Какая математическая зависимость существует между периодом и частотой колебаний кратко
Обновлено: 02.07.2024
Сравним колебания двух качелей на рисунке \(1\) — пустых качелей и качелей с мальчиком. Качели с мальчиком колеблются с большим размахом, то есть их крайние положения находятся дальше от положения равновесия, чем у пустых качелей.
Амплитудой колебаний \(A\) называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Полным колебанием называют движение, за которое тело возвращается в исходную точку (из которой началось колебание).
За одно полное колебание тело дважды максимально отклоняется от положения равновесия, поэтому один полный путь одного полного колебания равен четырём амплитудам: \(s=4A\).
Период колебаний — это промежуток времени, за который тело совершает одно полное колебание.
\([T]=1~с\)
ударим по столу двумя линейками — металлической и деревянной (рис. \(2\)) Линейки после этого начнут колебаться, но за один и тот же промежуток времени металлическая линейка (B) сделает больше колебаний, чем деревянная (A).
Свободные колебания в отсутствие трения и сопротивления воздуха называются собственными колебаниями , а их частота — собственной частотой колебательной системы.
Для описания закономерностей колебательной системы необходимо учитывать зависимость параметров колебания от параметров системы. Например, период колебаний и их частота зависят от массы груза и жёсткости пружины для физического маятника.
Рассмотрим колебания двух одинаковых пустых качелей на рисунке \(3\). В один и тот же момент времени красные качели из положения равновесия начинают движение вперед, а зелёные качели из положения равновесия движутся назад. Движение качелей таково, что их амплитуды и периоды колебаний одинаковы. А если одинаковы периоды, то и частота колебаний совпадает. Однако, направлений движения качелей противоположно. О таких движениях говорят, что они движутся в противофазах.
Красные пустые качели и качели с мальчиком тоже колеблются с одинаковыми частотами. Направление скоростей этих качелей тоже совпадает. Это означает, что колебания происходят в одинаковых фазах, т.е. совпадают по фазе.
Амплитудой колебания называется наибольшее по модулю отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Она обозначается буквой А и в системе СИ измеряется в метрах (м), но можно измерять и в сантиметрах, а также и в градусах.
Периодом колебания называется промежуток времени в течении которого тело совершает полное колебание. Он обозначается буквой Т и в системе СИ измеряется в секундах (с).
Частотой колебания называется число колебаний в единицу времени. Она обозначается буквой ∪ (ню) и в системе СИ измеряется в Герцах (Гц, 1Гц = 1с -1 ).
2. Что такое одно полное колебание?
Полное колебание - это колебание за время Т (период колебания).
3. Какая математическая зависимость существует между периодом и частотой колебания?
4. Как зависят: а) частота; б) период свободных колебаний маятника от длины его нити?
а) частота колебания маятника ∪ уменьшается с увеличением длины нити l; б) период Т колебания маятника растет с увеличением длины нити l.
5. Что называется собственной частотой колебательной системы?
Частота свободных колебаний называется собственной частотой колебательной системы. Например, если отклонить груз нитяного маятника от положения равновесия и отпустить, то он будет колебаться с собственной частотой, если же грузу сообщить определенную, отличную от нуля скорость, то он будет колебаться с другой частотой.
6. Как направлены по отношению друг к другу скорости двух маятников в любой момент времени, если эти маятники колеблются в противоположных фазах? в одинаковых фазах?
Если маятники колеблются в противоположных фазах, то в любой момент времени их скорости будут направлены противоположно друг другу, и наоборот, если они колеблются в одинаковых фазах, то их скорости сонаправлены.
Упражнения.
1. На рисунке 58 изображены пары колеблющихся маятников. В каких случаях два маятника колеблются: в одинаковых фазах по отношению друг к другу? в противоположных фазах?
В одинаковых фазах колеблется система б). В противоположных фазах а), в), г).
2. Частота колебаний стометрового железнодорожного моста равна 2 Гц. Определите период этих колебаний.
3. Период вертикальных колебаний железнодорожного вагона равен 0,5 с. Определите частоту колебаний вагона.
4. Игла швейной машины делает 600 полных колебаний в одну минуту. Какова частота колебаний иглы, выраженная в герцах?
5. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 3 см. Какой путь от положения равновесия пройдет груз за 1/4 Т, 1/2 Т, 3/4 Т, Т?
6. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 10 см, частота 0,5 Гц. Какой путь пройдет груз за 2 с?
7. Горизонтальный пружинный маятник, изображенный на рисунке 49, совершает свободные колебания. Какие величины, характеризующие это движение (амплитуда, частота, период, скорость, сила, под действием которой совершаются колебания), являются постоянными, а какие - переменными? (Трение не учитывайте).
Постоянными величинами являются - амплитуда, частота, период. Переменными - скорость и сила.
Единица измерения периода в системе СИ – секунда.
На графике колебаний период определяется как промежуток времени. через который система возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, который выбирается произвольно (рис.1).
Рис.1. Определение по графику периода колебаний.
Единица измерения частоты в системе СИ – 1 Герц (Гц).
Циклическая частота – это число колебаний, совершаемых телом за секунд:
Единица измерения циклической частоты в системе СИ — рад/с.
Частота и циклическая частота связаны между собой формулой:
Примеры решения задач
Задание | Определить частоту колебаний железнодорожных вагонов, если период их вертикального колебания равен 0,5 с. |
Решение | Частота колебаний – это величина, обратная периоду: |
Гц
Задание | Маятник совершает 9 колебаний за 18 с. Определить период и частоту колебаний. Записать уравнение гармонических колебаний и построить график колебаний маятника, если амплитуда равна 10 см. |
Решение | Частота колебаний определяется формулой: |
Гц
В данном случае:
Задание | Период колебаний крыльев шмеля 5 мс, а частота колебаний крыльев комара 600 Гц. Определить, какое насекомое и на сколько больше сделает взмахов крыльями при полете за 1 минуту. |
Решение | Определим частоту колебаний крыльев шмеля: |
С другой стороны, частота:
Приравняв правые части равенств, найдем число взмахов крыльями, которое сделает шмель за время :
Число взмахов крыльями, которое сделает комар за время , найдем непосредственно из формулы:
мин .
Читайте также: