Как можно разделить окружность на равные части кратко

Обновлено: 20.05.2024

на n равных частей, одна из древнейших задач математики; состоит в том, чтобы произвести Д. к. при помощи только циркуля и линейки. Древнегреческие математики умели делить окружность на 3, 5, 15 частей, а также неограниченно удваивать число сторон полученных многоугольников. В конце 18 в. К. Гаусс показал, что окружность можно разделить при помощи циркуля и линейки на 17 частей и вообще на такое число частей n, которое может быть представлено в виде n = 2 2k + 1 и является простым или равно произведению различных таких чисел и любой степени числа 2 (при k = 0, 1, 2, 3, 4 получаются простые числа n = 3, 5, 17, 257, 65537; при k = 5, 6, 7 соответствующие числа не простые). Ни на какое другое число равных частей разделить окружность при помощи циркуля и линейки нельзя. Задача Д. к. эквивалентна решению двучленного уравнения (См. Двучленное уравнение) x n — 1 = 0. Д. к. при помощи циркуля и линейки возможно только тогда, когда все корни этого уравнения можно получить последовательным решением квадратных и линейных уравнений.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое "Деление круга" в других словарях:

Деление — 1) Деление есть действие, обратное умножению; в нем по заданному произведению двух чисел и одному из двух множителей ищется второй множитель. Заданные произведение и множитель называются соответственно делимым и делителем, а искомый множитель… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Деление угла на три части — одна из трех классич. задач античной математики (наряду с квадратурой круга и делийской задачей), состоявшая в попытке разделить угол на три равные части с помощью циркуля и линейки. Найти решение пытались Гиппий, Папп из Александрии и… … Словарь античности

Прицел* — приспособление, употребляемое для прицеливания (см. П. оружия) по видимой цели. Для всех нарезных орудий приняты выдвижные прицелы, для гладкостенных же употреблялись приставные, которые после каждой наводки приходилось снимать с орудия. П. для… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Прицел — приспособление, употребляемое для прицеливания (см. П. оружия) по видимой цели. Для всех нарезных орудий приняты выдвижные прицелы, для гладкостенных же употреблялись приставные, которые после каждой наводки приходилось снимать с орудия. П. для… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Фреза — [В некоторых русских мастерских шарошка.]. Под этим названием, заимствованным с французского (Fraise), известен особый вид режущего инструмента, применяемый при обработке металлов, дерева, кости, рога, кожи и других материалов и состоящий из… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Трин — (или тригон) деление круга на 3 части, 120о. Квадрат деление круга на 4 части (или оппозиции на 2 части), 90о … Астрологическая энциклопедия

Борда Жан Шарль — (Jean Charles Borda) французский ученый, род. 1733, † в 1799. Получил первоначально образование под руководством иезуитов и с юности обнаруживал большую склонность и способности к занятиям математикою, но родители его избрали для него военную… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Вавилоно-ассирийская наука и техника — наука и техника народов, населявших в теч. 4 1 го тыс. до н.э. терр. древ. Месопотамии (Двуречья). Уже с 5 4 го тыс. до н.э., в связи с потребностями ирригац. земледелия, прорываются каналы, возводятся дамбы и плотины. В это время были… … Древний мир. Энциклопедический словарь

Двучленное уравнение — уравнение вида xn a = 0, в котором а какое либо действительное или комплексное число. К решению таких уравнений приводит задача об извлечении корня степени n из числа а (х = n√ а). Д. у. имеет n различных корней, среди которых не больше… … Большая советская энциклопедия

ВАВИЛОНО-АССИРИЙСКАЯ КУЛЬТУРА — культура народов Двуречья Евфрата и Тигра (терр. совр. Ирака) шумеров и аккадцев (вавилонян и ассирийцев) в 4 1 тыс. до н. э. В а. к. характеризуется относительно высоким уровнем развития производит. сил, науки, техники, лит ры и иск ва, с одной… … Советская историческая энциклопедия

Очень многие из нас, учась в школе, думали, что очень многие предметы школьной программы в жизни нам никогда не понадобятся. Я так думала про геометрию. Однако жизнь сложилась так, что именно геометрия мне оказалась и нужна.

Эту глобальную проблему симметричного деления окружности на равное количество частей можно решить просто при помощи циркуля, линейки, листа бумаги и геометрии.

Деление окружности на 3 равных сектора.

Для начала нам понадобиться сама окружность. Рисуем ее при помощи циркуля

Выбираем на поверхности окружности любую точку, отмечаем ее карандашиком. Далее циркулем отмеряем радиус нашей окружности (кто забыл - это расстояние от центра окружности до любой ее точки)

Ставим наш циркуль с набранным радиусом в точку, которую мы на окружности отметили и проводим дугу до пересечения с нашей основной окружностью.

Через точку на окружности и центр окружность проводим линию до пересечения с гранью.

Таким образом мы получили 3 точки на нашей окружности.

Теперь из центра проводим линии, соединяя центр с этими точками и у нас образовались 3 одинаковых сектора.

Деление окружности на 4 равных сектора.

Начинаем опять с окружности, необходимого нам диаметра. Назову ее окружность 1.

Через центр окружности 1 проводим линию до пересечения с обеими сторонами окружности 1.

Из центра окружность 1 при помощи циркуля рисуем окружность больше диаметра - окружность 2.

Ставим ножку циркуля в точку на пересечении наше прямой линии и окружности 2 и из нее проводим дугу. Расстояние от точки на окружности до дуги равно диаметру окружности 1. (диаметр = 2 радиусам). Ту же процедуру повторяем с точкой на другой стороны окружности.

У нас есть 2 новые точки, появившиеся на пересечении дуг. Соединяем их и получаем окружность, разбитую на 4 ровных сектора.

Деление окружности на 5 равных секторов.

Начало работы с делением окружности на 5 частей очень схожа с делением окружности на 4 части, поэтому я начну уже с разделенного круга на 4 части.

Циркулем набираем радиус нашей окружности и ставим ножку в одну из имеющихся у нас точек. В моем случае это левая точка. Проводим дугу до пересечения ее с основной линии окружности.

Соединяем получившиеся точки при помощи линейки и находим новую точку пересечения (точка Н)

Циркулем набираем расстояние от верхний точки на окружности до точки Н. Ставим ножку в точку Н и проводим дугу и получаем еще одну точку (точка М)

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку окружности и набираем расстояние до точки М.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и откладываем набранное нами расстояние на нашей окружности.

Ставим циркуль в получившуюся точку и еще раз откладываем это расстояние. Таким же образом ставим еще 2 точки.

У нас получилось 4 отложенных точки и 1 верхняя точка окружности. Соединяем центр окружности с этими точками и получаем 5 равных секторов.

Деление окружности на 6 равных секторов.

Нам снова нужна окружность.

Берем любую точку на этой окружности, ставим в нее ножку циркуля с набранным расстоянием радиуса и проводим дугу до пересечения с нашей окружностью.

Далее соединяем выбранную нами точку с центром окружности и находим еще одну точку с противоположной стороны.

Из этой точки таким же расстоянием проводим еще одну дугу.

Мы получили 6 точек - 2 мы шали при помощи дуг, 1- наша выбранная и 1 найденная при помощи линейки. Соединяем их с центром и получаем 6 равных секторов.

Деление окружности на 7 равных секторов.

Чтобы не повторяться и не описывать уже знакомые алгоритмы, берем за основу момент нахождения точки Н для разбития окружности на 5 частей.

Отмеряем циркулем расстояние от точки Н до точки на окружности.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и набранным на циркуле расстоянием откладываем точки, аналогично как мы делали в случае разбивки окружности на 5 частей

Соединяем наши новые точки с центром и получаем 7 равных секторов.

Используя эти простые приемы можно создавать геометрические орнаменты различной сложности

Для выполнения чертежей некоторых изделий необходимо овладеть приемами деления окружностей на равные части и построения многоугольников, вписанных в окружность (рис. 34, 35).

Деление окружности на 2 и 4 равные части. Любой диаметр делит окружность на две равные части. Два взаимно перпендикулярных диаметра делят ее на четыре равные части.

Как вы считаете, как вписать в окружность квадрат, стороны которого параллельны осевым линиям?

Последовательность деления окружности на 4 равные части

1. Проводят окружность с радиусом R.
2. Из точек С и В тем же радиусом R, что и радиус окружности, проводят дуги до их взаимного пересечения.
3. Точку пересечения соединяют прямой с центром окружности. Получают точки 1 и 3.
4. Аналогично выполняют построение из точек А и С.

Установите последовательность операций по делению окружности на восемь равных частей.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей
Последовательность деления окружности
1. Проводят окружность с заданным радиусом R.
2. Из точки А тем же радиусом R проводят дугу до пересечения с окружностью в точках 2 и 3.
3. Точки пересечения 2 и 3 соединяют прямыми
линиями, получают вписанный треугольник.

Составьте алгоритм деления окружности на три равные части таким образом, чтобы получить геометрические фигуры, изображенные на рисунке.

При делении окружности на 6 равных частей выполняется то же построение, что и при делении окружности на 3 части, но дугу описывают не один, а два раза, из точек 1 и 4 радиусом окруж ности R.

Выполнять деление окружности на равные части можно не только с помощью циркуля, но и используя угольник. Разделить окружность на число частей n можно, используя формулу расчета длины хорды (см. Памятку 4).

Угольником с углами 30° и 60°. Гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности

Зная, на какое число (п) следует разделить окружность, находят по таблице коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр окружности D получают длину хорды l, которую циркулем откладывают на окружности п раз

Деление окружности на 5 равных частей
Последовательность деления окружности
1. Из точки А радиусом окружности R проводят дугу до пересечения окружности в точках n и m. Соединяют полученные точки n и m прямой линией. На пересечении с горизонтальной осевой линией получают точку В.
2. Из точки В радиусом, равным отрезку ВС, проводят дугу, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D.
3. Соединив точки С и D, получаем отрезок СD, который и является длиной стороны пятиугольника. Из точки С проводят дугу радиусом, равным СD, и получают точки 5 и 2. Из полученных точек 5 и 2 проводят еще по одной дуге R = CD и находят точки 3 и 4.

Как вы считаете, каким образом можно разделить окружность на 10 равных частей для получения рисунка орнамента? Предложите способ деления окружности.

Деление окружности на 7 равных частей

Последовательность деления окружности на 7 равных частей аналогично по построению с алгоритмом деления на 5 равных частей.
1. Из точки А проводят дугу радиусом окружности R, которая пересекает окружность в двух точках.
2. Соединив точки пересечения прямой, при пересечении с горизонтальной осевой линией получаем точку В. Отрезок СВ является длиной стороны семиугольника
3. Из точки 1 радиусом, равным отрезку СВ, делают по окружности 7 засечек и получают семь точек.

Знаете ли вы, что не все кривые линии могут быть вычерчены с помощью циркуля и их построение выполняется по ряду точек? При вычерчивании кривой полученный ряд точек соединяют по лекалу, поэтому ее называют лекальной кривой линией. Точность построения лекальной кривой повышается с увеличением числа промежуточных точек на ее участке. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, которые получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью.
К лекальным кривым также относят эвольвенту, синусоиду, спираль Архимеда, циклоидальные кривые.
Архимедова спираль была открыта Архимедом в III в. до н. э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигалась на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние. Спираль Архимеда встречается не только в природе, ее используют в архитектуре, технике. Например, по спирали Архимеда идет звуковая дорожка или строится круговая лестница.

С помощью деления окружности на равные части составляются круговые орнаменты — узоры, украшающие различные сооружения, утварь, оружие и т. д. Основа создания орнамента — геометрические построения. На рисунок орнамента могут влиять технические, растительные, текстовые мотивы. Круговые орнаменты могут быть как простыми, например для геометрической резьбы, так и очень сложными, требующими серьезных геометрических построений.

Некоторые детали машин и приборов имеют элементы, равномерно расположенные по окружности, например, детали на рис. 52—59. При выполнении чертежей подобных деталей необходимо знать правила деления окружности на равное количество частей.

Деление окружности на четыре и восемь равных частей. На рис. 52, а показана крышка, в которой имеется восемь отверстий, равномерно расположенных по окружности. При построении чертежа контура крышки (рис. 52 г) необходимо разделить окружность на восемь равных частей. Это можно сделать с помощью угольника с углами 45° (рис. 52, в), гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности, или построением.

Два взаимно перпендикулярных диаметра окружности делят ее на четыре равные части (точки 7, 3, 5, 7 на рис. 52, б). Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, применяют известный прием деления прямого угла с помощью циркуля на две равные части. Получают точки 2, 4, 6, 8.

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей. Во фланце (рис. 53, а) имеется три отверстия, равномерно расположенных по окружности. При выполнении чертежа контура фланца (рис. 53, г) нужно разделить окружность на три равные части.

Для нахождения точек, делящих окружность радиуса R на три равные части, достаточно из любой точки окружности, например точки А, провести дугу радиусом R. Пересечения дуги с окружностью дают две искомые точки 2 и 3; третья точка деления будет находиться на пересечении оси окружности, проведенной из точки Л, с окружностью (рис. 53, б).

Разделить окружность на три равные части можно также угольником с углами 30 и 60° (рис. 53, в), гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности.

На рис. 54, б показано деление окружности циркулем на шесть равных частей. В этом случае выполняется то же построение, что на рис. 53, б но дугу описывают не один, а два раза, из точек и радиусом R , равным радиусу окружности.

Разделить окружность на шесть равных частей можно и угольником с углами 30 и 60° (рис. 54, в). На рис. 54, а показана крышка, при выполнении чертежа которой необходимо выполнить деление окружности на шесть частей.

Чтобы выполнить чертеж детали (рис. 55, а), которая имеет 12 отверстий, равномерно расположенных по окружностям, нужно разделить осевую окружность на 12 равных частей (рис. 55, г).

При делении окружности на 12 равных частей с помощью циркуля можно использовать тот же прием, что и при делении окружности на шесть равных частей (рис. 54, б),но дуги радиусом R описывать четыре раза из точек 1, 7, 4и 10 (рис. 55, б).

Используя угольник с углами 30 и 60° с последующим поворотом его на 180°, делят окружность на 12 равных частей (рис. 55, в).

Деление окружности на пять, десять и семь равных частей. В плашке (рис. 56, а) имеется пять отверстий, равномерно расположенных по окружности. Выполняя чертеж плашки (рис. 56, в), необходимо разделить окружность на пять равных частей. Через намеченный центр О (рис. 56, б)

при помощи рейсшины и угольника проводят осевые линии и из точки О циркулем описывают окружность заданного диаметра. Из точки А радиусом R, равным радиусу данной окружности, проводят дугу, которая пересечет окружность в точке n. Из точки n опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию, получают точку С. Из точки С радиусом R₁ равным расстоянию от точки С до точки 1, проводят дугу, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке т. Из точки 1 радиусом R , равным расстоянию от точки 1 до точки m, проводят дугу, пересекающую окружность в точке 2. Дуга 12 является 1/5 длины окружности. Точки 3,4 и 5 находят, откладывая циркулем отрезки, равные m1.

На рис. 58, а изображен шкив, а на рис. 58, в — чертеж шкива, где окружность разделена на семь равных частей.

Деление окружности на семь равных частей показано на рис. 58, б. Из точки А проводится вспомогательная дуга радиусом R, равным радиусу данной окружности, которая пересечет окружность в точке . Из точки n опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию. Из точки 1 радиусом, равным отрезку nс, делают по окружности семь засечек и получают семь искомых точек.

Деление окружности на любое число равных частей. С достаточной точностью можно делить окружность на любое число равных частей, пользуясь таблицей коэффициентов для подсчета длины хорды (табл. 9).

Зная, на какое число (n) следует разделить окружность, находят по таблице коэффициент . При умножении коэффициента k на диаметр окружности D получают длину хорды l, которую циркулем откладывают на окружности n раз.

При построении чертежа кольца (рис. 59, а) необходимо окружность диаметра D=142 мм разделить на 32 равные части. Количеству частей окружности n=32 соответствует коэффициент k=0,098. Подсчитав длину хорды l=Dk=142x0,098= 13,9 мм, ее циркулем откладывают на окружности 32 раза (рис. 59, б и в).

Читайте также: