Как решают нестрогие неравенства кратко

Обновлено: 05.07.2024

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f ( x ) 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > или ≥ ). Здесь f ( x ) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х ;
произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

( x + 3 ) · ( x 2 − x + 1 ) · ( x + 2 ) 3 ≥ 0 ,

( x - 2 ) · ( x + 5 ) x + 3 > 0 ,

( x − 5 ) · ( x + 5 ) ≤ 0 ,

( x 2 + 2 · x + 7 ) · ( x - 1 ) 2 ( x 2 - 7 ) 5 · ( x - 1 ) · ( x - 3 ) 7 ≤ 0 .

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале ( a , b ) , на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей ( − ∞ , a ) и ( a , + ∞ ) .

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x - 5 x + 1 > 0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: ( − ∞ , − 1 ) , ( − 1 , 5 ) и ( 5 , + ∞ ) .

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток ( − ∞ , − 1 ) . Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t − 1 , и так как − 1 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t 5 .

Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t + 1 0 и t − 5 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке ( − ∞ , − 1 ) .

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Рассмотрим дробь x · ( x - 0 , 6 ) x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 . Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x · ( x − 0 , 6 ) = 0 и x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 = 0 .

В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x = 0 и x − 0 , 6 = 0 , что дает нам два корня 0 и 0 , 6 . Это нули числителя.

Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x 7 = 0 , ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 = 0 , ( x + 5 ) 3 = 0 . Проводим ряд преобразований и получаем x = 0 , x 2 + 2 · x + 7 = 0 , x + 5 = 0 . Корень первого уравнения 0 , у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения - 5 . Это нули знаменателя.

0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.

Определение знаков на интервалах

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Возьмем неравенство x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число - 3 . Получаем два промежутка на числовой прямой ( − ∞ , − 3 ) и ( − 3 , + ∞ ) .

Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x 2 - x + 4 x + 3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Теперь обратимся к примерам.

Возьмем неравенство ( x - 2 ) · ( x - 3 ) 3 · ( x - 4 ) 2 ( x - 1 ) 4 · ( x - 3 ) 5 · ( x - 4 ) ≥ 0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2 , 3 , 4 , знаменателя точки 1 , 3 , 4 . Отметим их на оси координат черточками.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток ( 4 , + ∞ ) будет знак + .

Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4 . Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения ( x − 4 ) 2 и x − 4 . Сложим их степени 2 + 1 = 3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале ( 3 , 4 ) будет знак минус.

Переходим к интервалу ( 2 , 3 ) через точку с координатой 3 . Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям ( x − 3 ) 3 и ( x − 3 ) 5 , сумма степеней которых равна 3 + 5 = 8 . Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.

Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х - 2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.

У нас остался последний интервал ( − ∞ , 1 ) . Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения ( x − 1 ) 4 , с четной степенью 4 . Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:

Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения

x + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 - 3 4 ( x - 1 ) 2 · x - 2 3 5 · ( x - 12 )

в любой точке интервала 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.

Если вы спросите, какой способ решения неравенств самый универсальный, мы ответим — метод интервала. Особенно эффективно его использовать для квадратных неравенств с одной переменной. В этой статье расскажем подробный алгоритм и разберем парочку готовых примеров.

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
D 2 + bx + c.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

Если неравенство со знаком 2 + 4x - 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

Определим знак трехчлена x 2 + 4x - 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:

7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.

Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:

Следовательно, искомый знак — плюс.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

если a 2 - 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 - 5x + 6 ≥ 0.

Неравенство примет вид:

Первый: х - 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х - 3 > 0.

Вывод: знак произведения (х - 3) * (х - 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

Вывод: при х > 3 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

Если (х - 3) * (х - 2) > 0:

Если (х - 3) (х - 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Несмотря на то, что решение неравенств очень напоминает решение уравнений, все-таки неравенства вызывают у школьников больше затруднений.

Ученики часто спрашивают как решать неравенства те или иные, просят оценить решение неравенства, полученное у доски в школе или помочь в решении домашнего задания с неравенством. В основном они связаны не с решением неравенства как такового, а с проблемой записи решения и с проблемой знака неравенства, которое в определенные моменты заменяется на противоположный.

Решение неравенств — это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умение решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).

Как решать простейшие неравенства из ОГЭ (ГИА)

Итак, первое неравенство:

3х-4 Как решать нестрогое неравенство

Решаем аналогично — только сначала упростим правую часть нашего неравенства. Переносим неизвестные в левую часть неравенства, а известные (числа) в правую часть неравенства:

Упрощаем правую часть:

$x \geqslant \frac <6> $

Ответ: .

Обратите внимание на запись ответа. Так как у нас неравенство нестрогое, то число 2 будет входить в решение этого неравенства, поэтому мы его включаем в ответ, отмечая квадратной скобкой.

Вот так:

Решение неравенств из сборника ОГЭ по математике ФИПИ

Неравенство 1

Укажите решение неравенства

Решение:

Перенесем неизвестные в левую часть неравенства, а известные — в правую часть неравенства:

, отсюда

искомый интервал: . Таким образом, из списка предложенных интервалов нам подходит интервал под номером 2.

Ответ 2.

Неравенство 2

Укажите множество решений неравенства:

Как обычно, переносим неизвестные влево от знака неравенства, а известные величины — вправо:

$x \leqslant \frac<-3> $

Обратите внимание — здесь мы делим отрицательное число. Но делим то мы его на положительное число 6. Поэтому знак неравенства остается прежним!

$x \leqslant \frac<-1> $

Нам подходит вариант решения 4.

Неравенство 3

Укажите решение неравенства

Решение:

Подходит вариант решения 2.

Ответ: 2

Неравенство 4

Укажите множество решений неравенства

Решение:

Итак, решение неравенство иллюстрируется графиком 3.

Ответ: 3.

Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство, давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.

Запомните!

Потренируемся определять тип неравенства на примерах.

Неравенство	Тип
x − 7 2 + 5x ≥ 0	квадратное
2x − 7 > 5	линейное
x 2 + x − 12 ≤ 0	квадратное

Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства. Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Важно!

Решать квадратное неравенство таким же образом как и линейное нельзя !

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.

Запомните!

Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:

Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.

Требуется решить квадратное неравенство.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

x_1;2 =

−1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

x_1;2 =

−1 ± √ 1 + 48

x_1;2 =

−1 ± √ 49

Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси разным образом.

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве , значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства методом интервалов будет выглядеть так:

x 2 + x − 12 2 + x − 12 = 0

x_1;2 =

−1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

x_1;2 =

−1 ± √ 1 + 48

x_1;2 =

−1 ± √ 49

Другие примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

x_1;2 =

−(−1) ± √ (−1 2 ) − 4 · 2 · 0

2 · 2

x_1;2 =

1 ± √ 1

Важно!

Помните, что при умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный .

x_1;2 =

−3 ± √ 3 2 − 4 · 1 · (−4)

2 · 1

x_1;2 =

−3 ± √ 9 + 16

x_1;2 =

−3 ± √ 25

Важно!

При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства перед нахождением его корней.

Ответ: −4 ≤ x ≤ 1

К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше. Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Читайте также: