Как определяется порядок выполнения логических операций в логических формулах кратко
Обновлено: 26.04.2024
На вводном уроке, посвящённом основам математической логики, мы познакомились с базовыми понятиями этого раздела математики, и сейчас тема получает закономерное продолжение. Помимо нового теоретического, а точнее даже не теоретического – а общеобразовательного материала нас ожидают практические задания, и поэтому если вы зашли на данную страницу с поисковика и/или плохо ориентируетесь в материале, то, пожалуйста, пройдите по вышеуказанной ссылке и начните с предыдущей статьи. Кроме того, для практики нам потребуется 5 таблиц истинности логических операций, которые я настоятельно рекомендую переписать от руки.
НЕ запомнить, НЕ распечатать, а именно ещё раз осмыслить и собственноручно переписать на бумагу – чтобы они были перед глазами:
– таблица НЕ;
– таблица И;
– таблица ИЛИ;
– импликационная таблица;
– таблица эквиваленции.
На самом деле с понятием логической формулы вы уже знакомы. Приведу стандартное, но довольно-таки остроумное определение: формулами алгебры высказываний называются:
1) любые элементарные (простые) высказывания ;
2) если и – формулы, то формулами также являются выражения вида
.
Никаких других формул нет.
Логическую формулу можно рассматривать, как логическую функцию. Запишем в функциональном виде ту же конъюнкцию:
Элементарные высказывания и в этом случае играют роль аргументов (независимых переменных), которые в классической логике могут принимать 2 значения: истина или ложь. Далее для удобства я буду иногда называть простые высказывания переменными.
– в первую очередь выполняется отрицание ;
– во вторую очередь – конъюнкция ;
– затем – дизъюнкция ;
– потом импликация ;
– и, наконец, низший приоритет имеет эквиваленция .
Наверное, все понимают, но на всякий пожарный: и – это две разные формулы! (как в формальном, так и в содержательном плане)
(три горизонтальные чёрточки – это значок тождества)
Составить таблицу истинности для формулы и убедиться в справедливости знакомого вам тождества .
Ещё раз повторим порядок решения задачи:
1) Так как в формулу входят две переменные, то всего будет 4 возможных набора нулей и единиц. Записываем их в оговорённом выше порядке.
И, наконец, сверяемся с таблицей истинности эквиваленции .
Основные равносильности алгебры высказываний
С двумя из них мы только что познакомились, но ими дело, понятно, не огранивается. Тождеств довольно много и я перечислю самые важные и самые известные из них:
Коммутативность конъюнкции и коммутативность дизъюнкции
Коммутативность – это перестановочность:
Ассоциативность логического умножения и сложения
Дистрибутивные свойства
Закон идемпотентности
Что делать, латынь.
И тут же несколько похожих тождеств:
…мда, что-то я даже подзавис… так и доктором философии завтра можно проснуться =)
Закон двойного отрицания
Законы поглощения
В правом тождестве скобки можно опустить.
Законы де Моргана
Предположим, что строгий Преподаватель (имя которого вам тоже известно:)) ставит экзамен, если – Студент ответил на 1-й вопрос и – Студент ответил на 2-й вопрос. Тогда высказывание , гласящее о том, что Студент не сдал экзамен, будет равносильно утверждению – Студент не ответил на 1-й вопрос или на 2-й вопрос.
Как уже отмечалось выше, равносильности подлежат доказательству, которое стандартно осуществляется с помощью таблиц истинности. В действительности мы уже доказали равносильности, выражающие импликацию и эквиваленцию, и сейчас настало время закрепить технику решения данной задачи.
Теперь убедимся, например, в справедливости закона де Моргана .
Доказать следующие равносильности:
Краткое решение в конце урока. Не ленимся! Постарайтесь не просто составить таблицы истинности, но ещё и чётко сформулировать выводы. Как я недавно отмечал, пренебрежение простыми вещами может обойтись очень и очень дорого!
Продолжаем знакомиться с законами логики!
Да, совершенно верно – мы с ними уже вовсю работаем:
Формула, которая принимает значение Истина при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно истинной формулой или законом логики.
В силу обоснованного ранее перехода от равносильности к тождественно истинной формуле , все перечисленные выше тождества представляют собой законы логики.
Формула, которая принимает значение Ложь при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно ложной формулой или противоречием.
Фирменный пример противоречия от древних греков:
– никакое высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.
Однако и любое противоречие – это тоже закон логики, в частности:
Нельзя объять столь обширную тему в одной-единственной статье, и поэтому я ограничусь ещё лишь несколькими законами:
Закон исключённого третьего
Самостоятельно составьте табличку истинности и убедитесь в том, что это тождественно истинная формула.
Закон контрапозиции
Также из данного закона следует, что если справедливой является прямая теорема , то обязательно истинным будет и утверждение , которое иногда называют противоположной теоремой.
Если истинна обратная теорема , то в силу закона контрапозиции , справедлива и теорема, противоположная обратной:
Закон силлогизма
Ну и здесь опять хочется отметить формализм математической логики: если наш строгий Преподаватель думает, что некий Студент – есть дуб, то с формальной точки зрения данный Студент, безусловно, растение =) …хотя, если задуматься, то может быть и с неформальной тоже =)
Давайте на этой веселой ноте проведём доказательство. В данную формулу входят уже элементарных высказывания , а значит, всего будет: различных комбинаций нулей и единиц (см. три левых столбца таблицы). Заодно, кстати, записал вам общую формулу; с точки зрения комбинаторики, здесь размещения с повторениями.
Составим таблицу истинности для формулы . В соответствии с приоритетом логических операций, придерживаемся следующего алгоритма:
1) выполняем импликации и . Вообще говоря, можно сразу выполнить и 3-ю импликацию, но с ней удобнее (и допустимо!) разобраться чуть позже;
2) к столбцам применяем правило И;
3) вот теперь выполняем ;
4) и на завершающем шаге применяем импликацию к столбцам и .
Не стесняйтесь контролировать процесс указательным и средним пальцем :))
Из последнего столбца, думаю, всё понятно без комментариев:
, что и требовалось доказать.
Выяснить, будет ли являться законом логики следующая формула:
Краткое решение в конце урока. Да, и чуть не забыл – давайте условимся перечислять исходные наборы нулей и единиц в точно таком же порядке, что и при доказательстве закона силлогизма. Строки конечно, можно и переставить, но это сильно затруднит сверку с моим решением.
Преобразование логических формул
Кроме того, есть ещё одна важная вещь: тождества справедливы не только для элементарных высказываний, но и для произвольных формул. Так, например:
, где – любые (сколь угодно сложные) формулы.
Преобразуем, например, сложную импликацию (1-е тождество):
Ну, а с коммутативностью вообще всё просто – даже обозначать ничего не нужно… что-то запал мне в душу закон силлогизма:))
Таким образом, закон можно переписать и в более затейливом виде:
В качестве тренировки упростим формулу .
Как правило, на первом шаге (шагах) избавляются от эквиваленции и импликации (если они есть) и сводят формулу к трём основным логическим операциям. Что тут скажешь…. Логично.
(1) Используем тождество . А нашем случае .
(2) К внешним скобкам применяем закон де Моргана , где .
(3) К внутренним скобкам применяем закон двойного отрицания . Внешние скобки можно убрать, т.к. за её пределами находятся равные по силе операции.
(4) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами и . Оставшиеся скобки тоже убираем по озвученной выше причине.
(5) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами и , а также и .
(6) Используем закон идемпотентности и закон исключенного третьего
(7) Дважды используем тождество
Вот оно как…, оказалось, что наша формула – тожественно истинна:
Желающие могут составить таблицу истинности и убедиться в справедливости данного факта.
Пара задач для закрепления материала:
Выразить эквиваленцию через отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и раскрыть скобки
Аккуратно проводим преобразования в соответствии с равносильностями. После этого будет не лишним вернуться к параграфу об эквиваленции и найти там фразу, которая соответствует полученному результату ;-)
Упростить логическую формулу
Решения с подробными комментариями совсем близко.
Решения и ответы:
Задание 1 Решение: составим таблицу истинности для формулы :
(подробные инструкции по заполнению таблицы находятся после условия задачи)
Полученный результат совпадает с эквиваленцией высказываний и , таким образом:
Задание 2 Решение: доказательства проведём с помощью таблиц истинности:
а) Дважды записываем все варианты истины и лжи высказывания и применяем к столбцам операцию ИЛИ:
Результат совпадает с . Тождество доказано
б) составим таблицу истинности для левой части тождества
. Сначала к столбцам и применяем операцию ИЛИ, затем к столбцам и – операцию И:
В результате истинность формулы совпала с истинностью высказывания , таким образом, тождество доказано.
Задание 3 Решение: составим таблицу истинности:
Вывод: данная формула не является тождественно истинной (законом логики)
Задание 4 Решение:
(1) Используем тождество .
(2) Дважды применяем тождество .
(3) Используем дистрибутивный закон , в данном случае:
(квадратные скобки можно было не ставить – они не меняют порядок действий, но помогают лучше видеть ситуацию).
(4) В квадратных скобках используем коммутативность конъюнкции.
(5) Дважды используем тот же самый дистрибутивный закон.
(6) Во второй слева скобке используем коммутативность конъюнкции.
(7) Согласно закону противоречия: .
(8) К формуле дважды применяем тожество .
(9) А это уже для красоты :)) Скобки, кстати, можно было убрать намного раньше (я их не опускал с целью улучшить восприятие преобразований).
Задание 5 Решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Учебник по Информатике 8 класс Семакин
of your page -->
Задание 1. Какие проблемы решает формальная логика?
Формальная логика описывает правила определения истинности или ложности умозаключения исходя из данных высказываний.
Задание 2. Определите основные понятия алгебры логики: логическая величина, логическая операция, логическая формула?
Логическая величина – константа или переменная, которая принимает значения истина или ложь.
Логическая операция – операция над логическими величинами, которая позволяет составить новые логические величины путем соединения более простых.
Логическая формула – выражения, содержащее логические величины и знаки логических операций.
Задание 3. Сформулируйте правила выполнения основных логических операций.
1) Операция отрицания (инверсия): меняет значения на противоположное: не истина = ложь; не ложь = истина.
2) Операция логического умножения: будет истина только тогда, когда будут истинны значения обоих операндов. Обозначение: и
3) Операция логического сложения: будет истина тогда, когда хотя бы один из операндов имеет значение ИСТИНА. Обозначение: или
Задание 4. Как определяется порядок выполнения логических операций в логических формулах?
Порядок выполнения логических операций:
1) операции в скобках
2) отрицание (не)
3) логическое умножение (и)
4) операция логического сложения (или)
Задание 5. Пусть a, b, c – логические величины, которые имеют следующие значения: a = ИСТИНА, b = ЛОЖЬ, C = ИСТИНА. Определите результаты вычисления следующих логических формул.
1) a и b = ИСТИНА и ЛОЖЬ = ЛОЖЬ
2) a или b = ИСТИНА или ЛОЖЬ = ИСТИНА
3) не a или b = не ИСТИНА или ЛОЖЬ = ЛОЖЬ
4) a и b или c = ИСТИНА и ЛОЖЬ или ИСТИНА = ИСТИНА
5) a или b и c = ИСТИНА или ЛОЖЬ и ИСТИНА = ИСТИНА
6) не a или b и c = не ИСТИНА или ЛОЖЬ и ИСТИНА = ЛОЖЬ
7) (a или b) и (c или b) = (ИСТИНА или ЛОЖЬ) и (ИСТИНА или ЛОЖЬ) = ИСТИНА
8) не (a или b) и (c или b) = не (ИСТИНА или ЛОЖЬ) и (ИСТИНА или ЛОЖЬ) = не ИСТИНА и ИСТИНА = ЛОЖЬ
9) не (a и b и c) = не (ИСТИНА и ЛОЖЬ и ИСТИНА) = ИСТИНА
Задание 6. Постройте таблицы истинности для логических формул под номерами 3-9 из предыдущего задания?
3) не a или b
4) a и b или c
5) a или b и c
6) не a или b и c
7) (a или b) и (c или b)
8) не (a или b) и (c или b)
9) не (a и b и c)
Логическая функция – это функция, у которой значения переменных и значение функции выражают логическую истинность.
Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.
Таблицы истинности для основных двоичных логических функций
1. Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.
Обозначение:
2. Дизъюнкция (логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.
Обозначение:
3. Импликация (логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.
Обозначение:
4. Эквиваленция – это сложное логическое высказывание, которое является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него.
Обозначение:
5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Обозначение:
6. Штрих Шеффера – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.
Обозначение:
7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.
Обозначение:
Порядок выполнения логических операций
При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:
- Инверсия
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Импликация
- Эквиваленция
- Штрих Шеффера
- Стрелка Пирса
Для последних двух операций приоритет не определен.
Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.
Примеры решения задач
Задание | Составить таблицу истинности для функции |
Решение | Составим таблицу истинности для заданной функции, которая содержит две переменные и . В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных функций и в последнем столбце — значение функций. В результате получим таблицу: |
I –
II –
III –
Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)
Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.
Обозначение: &, $\wedge$, $\cdot$.
Таблица истинности для конъюнкции
- Если хотя бы одно из подвыражений конъюнкции ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция будет ложной для этого набора значений.
- Если все выражения конъюнкции истинны на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция тоже будет истинна.
- Значение всей конъюнкции сложного выражения не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется (как в математике умножение).
Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)
Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.
Таблица истинности для дизъюнкции
- Если хотя бы одно из подвыражений дизъюнкции истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция принимает истинное значение для данного набора подвыражений.
- Если все выражения из некоторого списка дизъюнкции ложны на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
- Значение всей дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений (как в математике – сложение).
Готовые работы на аналогичную тему
Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)
Отрицание - означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.
Обозначения: не $A$, $\bar$, $¬A$.
Таблица истинности для инверсии
Импликация или логическое следование
Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).
Обозначения: $\to$, $\Rightarrow$.
Таблица истинности для импликации
- $A \to B = ¬A \vee B$.
- Импликация $A \to B$ ложна, если $A=1$ и $B=0$.
- Если $A=0$, то импликация $A \to B$ истинна при любом значении $B$, (из лжи может следовать истинна).
Эквивалентность или логическая равнозначность
Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.
Обозначения: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Таблица истинности для эквивалентности
- Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных $A$ и $B$.
- КНФ $A \equiv B = (\bar \vee B) \cdot (A \cdot \bar)$
- ДНФ $A \equiv B = \bar \cdot \bar \vee A \cdot B$
Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)
Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.
Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных $1$, составляющих текущий набор — нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.
Обозначения: $A \oplus B$ (в языках программирования), $A≠B$, $A \wedge B$ (в языках программирования).
Таблица истинности для операции сложения по модулю два
Свойства строгой дизъюнкции:
- $a \oplus 0 = a$(идемпотентность)
- $a \oplus 1 = \bar$(отрицание)
- $a \oplus a = 0$(получение 0)
- $a \oplus b = b \oplus a$(коммутативность)
- $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$(ассоциативность)
- $(a \oplus b) \oplus b = a$(поглощение)
- $\bar \oplus b = a \oplus \bar = (a \equiv b)$(сравнения по модулю)
Стрелка Пирса
Бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Названа в честь Чарльза Пирса и введена в алгебру логики в $1880—1881$ гг.
Обозначения: $\downarrow$ , ИЛИ-НЕ
Таблица истинности для стрелки Пирса
Стрелка Пирса, как и конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, образует базис для булевых функций двух переменных. При помощи стрелки Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:
$X \downarrow X = ¬X$— отрицание
$(X \downarrow Y) \downarrow (X \downarrow Y) \equiv X \vee Y$ — дизъюнкция
$(X \downarrow X) \downarrow (Y \downarrow Y) \equiv X \wedge Y$ — конъюнкция
$((X \downarrow X) \downarrow Y) \downarrow ((X \downarrow X) \downarrow Y) = X \to Y$ — импликация
Штрих Шеффера
Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г.
Обозначения: $|$, эквивалентно операции И-НЕ.
Таблицей истинности для функции штрих Шеффера
Штрих Шеффера образует базис для всех булевых функций двух переменных. Применяя штрих Шеффера можно построить остальные операции, например,
$X \mid X = ¬X$ — отрицание
$(X \mid Y) \mid (X \mid Y) = (X \wedge Y)$ — конъюнкция
$(X \mid X) \mid (Y \mid Y) = X \vee Y$ — дизъюнкция
Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении
- Инверсия(отрицание);
- Конъюнкция (логическое умножение);
- Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
- Импликация (следствие);
- Эквивалентность (тождество).
Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.
Общие свойства
Для набора из $n$ логических переменных существует ровно $2^n$ различных значений. Таблица истинности для логического выражения от $n$ переменных содержит $n+1$ столбец и $2^n$ строк.
Читайте также:
- Нематериальные блага как объекты гражданских прав кратко
- Картотека педагогической и методической литературы начальная школа
- Что я могу сделать для охраны гидросферы в школе дома в природе ответ кратко
- Swot анализ технологии рефлексии начальная школа
- Что вы знаете об ускорении свободного падения на луне кратко