Как сравнить две десятичные дроби правило кратко

Обновлено: 05.07.2024

Под десятичной дробью понимают способ представления действительных чисел:

± d m … d 1 d 0 , d - 1 d - 2 …

Здесь ± является знаком дроби + или –;

, — десятичная запятая, отделяет целую часть от дробной;

d k обозначают десятичные цифры.

Заметим, что последовательность цифр до знака запятой является конечной. После запятой может быть указано любое количество цифр. Исходя из этого параметра, дроби классифицируют таким образом:

Конечная десятичная дробь:

Бесконечная десятичная дробь:

Число π составляет 3,1415926535897.

± d m … d 1 d 0 , d - 1 d - 2 …

Значением данной дроби является число из множества действительных чисел:

± d m · 10 m + … + d 1 · 10 1 + d 0 · 10 0 + d - 1 · 10 - 1 + d - 2 · 10 - 2 + …

Значение соответствует сумме конечного или бесконечного количества слагаемых.

С помощью записи действительных чисел в виде десятичных дробей удается обобщить множества целых чисел в рамках десятичной системы исчисления. Если целое число записать в виде десятичной дроби, то цифры после запятой будут отсутствовать:

Запись аналогична представлению данного числа в десятичной системе исчисления.

При решении разных математических заданий на уроке или самостоятельных работ нередко требуется выполнить перевод десятичных дробей в вид обыкновенных дробей, а также обратную операцию. Подобные навыки помогут повысить уровень знаний, а также позволят быстро упрощать задачи. Для закрепления материала можно рассмотреть несколько простых примеров.

0 , 136 = 136 1000

0 , 2436 = 2436 10000

0 , 0456 = 456 10000

4562 100 = 45 62 100 = 45 , 62

Алгоритм перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь:

  1. Определить наличие целой части у дроби, записать ее и поставить запятую.
  2. Количество знаков после запятой равно числу нулей, записанных в знаменателе. К примеру, для дроби 4 1000 будет записано три нуля в знаменателе.
  3. Записать числитель с выравниванием по правой стороне. Пустые ячейки заполнить нулями.

Виды десятичных дробей:

  • конечная, количество цифр после запятой является конечным, как в дробях 8 10 , 13 100 , 49 1000 ) ;
  • бесконечная, когда невозможно определить конечное количество цифр после запятой, как в дроби 0,05882352941…;
  • периодическая, в которой с определенного участка последовательности цифр после запятой могут повторяться периодично группы цифр, к примеру, 1 7 = 0 , 142857 ⏟ п е р и о д 142857 ⏟ п е р и о д 142 … = 0 , 142857 .

Попробуем решить задачу небольшой сложности и записать в виде конечной десятичной дроби обыкновенные дроби:

1 · 2 5 · 2 = 2 10 = 0 , 2

125 1000 = 0 , 125

3 5 = 6 10 = 0 , 6

1 16 = 625 10000 = 0 , 0625

Свойства десятичных дробей

Десятичные дроби обладают следующими свойствами, которые полезно знать для решения задач:

  1. Десятичная дробь остается неизменной при добавлении нулей с правой стороны, к примеру, 3 100 = 0 , 03 = 0 , 030 = 0 , 030000 .
  2. Десятичная дробь остается неизменной при удалении нулей, записанных в конце дроби. Нули, которые расположены не в конце десятичной дроби, удалять запрещено. Например, 0 , 014330000 = 0 , 01433 , 0 , 014330000 ≠ 0 , 1433 .
  3. Возрастание десятичной дроби в 10, 100, 1000 и более раз можно наблюдать при переносе десятичной запятой на одну, две, три и более позиций в правую сторону. К примеру, 0 , 0125 · 100 = 1 , 25 . Здесь при переносе запятой на пару знаков в правую сторону дробь умножается на 100 и возрастает соответственно в 100 раз.
  4. Уменьшение десятичной дроби в 10, 100, 1000 и более раз можно наблюдать при переносе десятичной запятой на одну, две, три и более позиций в левую сторону. Например, 124,56:100=1,2456. Здесь перенос запятой на пару знаков в левую сторону равносилен делению дроби на 100. В результате дробь уменьшилась в 100 раз.

Правило сравнения десятичных дробей

Десятичные дроби являются обычными числами. В связи с этим, можно производить разные действия с десятичными дробями, к примеру, сложение, вычитание, деление, умножение, а также сравнение.

Сравнивать десятичные дроби можно несколькими способами. Рассмотрим первый метод. Алгоритм действий следующий:

  1. Уравнение длины обеих десятичных дробей путем записи дополнительных нулей в конце той дроби, у которой знаков после запятой меньше. Согласно рассмотренным ранее свойствам, десятичная дробь при этом не изменится.
  2. Сравнение целых частей с целями, десятых частей с десятыми, сотых частей с сотыми и так далее.
  3. В том случае, когда одна из частей дроби будет больше по сравнению с аналогичной частью другой дроби, можно сделать вывод о том, что первая дробь больше, чем вторая.

Важно помнить, что десятичная дробь в любом случае больше по сравнению с целым натуральным числом, равным целой части данной дроби.

Второй способ сравнения десятичных дробей заключается в вычитании одной дроби из другой. Если в результате этого действия получится положительное число, то дробь, которая является уменьшаемым больше, чем дробь, которая является вычитаемым.

Справедливо и обратное утверждение. Когда разность десятичных дробей отрицательная, значит первая дробь, которая является уменьшаемым, меньше, чем вторая дробь, которая является вычитаемым.

Десятичные дроби также можно сравнивать с обыкновенными дробями. Для этого обыкновенную дробь требуется сначала привести к виду десятичной. Далее можно сравнивать дроби любым из вышеперечисленных способов.

Допустим и такой вариант: десятичную дробь переводят в обыкновенную дробь, и сравнивают полученные дроби, согласно правилу сравнения обыкновенных дробей.

Пояснение на примерах

Даны две десятичные дроби, которые требуется сравнить:

Попробуем сравнить данные дроби первым способом. Заметим, что число 6,45 имеет две цифры после запятой. У дроби 6,4 всего одна цифра следует после запятой. Поэтому допишем к ней один ноль в конце, получим 6,40.

Далее выполним действия, согласно алгоритму. Целые части дробей идентичны, то есть:

Сравним дробные части. Десятые доли равны:

Сотые соотносятся между собой таким образом:

Сравним две десятичные дроби:

Здесь попробуем выполнить сравнение дробей вторым способом. Вычтем из первой дроби вторую:

В данной публикации мы рассмотрим способы, пользуясь которыми можно сравнить десятичные дроби или десятичную и обыкновенную дроби. Также разберем примеры для закрепления изложенного материала.

Сравнение десятичных дробей

Способ 1

Для того, чтобы сравнить десятичные дроби выполняем следующие шаги:

  1. Уравниваем длину обеих дробей – к той, у которой меньше знаков после запятой, дописываем нули в конце (их количество зависит от того, сколько цифр в дробной части у более “длинной” дроби). Это действие не изменит величину “короткой” дроби согласно Основному свойству десятичной дроби.
  2. По очереди сравниваем составные части дробей: целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.

Примечание: десятичная дробь всегда больше целого натурального числа, если ее целая часть равна данному числу. То есть:

Способ 2

Чтобы сравнить две десятичные дроби, можно из одной вычесть другую. Если результат окажется положительным (т.е. больше нуля), то уменьшаемое больше вычитаемого и наоборот (см. Пример 2 ниже).

Сравнение десятичной и обыкновенной дробей

Чтобы сравнить десятичную дробь с обыкновенной, последнюю представляем в виде десятичной, затем выполняем сравнение, пользуясь способами выше.

Или можно сделать наоборот – преобразовать десятичную дробь в простую и далее уже сравнивать две обыкновенные дроби.

Примеры

Пример 1

Сравним десятичные дроби 6,4 и 6,45.

Воспользуемся первым способом. Т.к. в дроби 6,45 две цифры после запятой, следовательно, нам не хватает в числе 6,4 одного знака в дробной части, и мы дописываем на конце ноль, получив в итоге – 6,40.

Теперь приступим к сравнению:

  • Целые части рассматриваемых дробей равны: 6 = 6.
    Значит переходим к сравнению дробных частей.
  • Десятые равны: 4 = 4.
    Движемся дальше .
  • Сотые: 4 0), следовательно, 5,146 >5,14.

Сравним две десятичные дроби \(0,532 \) и \(0,54\). Допишем к числу \(0,54\) справа ноль, чтобы количество знаков после запятой было одинаковым. Теперь сравним дроби \(0,532\) и \(0,540\).

Так как знаменатели у дробей одинаковые, то сравниваем числители. У какой дроби числитель больше, та и будет больше.

В десятичных дробях \(531,437\) и \(531,537\) целые части равны. В этом случае можно сравнивать по дробной части:

Чем правее расположена десятичная дробь на координатном луче, тем она больше. И наоборот, чем десятичная дробь расположена левее, тем она меньше.

Удобно сравнивать десятичные дроби с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Чтобы сравнить десятичные дроби нужно:

  • Убедиться, что у обеих десятичных дробей одинаковое количество знаков (цифр) справа от запятой. Если нет, то дописываем (убираем) нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.
  • Сравниваем десятичные дроби слева направо. Целую часть с целой, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.
  • Когда одна из частей десятичной дроби (целая часть, десятые, сотые и т.д.) окажется больше чем в другой дроби, эта дробь и больше.

Как сравнивать десятичные дроби

Пример. Сравним десятичные дроби:

    Сперва дописываем в первой десятичной дроби нужное количество нулей, чтобы уравнять количество знаков справа от запятой.

Читайте также: