Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием кратко

Обновлено: 05.07.2024

Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний связками - частицей НЕ; союзами И; ИЛИ; НЕВЕРНО, ЧТО. ; ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА. КОГДА. ; ЕСЛИ. ТО. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.

Например, даны четыре простых высказывания:
На улице идет дождь. (1)
На улице светит солнце. (2)
На улице пасмурная погода. (3)
На улице идет снег. (4)
Составим из них сложные высказывания:
На улице идет дождь и на улице светит солнце.
На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.
Неверно что на улице идет дождь и на улице идет снег.
Тогда и только тогда на улице идет дождь, когда на улице пасмурная погода.
На улице не идет дождь и на улице не идет снег.
Если на улице идет дождь, то на улице светит солнце.

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ - отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ( ).

И - конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

ИЛИ - дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

ЕСЛИ-ТО импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

В обычной речи связка "если . то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

РАВНОСИЛЬНО эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

Для изменения указанного порядкавыполнения операций используются скобки.

В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B) C.

Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием?

Использование знаков 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.
Любое устройство ПК, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некоторый функциональный преобразователь.
Причем входные числа - значения входных логических переменных, а выходное число - значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

СВЯЗЬ МЕЖДУ АЛГЕБРОЙ ЛОГИКИ И ДВОИЧНЫМ КОДИРОВАНИЕМ Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0” Из этого следует два вывода: одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных; на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера. Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем ноль

Логический элемент компьютера

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ КОМПЬЮТЕРА Логический элемент компьютера — это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые также вентилями ), а также триггер С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”) Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний

Логический элемент и

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ И Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами Таблица истинности схемы И x y x ^ y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x ^ y (читается как " x и y " ) Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком “&” (читается как "амперсанд"), являющимся сокращенной записью английского слова and

Логический элемент или

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ ИЛИ Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица Условное обозначение схемы ИЛИ Таблица истинности схемы ИЛИ x y x v y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как " x или y ")

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже две: "1" и "0".

1. Основные понятия математической логики

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними.

Создателем алгебры логики является английский математик Джордж Буль (XIX век), в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1, а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0. Привести примеры ложных и истинных высказываний.

Рассмотрим примеры логических высказываний (см. Таблицу 1):

Таблица 1. Примеры логических выражений

Предложение	Характеристика с точки зрения алгебры логики
Москва - столица России	Истинное логическое высказывание
За днем наступит вечер	Истинное логическое высказывание
В Москве проживают только граждане России	Ложное логическое высказывание
После дождя всегда тепло	Ложное логическое высказывание
После вторника будет выходной	Не является логическим высказыванием, (если у человека текущий график работы)

Москва - столица России - Элементарное высказывание.

Если у учащегося хорошая успеваемость и мало пропусков занятий, то он проходит практику на производстве - Составное высказывание.

Пример обозначения логических высказываний.

А и В.

Здесь А, В – логические высказывания (могут быть либо истинными, либо ложными), и – логическая связка.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (см. Таблицу 2): Таблица 2. Логические связки

№	Логическая связка	Название	Обозна-чение	Высказы-вание	Математическая запись
и	конъюнкция логическое умножение	Ù, & *, And	A и В	A Ù B, A & B A * B, A And B
или	дизъюнкция логическое сложение	Ú +, Or	A или В	A Ú B A + B, A Or B
не	инверсия, логическое отрицание	, , Not	не А	А, , Not A
Если…то	импликация, логическое следование	→, Þ	Если A, то В	A → B A Þ B
тогда и только тогда	эквивалентность, равносильность, логическое тождество	«, º Û, ~	А тогда и только тогда, когда В	А«В, АºВ АÛВ, А~В

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

A → B = А Ú B

(1)

Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

A « B = (А Ú B) Ù (B Ú А)

(2)

Вычисление значения логического выражения производится слева направо в соответствии с таблицей истинности (см. Таблицу 3) и приоритетом выполнения логических операций (см. Таблицу 4). Порядок выполнения операций можно менять, используя круглые скобки.

Таблица 3. Таблица истинности

A Ú (+)B

A Ù (*)B

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и в логических переменных. На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера

Читайте также: