Какие системы счисления применяются в компьютере для предоставления информации кратко
Обновлено: 04.07.2024
Система счисления – это способ записи чисел с помощью символов. Мы все привыкли использовать десять различных знаков для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такая система счисления называется десятичной. Один знак числа называется цифрой.
Основание системы счисления – это количество знаков, используемых для записи числа в этой системе. Основанием системы счислений, как правило, может являться любое натуральное число (например, шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления), но сегодня наиболее распространены (кроме десятичной) двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Основание системы счисления указывается подстрочным знаком после числа, например 1012.
Разряд числа – это место цифры в числе. В зависимости от количества разрядов мы называем числа двузначными, трёхзначными, четырёхзначными и т.д.
Двоичная система счисления
Популярность двоичной системы в информатике обусловлена тем, что для записи чисел используется всего две цифры: 0 и 1. Это соответствует значению одного бита, который тоже может принимать значения 0 и 1. Поэтому во многих случаях один разряд двоичного числа называют битом. А так как в вычислительной технике информация передаётся в битах, то и числа удобнее передавать в виде двоичного (бинарного) кода.
Простой пример. IP-адрес компьютера состоит из четырёх байт, разделенных точками, к примеру:
192.168.0.1
Почему байты записаны в виде чисел? Если перевести байты этого IP-адреса в биты (двоичную систему), мы получим четыре восьмизначных двоичных числа:
11000000. 10101000.00000000.00000001
Двоичные числа состоят из восьми разрядов, а байт равен восьми битам.
Восьмеричная система счисления
Двоичная система счисления удобна для компьютера, но не очень удобна для людей, так как числа, записанные в ней, получаются очень большими по размеру. Представьте, десятичное число 10000000 в двоичной системе выглядит как 100110001001011010000000, не очень удобно, согласитесь?
Поэтому была введена восьмеричная система счисления. Восьмеричная система отличается от десятичной тем, что двоичные числа очень удобно приводить к основанию 8, а восьмеричные – к основанию 2. С десятичной всё немного сложнее. Для перевода используется таблица триад (в правом нижнем углу сайта есть кнопочка, можете посмотреть, а почитать про правила перевода можно здесь).
Шестнадцатеричная система счисления
Помните, что один разряд двоичной системы – это один бит? А два разряда шестнадцатеричной системы – это один байт. В современных компьютерах информация кодируется в байтах, поэтому во многих случаях удобно использовать шестнадцатеричную систему.
В шестнадцатеричной системе шестнадцать разрядов: цифры от 0 до 9, и буквы от A до F (где буквы от A до F – десятичные числа от 10 до 15 соответственно).
Шестнадцатеричную систему используют в низкоуровневом программировании, в компьютерном дизайне широко используются шестнадцатеричные коды цвета, в некоторых кодировках символы кодируются именно с помощью шестнадцатеричной системы… В общем, штука полезная:).
Одно из заданий ЕГЭ предыдущих лет было как раз на знание шестнадцатеричных цветовых кодов.
Решение: Данный код является кодом цвета в палитре RGB, то есть первые два разряда – Red, вторые два разряда – Green, третьи два разряда – Blue:
Получается, что красного цвета - 0, синего цвета – 0, а зелёного – FF, то есть 255 в десятичной системе счисления (максимальное двузначное шестнадцатеричное число). То есть это код чистого зелёного цвета.
Подобные коды вы можете встретить, к примеру, в палитре цветов Adobe Photoshop, или при разработке внешнего вида сайта, когда для различных элементов дизайна необходимо указать код цвета.
В компьютере используют двоичную систему счисления для Представления информации, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами счисления:
• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (а не с десятью, как в десятичной системе счисления). Например: электромагнитное реле (замкнуто/ разомкнуто), которое широко использовалось в конструкциях первых ЭВМ; участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен/размагничен); участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает); триггер, который может устойчиво находиться в одном из двух состояний;
• широко используется в оперативной памяти компьютера;
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации (см. гл. 3);
• двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы счисления — быстрый рост числа
разрядов, необходимых для записи чисел.
Человеку очень трудно воспринимать многоразрядные числа, т.е. числа, записанные в двоичном коде, а для компьютера разрядность числа не имеет большого значения, так как современные компьютеры обрабатывают за один такт работы процессора более 64 двоичных разрядов.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот выполняет машина, однако программисты часто используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления на этапах отладки программ и просмотра содержимого файлов в режиме машинных кодов.
Числа в этих системах счисления читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе счисления (числа 8 и 16 — соответственно третья и четвертая степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления очень прост; достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) Для восьмеричной системы счисления или тетрадой (четверкой Цифр) для шестнадцатеричной системы счисления.
Примеры.
5 3 7 1 1 А 3 F
Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады или тетрады и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатери-чной цифрой.
Примеры.
10101001, 101112 = 10 101 001, 101 1112 = 251,568; 2 5 1 5 6
10101001, 101112 = Ю10 1001, 1011, 10002=Л9, Я816.
А 9 В 8
Арифметические операции в позиционных системах счисления
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только нужно пользоваться особыми для каждой системы таблицами сложения и умножения.
Сложение.При сложении цифры суммируются по разрядам; если при этом возникает избыток, то он переносится влево в старший разряд.
Сложение в двоичной системе счисления
Примеры.
Сложение в десятичной системе счисления: 1510+ 610.
Сложение в двоичной системе счисления: 11112+ 110:
Рассмотрим еще несколько примеров сложения в двоичной системе счисления:
/ 1111 11111 1 111,1
100 1 110 1 11111 10 100 11,111
+ 10 Ю + 10 1 1 + _____ 1 + 1 100 1,1 10
10011 11000 100000 1101101,101
Вычитание.При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее число и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания точка означает заем в старшем разряде, который переходит в младший разряд как д единиц.
Примеры.
Вычитание в десятичной системе счисления: 201,2510 -59,7510.
Вычитание в двоичной системе счисления: 11001001,01, -- 111011,112.
1 100 100 1,0 1 00111011,11 1000 110 1,10
Рассмотрим еще несколько примеров вычитания в десятичной системе счисления:
110 110 10 1 10 11100 1,1
Ю10 111111000 110 1,1
00 10 10 110 00 10 1 100,0
Умножение.Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при" этом Результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Умножение в двоичной системе счисления
Примеры.
Рассмотрим несколько примеров умножения в двоичной системе счисления:
| 100 1, 1 | 1 1 0 0,0 1 | 1 0 0 0 0 0, 1 |
| * 10,1 | х 10,0 1 | |
| 100 11 | 110001 | |
| + 1 0 0 11 | + 11000 1 | + 1 0 0 0 0 0 1 |
| 101 1 1, 1 1 | 1 0 0 1 0 0, 1 1 | 100 1001,00 1 |
Деление.Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, что и деление углом в десяnbой системе счисления. В двоичной системе счисления деление выполняется особенно просто: ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Примеры.Разделить 5865 на 115.
Деление в десятичной системе счисления: 586510 : 115ш.
| 5865 115 |
| 5 1 |
| 1 15 1 15 |
Деление (5865 : 115) 10 в двоичной системе счисления: 10И01И010012:11100112.
Изучение систем счисления, которые используются в компьютерах, важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в ЭВМ.
Система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр) и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на непозиционные и позиционные. В непозиционных системах счисления, которые появились значительно раньше позиционных, смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Примером такой системы счисления является римская, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. Недостатком непозиционных систем является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. Правила выполнения вычислений с многозначными числами в позиционной системе счисления были разработаны средневековым математиком Мухамедом аль-Хорезми и в Европе были названы алгоритмами (от латинского написания имени аль-Хорезми – Algorithmi).
В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления . Позиционных систем счисления существует множество и отличаются они друг от друга алфавитом — множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр в нем) называется основанием системы счисления. Последовательная запись символов алфавита (цифр) изображает число. Позиция символа в изображении числа называется разрядом. Разряду с номером 0 соответствует младший разряд целой части числа. Каждому символу соответствует определенное число, которое меньше основания системы счисления. В зависимости от позиции (разряда) числа значение символа умножается на степень основания, показатель которой равен номеру разряда.
Таким образом, целое положительное число А в позиционной системе счисления можно представить выражением:
или , где p — основание системы счисления, целое положительное число; a — cимвол (цифра); n — номер старшего разряда числа.
Обозначения цифр берутся из алфавита, который содержит p символов. Каждой цифре соответствует определенный количественный эквивалент. Обозначение ak следует понимать как цифру в k-м разряде. Всегда выполняется неравенство: ak
Запись A(p) указывает, что число А представлено в системе счисления с основанием р:
Примером системы счисления является всем нам хорошо известная десятичная система счисления. Любое число в ней записывается с помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Важно, что значение каждой цифры зависит от того места, на котором она стоит в этой записи. Например, 1575: цифра 5 в записи числа встречается дважды: цифра 5 в последнем разряде — число единиц, а цифра 5, находящаяся в записи числа левее, — число сотен. Т.к. значение каждой цифры (ее "вес") определяется той позицией, которую цифра занимает в записи числа, то система счисления называется позиционной. В десятичной системе счисления значение единицы каждого разряда в 10 раз больше единицы соседнего с ним правого разряда.
Само число 10 называется основанием системы счисления, а цифры, используемые в десятичной системе — базисными числами этой системы.
Но в качестве основания системы счисления можно выбрать любое целое число. Чтобы отличить, в какой системе счисления записано число, будем указывать основание системы счисления в виде индекса в десятичной системе счисления, заключенного в круглые скобки. Если основание системы счисления равно 10 или очевидно из контекста, то индекс будет опущен.
В компьютере для представления информации используются десятичная, двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. Количество цифр, которое требуется для изображения числа в позиционной системе счисления , равно основанию системы счисления р. Например, для записи чисел в двоичной системе счисления требуется две цифры, в десятичной — десять, а в шестнадцатеричной — шестнадцать.
Двоичная система счисления имеет набор цифр , р=2. В общем виде, используя формулу (1), двоичное число можно представить выражением:
Например, число 101101(2) можно записать так:
101101(2) = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0
Двоичная система счисления имеет особую значимость в информатике: внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описывается набором символов только из двух знаков 0 и 1.
Шестнадцатеричная система счисления имеет набор цифр , p = 16. Для изображения чисел в шестнадцатеричной системе счисления требуются 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной системы счисления, шесть остальных — первых шесть прописных букв латинского алфавита. По формуле (1) шестнадцатеричное число может быть представлено так:
1. Число E7F8140 по формуле (4) запишется так:
Представление информации, хранящейся в памяти компьютера, в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Поэтому при записи такой информации на бумаге или выводе ее на экран принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. В современных компьютерах чаще используется шестнадцатеричная система счисления.
Полезно помнить некоторые степени двойки и шестнадцати.
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 k | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
| 16 k | 16 | 256 | 4096 | 65536 | 1048576 |
Соответствие чисел в различных системах счисления
| Десятичная | Шестнадцатеричная | Двоичная |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 100 |
| 5 | 5 | 101 |
| 6 | 6 | 110 |
| 7 | 7 | 111 |
| 8 | 8 | 1000 |
| 9 | 9 | 1001 |
| 10 | A | 1010 |
| 11 | B | 1011 |
| 12 | C | 1100 |
| 13 | D | 1101 |
| 14 | E | 1110 |
| 15 | F | 1111 |
Арифметические операции, выполняемые в позиционных системах счисления
В вычислительной технике наиболее часто выполняется операция сложения. Пусть заданы два целых положительных числа в позиционной системе счисления с основанием р. Запишем эти числа в виде:
Сумма этих чисел равна числу, которое может быть записано в аналогичном виде:
Вычисления выполняются по следующим правилам:
- операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых;
- в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы;
- если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше основания системы счисления, то перенос в следующий разряд равен нулю, если равна или больше — то равен единице.
В качестве примера рассмотрим арифметические операции в двоичной системе счисления.
Арифметические операции над числами в двоичной системе счисления
Рассмотрим правила выполнения арифметических операций над однозначными числами. Представим их в виде таблиц.
| Правила сложения | Правила вычитания | Правила умножения |
| 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 | 0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 | 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 |
2. Найти разность двух чисел 10101(2) и 1010(2):
3. Умножить два числа 1011(2) и 101(2):
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную можно воспользоваться выражением (1). Сначала в десятичную систему счисления переводится основание той системы, из которой осуществляется перевод, а затем цифры исходного числа. Результаты подставляются в выражение (1). Полученная сумма дает искомый результат.
Пример . Перевести в десятичную систему счисления числа С7(16) и 1010(2) :
С7(16) = 12*16 1 + 7*16 0 = 192 + 7 =199 (10) ;
1010 (2) = 1*2 3 + 1*2 1 = 8+2 10.
Эквивалентными являются алгоритмы для вычисления значения многочлена в некоторой точке х, заданные следующими формулами:
Запись (9) носит название вычислительной схемы Горнера.
Алгоритм, задаваемый формулой (9) требует меньше арифметических операций и сводится к выполнению последовательной цепочки операций умножения и сложения в порядке их записи слева направо, поэтому при переводе чисел в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера.
Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы счисления в систему с основанием р, необходимо разделить ее на р, остаток даст младший разряд числа. Полученное частное вновь делят на р — остаток даст следующий разряд числа и т.д.
Пример. Перевести десятичное число 25 в двоичную систему счисления:
25 : 2 = 12 (остаток 1);
12 : 2 = 6 (остаток 0),
6 : 2 = 3 (остаток 0),
3 : 2 = 1 (остаток 1),
1 : 2 = 0 (остаток 1).
Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную производится аналогично.
Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р:
- Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления (р) до тех пор, пока целая часть не станет меньше нового основания счисления.
- Полученные остатки от деления, представленные цифрами из нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.
Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот просты потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2.
Для того, чтобы перевести число, записанное в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются. Например:
12345667(8) = 001 010 011 100 101 110 110 111(2) =
= 1 010 011 100 101 110 110 111(2).
Обратный перевод производится так: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода число должно быть выровнено, т.е. число двоичных знаков должно быть кратно трем. Выравнивание производится простым дописыванием требуемого количества нулей перед старшим разрядом целой части числа. Например:
При переводах чисел между двоичным и шестнадцатеричным системами счисления используются четверки двоичных чисел — тетрады. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем. Например:
12345ABCDEF(16) = 1 0010 0011 0100 0101 1010 1011 1100 1101 1110 1111(2);
11001111010 1110(2) = 0110 0111 1010 1110(2) = 67AF(16).
При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно используется вспомогательный, двоичный код числа. Например:
1234567(8) = 001 010 011 100 101 110 111(2)
= 0101 0011 1001 0111 0111(2) = 53977(16);
1267ABC(16) = 0001 0010 0110 0111 1010 1011 1100(2)
= 010 010 011 001 111 101 010 111 100(2) = 223175274(16).
Кодирование информации
В качестве наименьшей единицы измерения информации принят 1 бит. 1 бит соответствует одному разряду в двоичной системе счисления. Эта система лежит в основе архитектуры компьютеров. Для представления всего многообразия величин в компьютере объединяют несколько двоичных разрядов. Поэтому более крупными единицами измерения И в компьютере являются: 1 байт = 8 бит; 1 Кбайт=210 байт; 1 Мбайт = 210 Кбайт; 1 Гбайт = 210 Мбайт.
Поскольку информация в компьютере хранится в дискретной форме, для ее записи используется некоторый конечный набор знаков, называемый алфавитом. Очень часто в качестве алфавита используется таблица кодов, содержащая около 256 знаков. Каждому знаку соответствует числовой код. Этот код хранит образ соответствующего знака в памяти компьютера. Для понимания системы кодирования информации необходимо рассмотреть правила преобразования числовых кодов в различные системы счисления.
Наиболее популярна таблица кодов ASCII. Она состоит из 16 строк и 16 столбцов, пронумерованных от 0 до F в 16-ричной системе счисления. Например, в столбце 4 и строке D таблицы расположена заглавная буква М латинского алфавита. Таким образом при записи текста с такой буквой, она будет храниться в памяти в виде кода 4D(16) или 77(10). Другие коды: "," - 2C; "j" - 6A; "2" - 32. Обычно последние 8 столбцов таблицы кодов содержат буквы национальных алфавитов, графические знаки. В большом количестве разновидностей таблицы кодов ASCII первая половина таблицы является неизменной, а вторая - переменной.
Числа кодируются особым образом. Например, целое число, в зависимости от типа, может кодироваться одним, двумя или четырьмя байтами. Для получения кода положительного целого числа достаточно перевести его из десятичной в двоичную систему счисления, например, десятичное число 12 кодируется как двоичное 00001100 (при однобайтовом типе числа). Отрицательные целые числа часто кодируются в так называемом дополнительном коде, когда старший двоичный разряд используется как признак отрицательности числа, а остальные разряды должны быть такими, чтобы сумма отрицательного числа и его модуля равнялась нулю. Так, десятичное число –1 будет представлено как двоичное 1111111111111111 (при двухбайтовом типе числа). Минимально допустимое двухбайтовое число — 32768 кодируется как 1000000000000000, а максимальное 32767 — как 0111111111111111.
Для вещественных чисел система кодирования является более сложной. Обычно для каждого числа часть байтов отводится для хранения мантиссы числа, а часть — для порядка числа.
Перед математиками и конструкторами в 50-х встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.
Специалисты выделили так называемую “машинную” группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы.
К “машинным” системам счисления относятся:
· Двоичная (используются цифры 0, 1);
· Восьмеричная (используются цифры 0, 1, . 7);
· Шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.
Почему люди используют десятичную систему счисления, а компьютеры - двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную?
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
· двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетроды (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной.
Заключение.
Но двоичная система имеет и недостатки:
- ею пользуются только для ЭВМ;
- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Литература
1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004г.
2. Угринович Н.Т. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2003.
4.Урнов В.А. и др. Преподавание информатики в компьютерном классе, М.: Просвещение, 1990, стр. 17
5.Заварыкин В.М. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1989, стр.19
6.Гейн А.Г. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1992, стр.231
Перед математиками и конструкторами в 50-х встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.
Специалисты выделили так называемую “машинную” группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы.
К “машинным” системам счисления относятся:
· Двоичная (используются цифры 0, 1);
· Восьмеричная (используются цифры 0, 1, . 7);
· Шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.
Почему люди используют десятичную систему счисления, а компьютеры - двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную?
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
· двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетроды (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной.
Заключение.
Но двоичная система имеет и недостатки:
- ею пользуются только для ЭВМ;
- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Литература
1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004г.
2. Угринович Н.Т. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2003.
4.Урнов В.А. и др. Преподавание информатики в компьютерном классе, М.: Просвещение, 1990, стр. 17
5.Заварыкин В.М. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1989, стр.19
6.Гейн А.Г. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1992, стр.231
Без рубрики
Когда мы вводим слова на компьютер, он переводит их в числа. Фактически, для компьютера вся информация записывается как последовательность единиц и нулей. Компьютерные системы счисления — это то, как мы представляем числа в архитектуре компьютерной системы.
Системы счисления — одно из самых фундаментальных понятий, которое компьютерные ученые должны изучить. Это важный шаг для всех, кто хочет стать компьютерным ученым или программистом.
Сегодня мы познакомим вас с системами счисления, которые необходимы специалисту по информатике. Мы глубоко погрузимся в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.
Что такое система счисления в информатике?
Люди считают уже давно. Для этого мы используем системы, которые связывают уникальные символы с определенными значениями. Это называется числовой системой, и это метод, который мы используем для представления чисел и управления ими.
Система счисления должна иметь уникальные символы для каждого значения, быть последовательной, обеспечивать сопоставимые значения и легко воспроизводимой.
Вы, вероятно, больше всего знакомы с десятичной системой, которая лежит в основе того, как люди считают. Десятичная система имеет основание 10, потому что она предоставляет 10 символов для представления всех чисел:
Люди используют десятичную систему счисления, потому что у нас есть 10 пальцев, на которые можно рассчитывать, но машины не могут позволить себе такой роскоши. Итак, мы создали другие системы счисления, которые выполняют те же функции. Компьютеры представляют информацию иначе, чем люди, поэтому нам нужны разные системы для представления чисел.
Компьютеры поддерживают следующие системы счисления:
- Двоичный
- Восьмеричный
- Десятичный
- Шестнадцатеричный
Введение в двоичную систему счисления
Компьютер использует биты для представления информации. Бит — это самая основная единица хранения в компьютере. Важный компонент компьютеров называется транзистором. Так же, как выключатель света, транзистор либо пропускает, либо предотвращает протекание тока. Итак, у него всего два состояния: включено и выключено.
Эти два состояния могут быть представлены одним из двух символов: 1 и 0. Это означает, что основание двоичной системы счисления равно 2. Для представления каждого числа нужны только символы.
Базовые цифры для двоичной системы просты: 0 для представления низкого состояния и 1 для представления высокого состояния.
Вместо того, чтобы представлять числа как отдельные единицы (например, число 10 или 400), мы используем группы единиц и нулей. Например, вот как это выглядит, когда компьютер считает до 10:
Это называется двоичной системой счисления. Каждая двоичная цифра называется битом. Когда дело доходит до размещения значений и цифр в этой системе, мы размещаем значения, соответствующие возрастающей степени 2 слева направо.
Самая правая цифра называется младшим значащим битом (LSB), а крайняя левая цифра — самым старшим битом (MSB).
Вы можете манипулировать битами влево и вправо с помощью побитовых операторов, чтобы эффективно изменять значение числа на уровне машинного кода.
Преобразование между десятичным и двоичным числами
Теперь, когда мы знаем основы двоичной системы, давайте узнаем, как преобразовывать десятичную систему в двоичную. Начнем с преобразования двоичного числа в десятичное.
Мы знаем, что двоичная система имеет разрядные значения степени 2. Эти значения являются весами для цифр (0 или 1) в этих позициях. Вот как это работает:
Умножаем каждую цифру на ее вес (ее позиция умножаем на 2)
Суммируем их все, чтобы получить десятичное число
Итак, возьмем двоичное число 11111010 и переведем его в десятичную систему счисления.
Теперь попробуем наоборот. Как преобразовать десятичное число в двоичное? Один из способов сделать это — повторное деление, что очень удобно.
Итак, возьмем число 19. Начнем с деления его на два и выписки остатка. Когда мы разделим 19 на 2, мы получим 9 с остатком 1.
Затем мы берем 9 и делим его на 2, что дает нам результат 4 с остатком 1. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до нуля. Остатки, которые мы собрали, составляют наше двоичное число!
Многократное деление на 2 и отслеживание остатков — это быстрый способ преобразования десятичной дроби в двоичную!
Введение в шестнадцатеричную систему счисления
Теперь, когда мы немного узнали о двоичной системе, давайте узнаем о другой общей системе, используемой компьютерами: шестнадцатеричной системе счисления.
Двоичные числа просты для компьютеров, но не так просты для понимания людьми. А когда вы работаете с большими числами, становится сложно писать без ошибок. Итак, чтобы решить эту проблему, мы можем разделить двоичные числа на группы из четырех битов, образуя шестнадцатеричную систему счисления.
Шестнадцатеричная система представляет собой более компактный способ представления чисел на компьютере, поскольку для представления значения цифры требуется всего 4 бита.
Как преобразовать двоичное в шестнадцатеричное
Теперь, когда мы понимаем как двоичную, так и шестнадцатеричную системы счисления, давайте узнаем, как преобразовывать двоичное число в шестнадцатеричное. Мы начинаем с двоичного числа в шестнадцатеричном.
Мы сгруппируем двоичные цифры в наборы по четыре (начиная сверху). Затем мы заменяем каждый квартет соответствующим шестнадцатеричным представлением.
Теперь преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное! Давайте рассмотрим пример. Ниже мы расширяем каждую шестнадцатеричную цифру, заменяя ее эквивалентным двоичным квартетом.
Что такое восьмеричная система счисления?
Восьмеричная система счисления не так широко используется, как шестнадцатеричная двоичная. Он был разработан по той же идее, что и шестнадцатеричная система: сделать двоичную систему более компактной.
В восьмеричной системе двоичные числа группируются в тройки вместо квартетов. Итак, восьмеричная система — это основание-8, так как2 ^ 3 = 82Взаимодействие с другими людьми3Взаимодействие с другими людьмиВзаимодействие с другими людьми= 8.
Мы используем восемь основных символов для восьмеричной системы, которые заимствованы из десятичной системы. Двоичные триплеты могут иметь значения в диапазоне от0-70 — 7.
Значения разряда будут возрастать по возрастанию 88 справа налево.
Чтобы преобразовать двоичное в восьмеричное, мы следуем этой базовой технике:
- Сгруппируйте двоичное число в наборы по три (аналогично тому, что мы сделали с шестнадцатеричным).
- Довести каждую группу цифр до числа, кратного трем, путем добавления нулей
- Напишите соответствующий восьмеричный символ под каждой группой.
- Теперь у вас будет восьмеричное число
Преобразование восьмеричного числа в двоичное аналогично, но немного проще:
- Запишите двоичное представление для каждой восьмеричной цифры
- Соедините эти числа вместе
- У вас не будет двоичного числа
Что изучать дальше
Поздравляю! Теперь у вас есть хорошее введение в системы счисления для информатики. Вы сделали свой первый фундаментальный шаг в мир компьютерного программирования. Однако предстоит еще многому научиться. Следующие ваши шаги — узнать:
Читайте также: