BE = 18 мм
EK = 16 мм
KP = 11 мм
PR = 12 мм

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

AB + BE + EK + KP + PR = 19 + 18 + 16 + 11 + 12 = 76 (мм) — длина ломаной ABEKPR

Ответ: длина ломаной 76 мм.

54. Запишите звенья ломаной, изображённой на рисунке 19, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Назовём звенья ломанной и измерим их длину:

ST = 27 мм
TK = 13 мм
KM = 11 мм
MD = 11 мм
DO = 12 мм
OF = 13 мм

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

ST + TK + KM + MD + DO + OF = 27 + 13 + 11 + 11 + 12 + 13= 87 (мм) — длина ломаной STKMDOF

Ответ: длина ломаной 87 мм .

55. Отметьте в узле клеток тетради точку А; точку В разместите на 4 клетки левее и на 5 клеток выше точки А; точку С — на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки В; точку D — на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки С; точку Е — на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки D. Соедините последовательно отрезками точки А, В, С, D и Е. Какая фигура образовалась? Запишите её название и укажите количество звеньев.

Образовалась фигура ломаная ABCDE. Она состоит из 4 звеньев.

56. Вычислите длину ломаной ABCDE, если АВ = 8 см, ВС = 14 см, CD = 23 см, DE = 10 см.

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

AB + BC + CD + DE = 8 + 14 + 23 + 10 = 55 (см) — длина ломаной ABCDE.

Ответ: длина ломаной 55 см.

57. Вычислите длину ломаной MNKPEF, если MN= 42 мм, NK = 38 мм, КР = 19 мм, РЕ = 12 мм, ЕF = 29 мм.

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

MN + NK + KP + PE + EF = 42 + 38 + 19 + 12 + 29 = 140 (мм) — длина ломаной MNKPEF.

Ответ: длина ломаной 55 см.

58. Начертите в тетради ломаную, изображённую на рисунке 20. Измерьте длины звеньев (в миллиметрах) и найдите длину ломаной.

Измерим длины звеньев ломаной:

AB = 18 мм
BC = 30 мм
CD = 36 мм

AB + BC + CD = 18 + 30 + 36 = 84 (мм) — длина ломаной ABCD

Ответ: длина ломаной 84 мм.

59. Известно, что отрезок SK в 3 раза больше отрезка RS (рис. 21). Найдите длину отрезка RK, если RS = 34 см.

34 • 3 = 102 (см) — длина отрезка SK.

34 + 102 = 136 (см) — длина отрезка RK.

Ответ: длина отрезка RK 136 см.

60. Известно, что отрезок DB в 5 раз меньше отрезка AD (рис. 22). Найдите длину отрезка АВ, если AD = 135 см.

135 : 5 = 27 (см) — длина отрезка DB.

135 + 27 = 162 (см) — длина отрезка АВ.

Ответ: длина отрезка АВ 162 см.

61. Известно, что АС = 32 см, ВС = 9 см, CD = 12 см (рис. 23). Найдите длины отрезков АВ и BD.

32 — 9 = 23 (см) — длина отрезка AB.

9 + 12 = 21 (см) — длина отрезка BD.

Ответ: AB = 23 см, BD = 21 см.

62. Известно, что MF= 43 см, ME = 26 см, КЕ = 18 см (рис. 24). Найдите длины отрезков МК и EF.

26 — 18 = 8 (см) — длина отрезка MK.

43 — 26 = 17 (см) — длина отрезка EF.

Ответ: MK = 8 см, EF = 17 см.

63. Даны две точки А и В. Сколько можно провести отрезков, соединяющих эти точки? Сколько можно провести ломаных, соединяющих эти точки?

Через две данные точки А и В можно провести один и только одинотрезок, соединяющий эти точки.
Через две данные точки А и В можно провести бесконечное количество ломанных, соединяющих эти точки.

64. Начертите отрезок МК и отметьте на нём точки А и С. Запишите все образовавшиеся отрезки.

На рисунке образовались отрезки: MA, MC, MK, AC, AK, CK. Всего 6 отрезков.

65. Длина отрезка АВ равна 28 см. Точки М и К принадлежат этому отрезку, причём точка К лежит между точками М и В, AM = 12 см, ВК = 9 см. Найдите длину отрезка МК.

28 — (12 + 9) = 28 — 21 = 7 (см) — длина отрезка MK.

66. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина отрезка АС равна 15 см, а отрезок АВ на 5 см больше отрезка АС. Чему равна длина отрезка ВС? Есть ли в условии задачи лишние данные?

Так как по условию задачи АВ на 5 см больше отрезка АС, то есть AB — AC = 5 см, то BC = 5 см.

67. Отрезки MT и FK равны (рис. 25). Сравните отрезки MF и ТК.

По условию MT = FK. Значит можно записать уравнение:

68. Постройте ломаную ACDM так, чтобы АС = 15 мм, CD = 24 мм, DM = 32 мм. Вычислите длину ломаной.

ACDM = АС + CD + DM

15 + 24 + 32 = 71 (мм) — длина ломаной ACDM.

69. Постройте ломаную CEFK так, чтобы звено СЕ было равно 8 мм, звено EF было на 14 мм больше звена СЕ, а звено FK — на 7 мм меньше звена EF. Вычислите длину ломаной.

EF = 8 + 14 = 22 мм

FK = 22 — 7 = 15 мм

CEFK = CE + EF + FK

8 + 22 + 15 = 45 (мм) — длина ломаной CEFK.

70. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 26.

Разделим ломаные на единичные отрезки равные заданному и посчитаем их количество.

а) ломаную можно разделить на 25 отрезков, равных заданному. Длина заданного отрезка 5 мм, значит длина ломаной: 5 • 25 = 125 мм.
б) ломаную можно разделить на 21 отрезок, равных заданному. Длина заданного отрезка 4 мм, значит длина ломаной: 4 • 21 = 84 мм.
в) ломаную можно разделить на 31 отрезок, равный заданному. Длина заданного отрезка 8 мм, значит длина ломаной 8 • 31 = 248 мм.

Ответ: 125 мм, 84 мм и 248 мм.

71. Известно, что АС = 8 см, BD = 6 см, ВС = 2 см (рис. 27). Найдите длину отрезка AD.

8 — 2 = 6 (см) — длина отрезка AB.

6 + 6 = 12 (см) — длина отрезка AD.

Ответ: AD = 12 см.

72. Известно, что MF= 30 см, ME = 18 см, KF = 22 см (рис. 28). Найдите длину отрезка КЕ.

30 — 18 = 12 (см) — длина отрезка EF.

22 — 12 = 10 (см) — длина отрезка KE.

Ответ: KE = 10 см.

73. Известно, что KP = PE = EF= FT = 2 см (рис. 29). Какие ещё равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.

На рисунке 29 можно найти следующие равные отрезки:

74. На первом отрезке отметили семь точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 3 см, а на втором — десять точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Расстояние между какими крайними точками больше: лежащими на первом отрезке или лежащими на втором отрезке?

Если на отрезке отметить семь точек на равном расстоянии, то получится 6 равных отрезков. Это значит, что на первом отрезке будет отмечено 6 отрезков по 3 см, а длина первого отрезка будет равна: 3 • 6 = 18 см.
Если на отрезке отметить десять точек на равном расстоянии, то получится 9 равных отрезков. Это значит, что на втором отрезке будет отмечено 9 отрезков по 2 см, а длина второго отрезка будет равна: 2 • 6 = 18 см.

Это значит, что расстояние между крайними точками у первого и второго отрезка будет одинаковым.

Проверим вывод графически:

75. Известно, что АЕ = 12 см, AQ = QB, ВМ = MС, СК = KD, DR = RE, МК = 4 см (рис. 30). Найдите длину отрезка QR.

Для удобства обозначим равные отрезки отдельными цветами.

1) Известно, что МК = 4 см.

МК = MС + СК = 4 см

2) Известно, что ВМ = MС и KD = СК . Значит:

ВМ + KD = MС + СК = 4 см

3) ВD = ВМ + MС + KD + СК = ( ВМ + KD) + ( MС + СК) = 4 + 4 = 8 см

4) Мы знаем, что АЕ = 12 см, ВD = 8 см.

AQ + QB + DR + RE = АЕ — ВD = 12 — 8 = 4 см

5) Известно, что AQ = QB и DR = RE . Значит:

AQ + RE = QB + DR = 4 : 2 = 2 см

6) QR = АЕ — ( AQ + RE ) = 12 — 2 = 10 см

Ответ: QR = 10 см.

76. Какое наименьшее количество точек надо отметить на отрезках, изображённых на рисунке 31, чтобы на каждом из них были две отмеченные точки, не считая концов отрезков?

а) Надо отметить 4 точки: две на отрезке AB (например E и F) и две на отрезке CD (например H и G).

б) Надо отметить 3 точки: точку пересечения отрезков CD и AB (точка O) и по одной точке на отрезке CD (например точку S) и на отрезке AB (например P).

в) Надо отметить 4 точки: точку пересечения отрезков EF, AB и CD (точка M), а также по одной точке на отрезке EF (например G), отрезке AB (например точку L) и отрезке CD (например K).

г) Надо отметить 3 точки: точку пересечения отрезков DC и FE (точка W), точку пересечения отрезков AB и FE (точка V) и точку пересечения отрезков AB и DC (точка Z).

77. У Миши есть линейка, на которой отмечены только 0 см, 5 см и 13 см (рис. 32). Как, пользуясь этой линейкой, он может построить отрезок длиной:

1) 3 см — Миша должен начертить отрезок 13 см, а потом от одной из конечных точек два раза отмерить по 5 см:

13 — 5 • 2 = 13 — 10 = 3 (см)

2) 2 см — Миша должен три раза отмерить отрезки по 5 см, а потом вычесть из полученного большого отрезка отрезок 13 см:

5 • 3 — 13 = 15 — 13 = 2 (см)

3) 1 см — Миша должен два раза отмерить отрезки по 13 см, а потом из полученного большого отрезка вычесть пять раз по 5 см:

13 • 2 — 5 • 5 = 26 — 25 = 1 (см)

Упражнения для повторения

78. Вычислите:

79. Выполните действия:

80. Детскому саду подарили четыре ящика конфет по 5 кг в каждом и шесть ящиков печенья по 3 кг в каждом. На сколько килограммов больше подарили конфет, чем печенья?

1) 5 • 4 = 20 (кг) — конфет подарили.

2) 3 • 6 = 18 (кг) — печенья подарили.

3) 20 — 18 = 2 (кг) — конфет больше, чем печенья.

Ответ: конфет подарили больше на 2 кг.

81. Медведица Настасья Петровна заготовила на зиму 7 бочонков мёда по 12 кг в каждом и 8 бочонков мёда по 10 кг в каждом. Сколько всего килограммов мёда заготовила Настасья Петровна?

1) 12 • 7 = 84 (кг) — мёда в 12-ти килограммовых бочонках.

2) 10 • 8 = 80 (кг) — мёда в 10-ти килограммовых бочонках.

3) 84 + 80 = 164 (кг) — мёда заготовила Настасья Петровна.

82. В магазин привезли 240 кг бананов и 156 кг апельсинов. Треть привезённых фруктов продали в первый день, а остальные — во второй день. Сколько килограммов фруктов продали во второй день?

1) 240 + 156 = 396 (кг) — фруктов завезли.

2) 396 : 3 = 132 (кг) — фруктов продали в 1 день.

3) 396 — 132 = 264 (кг) — фруктов продали во 2 день.

83. Кот Матроскин вырастил в своём саду 246 кг яблок и 354 кг груш. Шестую часть всех фруктов он отдал своим друзьям из детского сада, пятую часть всех фруктов — друзьям из школы, а остальное — в больницу. Сколько килограммов фруктов Матроскин отдал в больницу?

1) 246 + 354 = 600 (кг) — фруктов вырастил Кот Матроскин.

2) 600 : 6 = 100 (кг) — фруктов отдал в детский сад.

3) 600 : 5 = 120 (кг) — фруктов отдал в школу.

4) 600 — (100 + 120) = 600 — 220 = 380 (кг) — фруктов отдал в больницу.

Задача от мудрой совы

84. Укажите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 101.

Для того, чтобы в искомом натуральном числе было наименьшее количество цифр найдём максимальное количество цифр 9 (самая большая цифра), которые мы сможем использовать:

99 : 9 = 11 — девяток можно использовать.

Далее найдём оставшуюся цифру, необходимую для того, чтобы сумма цифр искомого числа равнялась 101:

101 — 9 • 11 = 101 — 99 = 2 — оставшаяся цифра искомого числа.

Это значит, что в искомом натуральном числе одна цифра 2 и одиннадцать цифр 9. Теперь расположим цифры так, чтобы натуральное число было наименьшим.

299 999 999 999 — на место сотен миллиардов поставим самую маленькую цифру.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

Свойства длин отрезков:

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:

Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

CA CA.

Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

CA > CB или CB AC.

Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то

AB = AC.

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

1. Как обозначают отрезок? 2.Какие вы знаете единицы длины? 3.Объясните, что означает измерить длину отрезка. 4. Каким свойством обладает длина отрезка? 5. Какие отрезки называют равными? 6. Какие длины имеют равные отрезки? 7.Какой из двух неравных отрезков считают большим? 8. Что называют расстоянием между точками A и B? 9.Объясните, какую геометрическую фигуру называют ломаной? 10. Что называют длиной ломаной? 11. Какую ломаную называют замкнутой? 5 класс

1. Отрезок обозначают линией, на краях которой делают засечки. 2. Единицы длины - ангстрем, микрон, миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр, парсек, астрономический год. 3. Измерить длину отрезка значит определить сколько раз в него входит единица длины. 4. Длина отрезка постоянна. 5. Равные отрезки, если у них одинакова длина 6. Длины равны 7. Большими, если длина больше. 8. Расстояние между точками - длина отрезка. 9. Ломаной фигурой называют такую фигуру, которая состоит из отрезков, конец последнего является началом первого. 10. Длина ломаной - сумма длин отрезков, входящих в нее. 11. Замкнутая ломаная, если конец последнего отрезка совпадает с началом первого и все они связаны.

Вопросы в конце темы в учебнике, который тебе лень прочесть.
Открывай в учебнике тему про отрезки, читай и выписывай ответы.
Ты думаешь, что за тебя это кто-то сделает? Не надейся.

там скорее всего и думать нечем. полное нежелание даже какое-то усилие приложить.

Читайте также: