Какие комплексные числа называются сопряженными кратко

Обновлено: 05.07.2024

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z - вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Если $z=a+b i$, то число $\overline=a-b i$ называется комплексным сопряженным к числу $z$ .

То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.

Например. Комплексно сопряженным к числу $z=2-i$ есть число $\overline=2+i$ .

На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси.

Свойства комплексно сопряженных чисел

1) Если $z=\overline$, то можно сделать вывод, что рассматриваемое число $z$ является действительным.

Например. $z=2 \in R \Rightarrow \overline=2$ и $z=\overline$

2) Для любого комплексного числа $z$ сумма $z+\overline=2 \operatorname z$ - действительное число.

Например. Пусть $z=2-3 i$, тогда $\overline=2+3 i$, а тогда

$z+\overline=2-3 i+(2+3 i)=2-3 i+2+3 i=2+2=4 \in R$

3) Для произвольного комплексного числа $z=a+b i$ произведение $z \cdot \overline=|z|^ \in R$ .

Например. Пусть $z=2-3 i$, комплексно сопряженное к нему число $\overline=2+3 i$, тогда произведение

4) Модули комплексно сопряженных чисел равны: $|z|=|\overline|$, а аргументы отличаются знаком (рис. 1).

5) $\overline \pm z_>=\overline_ \pm \overline_$

6) $\overline \cdot z_>=\overline> \cdot \overline_$

9) Если $z=a+b i$ и $\overline=a-b i$ - комплексно сопряженные числа, то

$x = \text<Re > Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение z$
.

$y = \text<Im > Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение z$
.

Например. — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число z=5" width="108" height="13" />
, а мнимой частью – вещественное число z=-13" width="131" height="17" />
.

$(x=\text<Re > Если действительная часть комплексного числа равна нулю z=0),$
комплексное число называется чисто мнимым.

$x=\text<Re > Например. , где z=0, y = \text z=8$
.

$x+0i,\text< > Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел. Любое действительное число может быть записано в форме комплексного числа: x-0i$
.

$5+0i,\text< > Например. Комплексные числа 5-0i$
обозначают действительное число .

Равенство комплексных чисел

Два комплексных числа =x_+iy_" width="106" height="16" />
и =x_+iy_" width="106" height="16" />
называются равными, если =x_, y_=y_" width="130" height="12" />
, т.е. равны их действительные и мнимые части.

В противном случае комплексные числа называются неравными.

Задание	Определить, при каких и два комплексных числа и являются равными.
Решение	По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. $x=-15, \text< >21=y$ .
Ответ	$x=-15, \text< >y=21$

Комплексно сопряженные числа

$\overline<z> Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплексному числу называется число =x-iy$
.

Задание	Найти для комплексного числа его сопряженное число.
Решение	Комплексно сопряженным числом является число вида $\overline<z>=x-iy$ . Действительной частью комплексного числа является число $x=\text<Re >z=-14$ , мнимой частью является $y=\text<Im >z=56$ .