Из каких знаков состоит алфавит десятичной и двоичной систем кратко
Обновлено: 05.07.2024
Алфавит системы счисления - это совокупность цифр и букв, с помощью которых записываются числа.
Основание | Название | Алфавит |
n=2 | двоичная | 0 1 |
n=3 | троичная | 0 1 2 |
n=4 | четверичная | 0 1 2 3 |
n=5 | пятеричная | 0 1 2 3 4 |
n=6 | шестеричная | 0 1 2 3 4 5 |
n=7 | семеричная | 0 1 2 3 4 5 6 |
n=8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
n=10 | десятичная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
n=16 | шестнадцатиричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
13.Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа – это запись вида
Где q – целое число (положительное, отрицательное или ноль) m – правильная Р-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, то есть:
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление
Ключевые слова:
- система счисления
- цифра
- алфавит
- позиционная система счисления
- основание
- развёрнутая форма записи числа
- свёрнутая форма записи числа
- двоичная система счисления
- восьмеричная система счисления
- шестнадцатеричная система счисления
1.1.1. Общие сведения о системах счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.
Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
- 1) унарная система;
- 2) непозиционные системы;
- 3) позиционные системы.
Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.
Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.
Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:
Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа.Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Десятичная система
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, …, q—1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записиСвёрнутной формой записи числа называется его представление в виде 1 ± an-1an-2…a1a0,a-1…a-m. 1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.
- 1 • 10 4 + 4 • 10 3 + 3 • 10 2 + 5 • 10 1 + 1 • 10 0 + 1 • 10 -1 .
1.1.2. Двоичная система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:
- 100112 = 1 • 2 4 + 0 • 2 3 + 0 • 2 2 + 1 • 2 1 + 1 • 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 1910.
Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1′).
Разделим аn-1 • 2 n-1 + аn-2 • 2 n-2 + … + а0 • 2 0 на 2. Частное будет равно аn-1 • 2 n-2 + … + а1, а остаток будет равен а0.
Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а1.
Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:
которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112.
Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
1.1.3. Восьмеричная система счисления
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.
На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:
Например: 10638 = 1 • 8 3 + 0 • 8 2 + 6 • 8 1 + 3 • 8 0 = 56310.
Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.
1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,…, 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3AF16 означает:
- 3AF16 = 3 • 16 2 + 10 • 16 1 + 15 • 16 0 = 768 + 160 + 15 = 94310.
Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.
1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:
- 1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
- 2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
- 3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.
Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 2010.
1.1.6. Двоичная арифметика
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример 9. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:
- двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
- представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
- двоичная арифметика наиболее проста;
- существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
Самое главное о системе счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Вопросы и задания
1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?
10. Верны ли следующие равенства? а) 334 = 217;
б) 338 = 214.
11. Найдите основание х системы счисления, если: а) 14х = 910;
б) 2002х = 13010.
19. Вычислите выражения: а) (11111012 + AF16) : 368; б) 1258 + 1012 ? 2A16 ? 1418. Ответ дайте в десятичной системе счисления.
В системах счисления, которые содержат больше \(10\) знаков, после цифры \(9\) начинаются латинские буквы. \(10\), \(11\), \(12\) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.
Это самая распространённая система счисления в мире. Её применяют для повседневного счёта. Для записи чисел используются арабские цифры \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).
Любое число позиционной системы счисления можно записать в развёрнутом виде. То есть в виде суммы произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.
Сначала пронумеруем разряды числа, начиная с младшего — единиц. Нумерацию начинаем с \(0\). Цифра \(2\) находится в разряде единиц, ставим над ней \(0\), далее разряд десятков — над цифрой \(5\) ставим \(1\) и т. д.
Двоичные числа получили широкое применение в компьютерной технике. Два значения, используемые в двоичной системе счисления, позволяют идентифицировать два состояния: есть ток (\(1\)), нет тока (\(0\)); использовать булеву алгебру для работы логических устройств; легко производить арифметические операции.
111001,101 2 = 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 0 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 .
У двоичной системы счисления есть один недостаток. Разряды чисел очень быстро растут. Поэтому в компьютерной технике стали широко применять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Компьютер легко переводит числа из одной системы счисления в другую.
Знание алгоритма записи развёрнутой формы числа пригодится нам в будущем для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную.
Двоичная система — это один из видов позиционных систем счисления. Основание данной системы равно двум, то есть используется только два символа для записи чисел.
Немного истории
Впервые о данной системе чисел заговорил основоположник математического анализа Г.В. Лейбниц еще в XVII веке. Он доказал, что для данного множества действуют все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и даже деление. Однако вплоть до 30-х годов XX века данную систему не рассматривали всерьез. Но с развитием электронных устройств и ЭВМ, ученые вновь принялись к изучению данной темы, так как двоичная система отлично подходила для программирования и организации хранения данных в памяти компьютеров.
Таблица и алфавит
Алфавит двоичной системы счисления состоит всего из двух знаков: 0 и 1 . Однако это нисколько не усложняет выполнение арифметических действий.
Кроме того, двоичная система является самой удобной для быстрого перевода в другие системы счисления.
Так, чтобы перевести двоичное число в десятичное, необходимо найти значение его развернутой формы . Например:
1001102 = 1 ∙ 2 5 + 0 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 3810
Чтобы наоборот перевести число в двоичную из десятичной, необходимо выполнить его деление на 2 с остатком, а затем записать все остатки в обратном порядке, начиная с частного:
Делимое | 38 | 19 | 9 | 4 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
Делитель | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
Частное | 19 | 9 | 4 | 2 | 1 |
Остаток | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Для перевода в другие системы необходимо:
- Перевести двоичный код в десятичный.
- Выполнить деление десятичного числа на основание той системы, в которую требуется перевести.
Однако можно воспользоваться и более быстрым и удобным способом: разделить знаки двоичного числа на условные группы слева на право (для восьмеричной — по 3 знака; для шестнадцатеричной — по 4 знака), а затем воспользоваться таблицей перевода:
Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
001 | 1 | 1 |
010 | 2 | 2 |
011 | 3 | 3 |
100 | 4 | 4 |
101 | 5 | 5 |
110 | 6 | 6 |
111 | 7 | 7 |
1000 | 8 | |
1001 | 9 | |
1010 | A | |
1011 | B | |
1100 | C | |
1101 | D | |
1110 | E | |
1111 | F |
110010012 = 11 001 001 = 011 001 001 = 3118
110010012 = 1100 1001 = С916
Представление двоичных чисел
Чтобы найти дополнительный код отрицательного числа, необходимо воспользоваться его прямым и дополнительным кодами.
Прямой код предполагает приписывание единицы в начале без изменений записи:
A > 0 | Aпр = 0A | 1010112; Aпр = 01010112 |
A ≤ 0 | Aпр = 1|A| | -1010112; Aпр = 11010112 |
Для записи обратного кода цифры заменяют на противоположное значение, первую единицу от прямого кода оставляют без изменений:
A > 0 | Aобр = 0A | 1010112; Aобр = 01010112 |
A ≤ 0 | Aобр = 1 A | -1010112; Aобр = 10101002 |
Дополнительный код предполагает использование обратного кода, с той лишь разницей, что к отрицательному числу прибавляют единицу:
A > 0 | Aдоп = 0A | 1010112; Aдоп = 01010112 |
A ≤ 0 | Aдоп = 1 A + 1 | -1010112; Aдоп = 10101012 |
Применение двоичной системы в информатике
Двоичная система получила особое распространение в программировании цифровых устройств, так как она соответствует требованиям многих технических устройств, поддерживающих два состояния (есть ток, нет тока). Кроме того, является более простой и надежной для кодирования информации. Именно поэтому программный код большей части ЭВМ основан именно на двоичной системе счисления.
Читайте также: