Индукция и дедукция анализ и синтез в обучении математике кратко
Обновлено: 06.07.2024
В современной методике существует ряд классификаций методов в зависимости от: источника передачи и характера восприятия информации (словесные, наглядные, практические), дидактических задач, реализующихся на данном этапе обучения (метод приобретения знаний, формирования УН, применения знаний, закрепления и проверки ЗУН), характера познавательной деятельности учащихся по усвоению содержания образования (объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский, эвристический).
Словесные методы: беседа, лк, рассказ. Одним из эффективных методов является эвристическая беседа, в ходе которой учитель не сообщает учащимся готовый материал, а ставит перед классом проблему и в ходе целесообразно подобранных вопросов подводит учащихся к самостоятельному переоткрытию соответ. правил и теорем. Школьная Лк применяется в основном в старших классах в том случае, если учебный материал является слишком сложным или важным с точки зрения целостного его восприятия. Рассказ применяется во всех классах. В виде рассказа учитель сообщает учащимся исторические справки, дает пояснение для выполнения работ и т. д.
В обучении математике большое применение находят наглядные методы (чертеж, график, схема, таблица, экранное пособие, модели). Таблицы: настенные рабочие и справочные. Экранные пособия: диафильмы, диапозитивы, кинофильмы. Модели - плоские, каркасные, тел вращения и т. д.
Практические методы: лабораторные и практические работы. Лабораторная - выполнение задания по отношению к конкретным предметам и моделям. Практическая – предмет деятельности - пространственные формы (измерение на местности). Особым методом является учебное телевидение (программированное обучение).
Индукция и дедукция в обучении математике.
Различают два основных вида умозаключений: индукцию и дедукцию. Индукция - от частного к общему. Она может быть полной (вывод делается на основании рассмотрения всех фактов), неполной и ММИ. Неполная индукция может быть ошибочна. Индукция является мощным эвристическим методом и в этом качестве широко применятся для формирования гипотез, которые доказываются дедукцией (от общего к частному). Различием индукции от дедукции - достоверность вывода последней. В настоящее время дедукцией называется метод доказательства, основанный на определенной системе аксиом, поэтому дедуктивный метод называют аксиоматическим. Индукция и дедукция тесно связаны между собой.
Анализ и синтез в обучении математике.
Анализ и синтез являются методами научного исследования и они находят широкое применение при формулировке понятий, доказательстве теорем и решении задач. Анализ в переводе с греческого означает разложение, разбор, синтез - соединение, составление
Анализ - операция мышления, состоящая в том, что изучаемый предмет разделяется на составные элементы, каждый из которых исследуется отдельно, как часть целого для того, чтобы в ходе анализа элементы соединить с помощью синтеза в целое, обогащенное новыми.
Для методики и практики обучения математики анализ и синтез играют особенно важную роль и выступают в самых разнообразных формах:
- как методы решения задач,
- изучение свойств математических понятий.
Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.
При решении задач анализ принимает другую форму. Анализ - это рассуждение, идущее от того, что надо найти к тому, что дано или установлено ранее (переход от следствия к причине).
Синтез - это рассуждение, идущее от данной задачи к искомости (переход от причины к следствию).
Поиск решения задач осуществляется в основном с помощью аналитико-синтетического метода. Здесь выделяются 3 этапа аналитико-синтетического рассуждения:
1) Предположим, что задача решена,
2) Посмотрим какие из этого можно извлечь выводы,
3) Сопоставляем полученные выводы (синтез), попытаемся найти способ решения задачи. Анализ в процессе решения задач может быть либо нисходящим, либо восходящим.
При нисходящем анализе, исходя из предположения об истинности доказываемого предположения, получают систему следствий необходимых для существования доказываемого утверждения. Нисходящий анализ требует синтеза - противоположного хода рассуждений.
Таким образом, сущность нисходящего анализа заключается в следующем: исходя из допущения, что заключение доказываемого предложения, верно, получают следствия до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением в цепи обратных рассуждений. Очевидно, что этим путем находят условие необходимое для заключения доказываемого предложения. Поэтому этот вид анализа не является доказательным. Нисходящий анализ чаще всего применяется в решении задач на построение. В ходе анализа предполагают, что искомая фигура построена, делают чертеж, набросок и составляют план построения искомой фигуры.
Восходящий анализ имеет целью доказать, что известные (данные в условии) соотношения являются достаточными для существования заключения доказываемого предложения. Восходящий анализ содержит в себе и синтез, поэтому он не требует противоположного хода рассуждений. Восходящий анализ имеет определенные методические преимущества, а именно он обеспечивает сознательные и самостоятельные отыскания доказательства, способствует развитию логического мышления, обеспечивает понимание действий на каждом этапе рассуждений.
6. Математическое понятие, его содержание, объем.
Виды определений
Содержание понятия раскрывается с помощью определения. Определением называется такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия. Определить понятие - это значит перечислить существенным признаки предметов, отображенных в данном понятии. Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид. А затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие. Понятие = род + видовое отличие. Часто все определения делятся на два вида: явные и неявные.
Научные методы исследования в математике являются одновременно и методами учебной работы учащихся, так как в процессе обучения учащиеся открывают для себя математические истины.
Применение при обучении математики
методов научного исследования
Анализ и синтез как методы исследования и методы обучения.
Индукция и дедукция как виды умозаключения и формы обучения.
Анализ и синтез являются и методами исследования, и методами обучения. Они используются при решении задач, при доказательстве теорем, при формировании математических понятий.
Анализ – метод исследования (логический прием), состоящий в том, что изучаемый объект мысленно или практически расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из этих элементов рассматривается отдельно как часть расчлененного целого.
Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое.
В математике чаще всего под анализом понимают прием мышления, при котором мы от следствия переходим к причине, породившей это следствие.
Под синтезом понимаем прием мышления, при котором мы от причины переходим к следствию.
При решении задач анализ может высткпать в двух формах:
когда мы двигаемся от искомых данных к данным известным (идут от неизвестного),
анализ в форме расчленения, т.е. когда целое расчленяется на части.
Анализ в форме рассуждений от искомых к данным подразделяется нна следующие виды:
- восходящий анализ: исходным моментом решения задачи является её заключение, преобразование которого происходит путем отыскания достаточных признаков его справедливости.
- нисходящий анализ имеет две разновидности:
1) несовершенный анализ – при решении задачи несовершенным аннализом за исходное берется заключение задачи.
2) метод доказательства от противного:
а) предположим противоположное от того, что требуется доказать …
б) из предположенного следует, что …
с) получение противоречия с условием задачи
д) значит, наше предположение не верно и т. д.
-алгебраический метод – это такая форма анализа, при котором связи между искомыми и данными устанавливаются с помощью составления уравнения или системы уравнений (реже неравенств).
Анализ в форме расчленения:
Разбиваем условие задачи на отдельные части,
Выделяем отдельные условия, остальные пока не используем,
Из выделенных условий составляем более легкую вспомогательную задачу и решаем ее,
Обнаружив идею решения вспомогательной задачи, переходим к решению первоначально-поставленной задачи.
Анализ в форме расчленения чаще всего используется при решении задач на построение.
Синтез: суть синтетического решения состоит в том, что первые вспомогательные суждения являются логическим выводом из условия задачи. Далее вспомогательные суждения получаются как следствия из первых и т.д.
Этот метод чаще всего применяется при решении несложных задач. К явным недостаткам синтеза относятся:
отсутствие рассуждений на основании которых определяется план решения задачи ;
отсутствие аргументации почему поступаем так, а не иначе;
трудность выбора нужных исходных данных и тех следствий из них, которые ведут к цели.
Пример: Погорелов А. В. §4, п. 37
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Что надо знать, чтобы доказать, что ВО || АС?
Какие фигуры можно рассмотреть для доказательства равенства углов?
- ∆ ВМС и ∆ ВОС. ВС – общая сторона. Угол МВС= углу ВСО (как внутренние накрест лежащие углы при || прямых и секущей (ВМ || ОС)). Предположим , что угол А = углу С= α,тогда по свойству внешнего угла имеем угол А + угол С= угол КВС.
2α = угол КВС = 2*угол ОВС (т. к. ВО – биссектриса)
Α = угол ОВС следовательно ∆ ВМС =∆ ВОС
Т. к. треугольники равны, что можно сказать о соответствующих элементах?
- угол ВМС = углу ВОС
4. Т. к. угол ВМС = углу ВОС то, что можно сказать о ВО и АС?
II. Синтез
1.Что можно найти зная, что ВО – биссектриса угла КВС?
- угол ОВС = углу КВО = ½ КВС (по условию).
2. Что можно сказать еще о внешнем угле КВС?
- угол КВС = угол А + угол С (по условию), угол КВС = 2*угол С = 2*угол α.
3. Из 1 и 2 следует угол ОВС – углу КВО = ½*2 α = α.
4. Какой вывод можно сделать из того, что угол ОВС = углу АСВ – они накрест лежащие при ВС. Следовательно, ВО || АС.
Вывод. Признак параллельности прямых: если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов = 180 градусов, то прямые параллельны.
Индукция – умозаключение, при котором из двух или нескольких единичных суждений получают одно новое общее суждение (от частного к общему).
Дедукция – одна из форм умозаключений, при которой из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое менее общее суждение (от общего к частному).
Процесс получения новых знаний состоит в переходе от одних суждений к другим суждениям на основе умозаключений. При этом умозаключения могут быть как индуктивными, так и дедуктивными. Чаще всего умозаключение представляет собой силлогизм.
Единичное суждение – окружность пересекается с прямой не более, чем в двух точках.
Единичное суждение – элипс может пересекаться с прямой не более, чем в двух точках.
Частное суждение – окружность и элипс – виды конических сечений.
Общее суждение – все конические сечения могут пересекаться с прямой не более, чем в двух точках.
Общее суждение – в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Частное суждение –в треугольнике АВС, АВ = ВС.
Новое общее суждение – угол А = углу С
Индукция – метод исследования, при котором для изучения некоторого явления изучают отдельные объекты, устанавливают в них некоторые свойства, от которых зависит изучение всего объекта.
Пример: объект – арифметическая прогрессия:
аn = а1 + (n-1)d – доказывается методом математической индукции. Этот пример можно отнести и к индукции – как форме обучения (форма изложения материала).
Индукция начинается с наблюдения опыта сравнения.
Пример. Теорема о сумме углов треугольника.
Начертить треугольник, измерить углы, найти сумму углов, сравнить результаты, полученные учениками, выдвинуть гипотезу, сформулировать теорему.
Другой способ (он лучше, т. к. позволяет открыть и способ доказательства теоремы). Пусть у треугольника разноцветные углы. Отрежем эти углы. На прямой от точки отложим эти углы. Угол А + угол В + угол С = 180 градусов.
Индукция может быть полной и неполной. Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких частных или единичных суждений (эти умозаключения могут быть ложными).
Полная индукция – умозаключения, основанные на рассмотрении всех частных или единичных суждений. Выводы эти всегда истинны.
Пример: коммутативность сложения на множестве N.
2+3=5, 3+2=5 следовательно, 2+3=3+2
Это полная индукция. Выводы истинны
Пример: y(x) = x 2 + x +41, х принадлежит N – формула простого числа
у(1) = 1+1+41=43 – простое число
у (2) = 4+2+41=47 – простое число
Дедукция как метод исследования.
Для получения какого-нибудь нового знания о некотором объекте рассматривают ближайший к данному объекту класс объектов (родовое понятие); изучают свойства родового понятия и все эти свойства переносятся на изучаемый объект.
Пример: рассмотрим квадрат.
Исследуя свойства прямоугольника, ромба, переносим эти свойства на квадрат.
Дедукция – особая форма изложения материала: когда от общих правил и положений переходим к менее общим правилам и положениям.
Пример: учебник Погорелова А. В. 7-11 класс. Геометрия.
Вводится понятие преобразования подобия,
Под рассуждением будем понимать логическую операцию, посредством которой из одного или нескольких утверждений, называемых посылками, получается новое утверждение, называемое заключением (следствием вывода).
Опр: Индукция – это метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок.
Различают два вида индукции: полную и неполную, а также математическую индукцию. Пусть А = – множество всевозможных частных случаев, в каждом из которых некоторое свойство С может быть или не быть. Допустим, что в к случаях имеет место свойство С, т. е. имеются посылки С(а1), С(а2),…, С(ак). Индуктивное рассуждение строится по схеме: С(а1), С(а2),…, С(ак) / х: С(х) (1). Если множество А всех возможных частных случаев содержит более, чем к элементов или же бесконечно, что особенно часто встречается в математике, то заключение по схеме (1) не является достоверно истинным высказыванием. В этом случае имеем неполную индукцию.
Опр: Неполная индукция – это индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.
Индукция может привести к ложному заключению, т. к. посылки не исчерпывают всевозможные частные случаи. Ввиду недостоверности заключения неполная индукция не может служить методом доказательства в математике.
Опр: Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех случаев, относящихся к рассматриваемой ситуации.
В математике широко используется еще один вид индукции – полная математическая индукция. Математическая индукция – это специальный метод доказательства в применении к изучению какого-либо математического факта. ММИ состоит из следующих этапов: 1) наблюдение и опыт; 2) гипотеза; 3) обоснование гипотезы. Применение ММИ основано на применении принципа математической индукции: если какое-либо утверждение, сформулированное для натурального числа n, проверено для единицы и из допущения его истинности для некоторого значения n = k, следует его истинность для значения n = k + 1, то утверждение верно для любого натурального числа n.
ММИ обычно выглядит так: 1) шаг – проверяем истинность теоремы (формулы) для n = 1; 2) шаг – предполагаем, что теорема верна для некоторого n = k, и исходя из предположения, доказываем истинность теоремы для n = k + 1; 3) шаг – на основании первых двух шагов доказательства и принципа математической индукции заключаем, что теорема верна для любого натурального n.
Обучение ММИ дается нелегко, требует особенно тщательного пояснения самой аксиомы, достаточно четкого выделения всех трех шагов доказательства. При правильном использовании индуктивного метода, целесообразно сочетать его со следующими средствами: 1) системой упражнений и задач; 2) использованием наглядных пособий; 3) выполнением лабораторных работ на измерение; 4) выполнением построений, конструированием моделей по условиям задач. Главная задача индукции в процессе обучения математике – подвести учащихся от конкретных предметов и явлений к новым понятиям, свойствам или отношениям между объектами.
Опр: Дедукция – это форма умозаключения, состоящая в том, что новое предложение выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода из некоторых известных предложений.
[А(х) => В(х), А(а)] / B(a) – правило заключения;
[А(х) => В(х), В(а)] / А(a) – правило отрицания;
[А(х) => В(х) =>С(х)] / [А(х) => С(х)] – правило силлогизма.
Опр: Анализ – процесс мысленного или реального расчленения предмета (явления, процесса) на части (признаки, свойства).
Опр: Синтез – это рассуждение, идущее от данной задачи, теоремы к искомым (переход от причины к следствию).
Нельзя отделить анализ от синтеза.. Анализ и синтез находят применение при формулировании понятий, доказательстве теорем, решении задач.
Методы научного познания не отделяются друг от друга и находятся в единстве и взаимосвязи. Их мы разделим на две группы: особенные и общие. Общие методы называются так , потому что они связывают все стороны процесса познания воедино. Особенные методы определяют только одну сторону изучаемого предмета. Это наблюдение, эксперимент, анализ, синтез, индукция, дедукция, измерение, сравнение. Мы рассмотрим два из них: анализ и синтез.
Анализ и синтез, это приемы научного мышления, которые порождают специальные методы в любой области. Анализ и синтез как суть, как содержание и форма человеческого мышления, как приемы и методы научного познания комплексно изучаются многими науками. Анализ и синтез противоположно направленные друг другу операции мышления.
Анализ - это прием мышления, разлагающий изучаемый объект на составные части, стороны, тенденции развития и способы функционирования с целью их относительно самостоятельного изучения. Но он составляет лишь первоначальный этап процесса познания. Говорят, что тот, кто умеет анализировать - умеет мыслить.
Чаще всего, в математике, под анализом понимают рассуждение в обратном направлении, то есть от неизвестного, от того, что требуется найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано; от того, что требуется доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное. Таким образом, анализ считают средством поиска решения, доказательства, но во многих случаях сам по себе решением или доказательством являться не может.
Синтез – логический прием, метод познания, соединяющий в целое отдельные элементы. В логике слово синтез обозначает акт ума, противоположный анализу. Но друг с другом они очень тесно связаны. В геометрии аналитическими называют такие доказательства теорем, которые ведутся путем алгебраического вычисления в противоположность решению путем построения, которое называют синтетическим.
Рене Декарт(1596-1650 г.г.) детально исследовал вопрос анализа и синтезе в своей работе "Логика". Он весьма наглядно продемонстрировал оба метода в следующем примере:
Он поставил себе вопрос : " является ли он родственником королю Карлу Великому"? К решению этого вопроса он пришел двумя путями. Первый из них заключался в том , что нужно идти по родословному дереву в прошлое от Декарта до Карла Великого. Но есть другой путь - можно идти по родословному дереву из прошлого, то есть от Карла Великого до Декарта. И если же они окажутся на одном родословном дереве, то они родственники. Первый способ решения этой задачи иллюстрирует анализ, вторая - синтез.
В пример можно решить текстовую задачу основанные на двух методах. первый из них иллюстрирует синтез, второй - анализ. (У Кати есть 15 конфет, вместе у Кати и Лены 20 конфет. Сколько конфет у Лены?
1) 20 - 15 = 5 ( решение , основанное на синтезе);
2) x + 15 = 20 ( решение , основанное на анализе).
Сущность аналитического метода доказательства утверждений заключается в том, что исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известное как истинное.
Сущность синтетического метода доказательства утверждений состоит в том, что отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение.
Примеров решения задач методом анализа и синтеза можно приводить очень много. Одна из основных целей решения задач в школьном курсе математики состоит в том, чтобы обеспечить действенное усвоение каждым учеником основных методов и приемов решения учебных математических задач. Главное, что ученики должны обязательно усвоить эти методы. Иначе им будет очень трудно решать разного рода задачи. Задачи всегда разбиваются на элементарные подзадачи, решающиеся в одно действие. Из такого понимания элементарной подзадачи следует, что чем больший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас элементарными, а следовательно, тем меньше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элементарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных подзадач, которые останавливают процесс поиска.
Читайте также: