Как решать уравнения кратко

Обновлено: 05.07.2024

Уравнение — одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. :) Так что же такое уравнение?

То, что это слово однокоренное со словами "равный", "равенство", возражений, думаю, ни у кого не вызывает.

Уравнение — это два математических выражения, соединённых между собой знаком " font-size:17px;"> Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто "переменная". Которая обычно обозначается буквой "х".

Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более — в специальных уроках.

Что значит решить уравнение?

Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. :) При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то — нет.

Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.

Что такое верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. :)

Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно - корни уравнения.

Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней — целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞. Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)

А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…

В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.

Для чего нужны уравнения?

Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.

А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)

Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение — в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные — всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)

Уравнения — очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

А какие бывают уравнения?

Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:

3. Дробные (или дробно-рациональные),

Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные — другим, дробные — третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие — тоже решаются своими методами.

Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да…) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. :)

В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас — базовые приёмы и правила.

Называются эти правила — тождественные (или — равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.

Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.

Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но — крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.

Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?

Первое тождественное преобразование:

К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.

Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. :)

Например, такое крутое уравнение:

Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:

А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!

Вот что у вас происходит:

И результат получается тем же самым:

Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа — что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!

Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака — это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.

И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях — незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…

Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.

Второе тождественное преобразование:

Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:

Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?

Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.

Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:

Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. :)

Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)

Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?

Применение тождественных преобразований к решению уравнений.

Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.

Пример для новичков:

Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: "С иксами влево, без иксов — вправо".

Эта мантра — универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:

1 — х +2х = 3

Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос — с каким знаком? Ответ "с никаким" не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак "плюс". Так уж в математике повелось: ничего не написано — значит, плюс.)

И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:

-х + 2х = 3 - 1

Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа — считаем. И получаем:

Это было совсем примитивное уравнение.

Теперь пример покруче, для старшеклассников:

Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование ("С иксами влево …."). Для этого слагаемое с иксом (то есть, -log₃x) переносим влево. Со сменой знака:

А числовое выражение (log₃4) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:

Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:

Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование — переносим sin x влево (с минусом), а -0,25 переносим вправо (с плюсом):

Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.

Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.

Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном — забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)

Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)

Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…

Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)

Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком — пожалуйста (вопрос — зачем?). А семёрку отдельно — никак нет.

Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка — мешает. Вот и делим левую часть на семь. "Очищаем" икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.

Или такое уравнение:

Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично — поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…

Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 — не самая трудная работа.)

Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога — меньше ошибок!

Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:

Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. :) Вот и делим на 2 всю левую часть:

Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:

Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)

Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений — штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.

Проблема первая (для малоопытных):

Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то — с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…

Например, такое линейное уравнение:

С чего начинать? Можно начать с переноса:

А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:

Как видим, и так и сяк решать можно. И это — в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: "Как правильно?"

По-всякому правильно! Кому как удобнее. :) Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.

Проблема вторая (для всех…ну… почти):

Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…

Обе эти проблемы устраняются только одним способом — практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания - легче. И в итоге не математика командует вами, а вы — математикой. :)

Сначала мы решаем уравнения в школе в тетрадях, а потом в уме на совещаниях. В статье расскажем, как решать самые простые уравнения быстро и легко.

О чем эта статья:

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

если а = 0 — уравнение корней не имеет;

если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

кубические,
уравнения четвертой степени,
иррациональные и рациональные, и другие.

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

-4x = 12 | : (-4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Статья о методах решения уравнений. Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.

Основные методы решения уравнений

Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи. Также на сайте есть отдельные статьи о решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений, с которыми я также рекомендую читателю ознакомиться.

Метод разложения на множители

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение методом разложения на множители:

Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную за скобки:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, или Из последнего уравнения получаем: или

Ответ: и

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение методом разложения на множители:

$\frac<1> Ответ: 0 или .$

Пример 2. Решите уравнение методом разложения на множители:

Решение. Для разложения на множители используем прием деления многочленов столбиком (или, как еще иногда говорят, уголком). Несложно догадаться, что — корень многочлена Следовательно, по теореме Безу он без остатка делится на Осуществим это деление (см. подробнее в видеоуроке):

Деление многочленов уголком (столбиком)

Таким образом То есть исходное уравнение принимает вид:

$(3x^2+3x+1)(x-1) = 0\Leftrightarrow\left[\begin 3x^2+3x+1 = 0, \\ x-1=0.\end\right.$

Дискриминант первого квадратичного уравнения — отрицателен, поэтому корней у него нет. Из второго уравнения получается уже известный нам результат, что корень Это единственный корень уравнения.

Ответ: .

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение методом разложения на множители:

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной. Все эти идеи проще осознать на конкретном примере.

Пример 3. Решите уравнение методом замены переменной:

Решение. Такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде: Введем новую переменную Тогда исходное уравнение примет следующий простой вид: Решая полученное квадратичное уравнение, получаем, что или

Возвращаемся теперь к старой переменной (обратная замена): или Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение методом замены переменной:

Ответ: >" width="48" height="37" />
или >." width="51" height="37" />

$\frac<4x> +\frac=1.$

Решение. Обращаем внимание на то, что не является корнем данного уравнения. Следовательно, без потери или приобретения лишних корней можно разделить числитель и знаменатель обеих дробей на Тогда уравнение принимает вид:

$\frac<4> >+\frac>=1.$

$t=4x+\frac<7> Введем новую переменную: .$
Тогда уравнение примет вид:

$\frac<4> +\frac = 1\Leftrightarrow \frac = 0.$

Дробь равна нулю, если нулю равен ее числитель, а знаменатель при этом не равен нулю. То есть уравнение равносильно следующей системе:

$\begin t^2-25+144 = 0, \\ t\ne 8,\\ t\ne 10\end\Leftrightarrow \begin\left[\begin t = 16, \\ t =9, \end\right. \\ t\ne 8,\\ t\ne 10\end$

Итак, или Переходя к обратной подстановке, получаем:

Ответ: " width="8" height="26" />
и ." width="14" height="26" />

$x^2+\frac Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение методом разложения на множители: +x+\frac=0.$

Метод оценки области значений

Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.

Пример 5. Решите уравнение, используя метода оценки области значений:

Решение. Рассмотрим функцию Известно, что поэтому Итак, функция может принимать значения только из промежутка

Рассмотрим теперь функцию Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке

График соответствующей квадратичной функции

$[1;+\mathcal<1> То есть область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная ) представляет собой промежуток ).$

Таким образом выражения, стоящее справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при Действительно, и При всех остальных значениях функция больше 1 (см. график). Значит — единственный корень уравнения.

Ответ: 0.

$\sin^2 x=\left|x-\frac<\pi> Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение с использованием метода оценки области значений: \right|+1.$

$\frac<\pi> Ответ: .$

Нестандартные методы решения уравнений

$\sqrt<2x-x^2+8> +\sqrt=\sqrt+1.$

Решение. Определим область допустимых значений (те значения, которые может принимать переменная в данном уравнении). Исходим из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

$\begin 2x-x^2+8\geqslant 0, \\ x^2-4x\geqslant 0, \\ -x-2\geqslant 0\end\Leftrightarrow\begin2x-x^2+8\geqslant 0, \\ x^2-4x\geqslant 0, \\ x\leqslant -2.\end$

Изображение решений каждого из неравенств системы на числовой прямой

Получается, что область допустимых значений содержит одно единственное значение Является ли это значение корнем уравнения, проще всего проверить прямой подстановкой:

$\sqrt<2\cdot (-2)-(-2)^2+8> +\sqrt\ne$

$\ne\sqrt<-(-2)-2> +1,\, \sqrt\ne 1,\, 2\sqrt\ne 1.$

Нет, не является.

Ответ: корней нет.

$\sqrt<x^2-x> Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение: +\sqrt=\sqrt-1.$

$\sqrt<x^2+3x-2> -\sqrt=2-x.$

$\sqrt<x^2+3x-2> Решение. Домножим уравнение на +\sqrt.$
Вообще говоря, это преобразование не является равносильным, даже в области допустимых значений. Ведь могут найтись такие значения при которых это выражение обратится в ноль. При таком преобразовании могут появиться лишние корни, поэтому полученные ответы нужно будет проверить непосредственной подстановкой. Но главное, что в результате такого преобразования не произойдет потери корней. Итак, преобразуем:

$x^2+3x-2-x^2-2x = (2-x)\times$

$\times (\sqrt<x^2+3x-2> +\sqrt)$

$(x-2) + (x-2)(\sqrt<x^2+3x-2> +\sqrt) = 0$

$(x-2)(1+\sqrt<x^2+3x-2> +\sqrt) = 0.$

Выражение во вторых скобках не может быть равно нулю. Действительно, оба корня по крайней мере неотрицательны, поэтому если к их сумме прибавить 1, получится положительное выражение. То есть остается, что или Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения:

$\sqrt<2^2+3\cdot 2-2> -\sqrt=2-2,\, \sqrt=\sqrt.$

Ответ: 2.

$\frac<x> Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение: +1>=\sqrt-4.$

$x^2+\frac<81x^2> = 40.$

$t=\frac<9x> Решение. В область допустимых значений уравнения не входит число -9. Введем новую переменную .$
Тогда в области допустимых значений последнее выражение преобразуется к виду или Тогда имеет место система уравнений:

$\begin x^2+t^2=40, \\ 9(x-t)-xt=0\end\Leftrightarrow\begin(x-t)^2=40-2xt, \\ 9(x-t)-xt=0\end\Lefrightarrow$

$\left[\begin \beginx-t=-20, \\ xt=-180\end \\ \beginx-t=2, \\ xt=18\end\end\right.\Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt.$

$1\pm\sqrt<19> Ответ: .$

$\sqrt[4]<x+8> Задача для самостоятельного решения №8. Решите уравнение -\sqrt[4]=2.$

Вопрос методов решения уравнений изложенным в статье материалом, конечно, не исчерпывается. Существуют десятки других методов. Существуют также совершенно уникальные уравнения, для которых имеются свои собственное методы решения. Так что научиться здесь можно еще очень и очень многому. Самым хорошим помощником в этот деле для вас станет профессиональный репетитор по математике. Учите математику, сдавайте на отлично выпускные экзамены, поступайте в престижные вузы. Удачи вам!

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Примеры решения линейных уравнений:

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
Решить уравнение с одной неизвестной.
Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Читайте также: