Как возвести одночлен в степень кратко

Обновлено: 04.07.2024

Одночлены можно возводить в степень. При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Чтобы возвести в степень одночлен, нужно возвести в эту степень каждый множитель одночлена и полученные степени перемножить.

Комментариев нет:

Уроки математики и физики (RU + UA)

I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ (RU + UA + EN)
II. ПРОПОРЦИИ ПРОЦЕНТЫ МАСШТАБ (RU + UA)
III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (RU + UA)
IV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ (RU + UA)
V. КОРНИ (RU + UA)
VI. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ (RU + UA + EN)
VII. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (RU + UA)
VIII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
IX. НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
X. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (RU + UA)
XI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
XII. ПЛАНИМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
XIII. ПЛАНИМЕТРИЯ (площади фигур) (RU + UA)
XIV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
XV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (2) (RU + UA)
XVI. КОМБИНАТОРИКА (RU + UA)
XVII. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (RU + UA)
XVIII. ВЕКТОРЫ (RU + UA)
XIX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ (RU + UA)
XX. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (RU + UA)
КИНЕМАТИКА
ДИНАМИКА
WATCH YOUR MONEY!

О сайте

На сайте размещена минимальная информация по математике, позволяющая сдать тесты любому ученику с положительной отметкой, если конечно он решит все предложенные уроки.
Также данный сайт поможет ученику, начинающему изучать математику и бабушкам, которые захотят помочь своим внукам в изучении математики.

Каждый урок содержит краткие сведения по теоретической части и три практических задания по 12 примеров или задач в каждом задании. При желании Вы можете написать ответы заданий для проверки в комментариях. Сайт находится в постоянной доработке. Возможны методические и математические ошибки.

При возведении в степень одночлена в степень возводится числовой коэффициент и каждый буквенный множитель.

Рассмотрим пример возведения в куб одночлена: (2a 2 x) 3

Вначале возведем в степень отдельно числовой коэффициент и каждый буквенный множитель.
(2a 2 x) 3 = 2 3 (a 2 ) 3 x 3

При возведении в степень буквенных множителей используем правило
возведения степень в степень.

Напоминаем, что при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
2 3 (a 2 ) 3 x 3 = 2 3 a 2 · 3 x 3 = 8a 6 x 3

Запишем итоговое решение.
(2a 2 x) 3 = 2 3 (a 2 ) 3 x 3 = 2 3 a 2 · 3 x 3 = 8a 6 x 3

Степень — это произведение, которое состоит из нескольких одинаковых множителей.

Рассмотрим пример, который полезно включить в конспект:

Если провести вычисления, то получится 8. Таким образом:

Левую часть равенства можно сократить путем записи повторяющегося множителя и указания количества его повторов. Таким множителем является 2, а повторяется он 3 раза. Преобразуем запись:

В распространенных случаях предпочтение отдается короткой записи при умножении одинаковых множителей. При записи одного числа сверху второго числа подразумевается умножение множителей, которые являются одинаковыми.

Разберем наглядный пример: 5 3 . Подразумевается, что:

Здесь повторяющееся число имеет значение основания степени. Таким образом, 5 — это основание степени в выражении 5 3 .

Показатель степени — это число, которое записано над числом 5. Таким образом, 3 играет роль показателя степени в выражении 5 3 . Показатель степени демонстрирует количество повторов основания степени. В рассматриваемом примере основание 5 повторяется 3 раза:

Возведение в степень является операцией, в процессе которой перемножают одинаковые множители.

Представим, что имеются идентичные множители в количестве четырех, каждый из которых является числом 2. Тогда можно сказать, что число 2 возведено в четвертую степень:

Заметим, что при возведении числа 2 в четвертую степень получится в результате число 16.

Во всех рассматриваемых примерах числа возводились в степень с натуральным показателем.

Степень с натуральным показателем является разновидностью степени с показателем в виде натурального числа.

Натуральное число представляет собой целое положительное число.

Объединим данные определения в одно и получим формулировку степени с натуральным показателем.

Степень какого-то числа a, имеющая натуральный показатель n — это такое выражение вида a^, которое определяется произведением n одинаковых множителей, равных a.

Наглядно степень с натуральным показателем можно записать, как:

В качестве примеров приведем следующие выражения:

Возведение одночлена в натуральную степень

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степень с натуральными показателями.

Одночлен в алгебре является простым выражением. Одночленом является произведение, в состав которого входит число, играющее роль множителя, а также одна или несколько переменных, возведенных в положительную степень.

Выражения, которые не являются одночленами:

Любой одночлен можно представить в стандартном виде. Такая форма записи подразумевает произведение множителя в виде числа, стоящего на первом месте, и степеней разных переменных.

Приведение какого-либо одночлена к стандартному виду заключается в том, что требуется перемножить все переменные и числа, входящие в его состав.

Приведение одночлена к стандартному виду:

4 x 2 y 4 ( - 5 ) y x 3 = 4 ( - 5 ) x 2 x 3 y 4 y = - 20 x 5 y 5

В записи стандартного одночлена присутствует числовой множитель. Он играет роль коэффициента многочлена. Степенью одночлена называют результат сложения показателей степени переменных.

Заметим, что в результате умножения одночленов в любом случае получается одночлен. Кроме того, если возвести одночлен в какую-то натуральную степень, то получится тоже одночлен.

Основное правило

Операцию возведения одночлена в какую-то степень рассмотрим на наглядном примере.

Допустим, что имеется одночлен, записанный в стандартном виде:

Попробуем возвести этот одночлен в третью степень:

В результате получилось произведение, состоящее из множителей 2 , х , y 5 , которое требуется возвести в степень 3. Тождественно преобразуем данное выражение с помощью свойства степени произведения:

2 x y 5 3 = 2 3 × x 3 × y 5 3

Выполним замену множителя y 5 3 на y 15 с помощью свойства степени в степени:

2 3 × x 3 × y 5 3 = 2 3 × x 3 × y 15

Следующим шагом можно возвести в степень число 2:

2 3 × x 3 × y 15 = 8 × x 3 × y 15

В итоге получился одночлен стандартного вида.

Исходя из решенного примера, составим руководство к действию возведения одночлена в степень. Алгоритм операций:

Запись соответствующего выражения.
Использование свойства возведения произведения в степень.
Применение свойства возведения степени в степень.
Вычисление степеней чисел.

Заметим, что при возведении в степень одночлена, записанного в стандартном виде, в результате получится одночлен стандартного вида. Рекомендуется перед тем, как приступить к операции возведения одночлена в степень, записать этот одночлен в стандартном виде, чтобы упростить работу.

Для возведения одночлена в степень требуется возвести в эту степень каждый из множителей одночлена и найти произведение полученных результатов.

Пояснение на примерах

Требуется возвести одночлен в степень:

В данном случае одночлен нужно возвести в степень 4. Для этого каждый его множитель возведем в четвертую степень:

5 x y 2 z 5 4 = 5 4 x 4 y 2 4 z 5 4 = 625 x 4 y 8 z 20

Ответ: 625 x 4 y 8 z 20 .

Возвести одночлен в степень:

Заметим, что в условии задания имеется обыкновенная дробь. Вспомним, что при возведении дроби в степень требуется возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби. Получим:

2 3 a 3 b 7 5 = 2 3 5 a 3 5 b 7 5 = 2 5 3 5 a 15 b 35 = 32 243 a 15 b 35

Ответ: 32 243 a 15 b 35 .

1 2 5 m n 10 2 = 7 5 2 m 2 n 10 2

Когда смешанное число возводят в степень, в первую очередь его необходимо привести к виду неправильной дроби. На втором шаге в степень возводят по отдельности числитель и знаменатель. Затем преобразуем неправильную дробь в смешанное число путем выделения из нее целой части:

7 2 5 2 m 2 n 20 = 49 25 m 2 n 20 = 1 24 25 m 2 n 20

Ответ: 1 24 25 m 2 n 20 .

Нужно возвести в степень одночлен со знаком минус:

( - 0 , 6 a 2 d 5 ) 3

Бывают случаи, когда одночлен имеет отрицательный коэффициент. При этом в процессе его возведения в степень нужно в первую очередь определить знак результата. Если отрицательное число возвести в четную степень, то результатом станет положительное число. В том случае, когда отрицательное число возводят в нечетную степень, результат будет иметь знак минуса.

( - 0 , 6 a 2 d 5 ) 3 = - 0 , 6 3 a 2 3 d 5 3 = - 0 , 216 a 6 d 15

Ответ: - 0 , 216 a 6 d 15 .

Требуется возвести в степень одночлен:

- 1 1 9 x 7 y 4 2

В данном примере требуется выполнить последовательно несколько действий. Сначала отрицательное число необходимо возвести в степень 2, которая является четным числом. Поэтому результат операции будет представлять собой число со знаком плюс.

Смешанное число нужно привести в вид неправильной дроби. Затем числитель и знаменатель полученной дроби следует возвести во вторую степень. Далее требуется преобразовать неправильную дробь путем выделения целой части:

- 1 1 9 x 7 y 4 2 = - 10 9 2 x 7 2 y 4 2 = 10 2 9 2 x 14 y 8 = 100 81 x 14 y 8 = 1 19 81 x 14 y 8

В данном уроке мы рассмотрим операции умножения и возведения одночленов в натуральную степень, выясним, с какими одночленами можно выполнять эти действия. Вспомним правило возведения степени в степень. Научимся решать некоторые типовые задачи, а именно на упрощение выражений, на возведение в степень и обратную к этому задачу.

Читайте также: