Фракталы что это кратко

Обновлено: 02.07.2024

Дорогие друзья! В рубрике "Научная мысль", ведет которую блогер @meskalinerush , мы планируем рассказывать вам о новостях из мира науки. Вселенная и космос, открытия и нанотехнологии станут чуть ближе и понятнее для нас. Мы говорим — чуть, потому что устройство вселенной настолько сложное, что мы можем постичь лишь ее небольшую часть. Но мы попробуем!
Если вы хотите участвовать в создании рубрики — пишите, пожалуйста, комментарии или обращайтесь в Телеграм к Дмитрию @meskalinerush или Наталье @ladyzarulem .

Что такое фрактал?

Привет друзья! Сегодняшней своей темой я выбрал фракталы, и мой выбор совершенно не случаен! Кто меня знает, тот точно будет уверен - многие из моих постов будут на фрактальную тематику. Просто дело в том, что они мне очень нравятся. А потому, как человек увлеченный, я стремлюсь подчинить этому увлечению всех вокруг.

Фракталы - явление "растяжимое" и понять их принципы достаточно сложно. Но я сделаю так, что это сделать сможет каждый. Фракталы - не только красивые картинки, трехмерные или двумерные, это целый комплекс математических характеристик, вычислений и умозаключений.

Единого определения фрактала нет, ведь фракталы есть в графике (как изображение выше - под ними, в общем, и подразумеваются фракталы в большинстве источников). Они есть в музыке (как комплекс звуков), они бывают в природе (как закономерности распределения), в обществе и экономике (как такие же закономерности). Википедия утверждает, что:

фракталы- (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность.

В принципе, утверждение правильное, но слишком сложное для восприятия. В первый раз прочитав это определение, мне было совершенно непонятно, что же такое фрактал. Такие формулировки внушают недоверие и непонимание, соответственно - неправильное понимание и дальнейшее неприятие, даже отрицание фракталов.

Вторые источники говорят, что фракталы являются геометрическими объектами, исключая саму их природу из определения. Третьи источники и вносят окончательный сумбур: они говорят, что фракталы - это прикольные картинки с завитушками. Кому верить? Что же такое фракталы?

Однозначно можно сказать, что фракталы - это объекты или явления, обладающие такими свойствами как:

— самоподобие (рекурсия): когда элемент одного отрезка кривой (линии или вообще - явления), приближен к общей картине. Это очень заметно на множестве Мандельброта:
это общая картина множества

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Содержание

Термин

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, графикгладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции. — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке; — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: ^n\psi_i(K)" width="" height="" />

$\Psi$

Можно показать, что отображение является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского и отображения , , — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .

В случае, когда отображения — преобразования подобия с коэффициентами , размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .

$\Psi$

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z₀ — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z₀, z₁=F(z₀), z₂=F(z₁), z₃=F(z₂), …

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

стремиться к бесконечности,
стремиться к конечному пределу,
демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z₁, z₂, z₃, z₁, z₂, z₃, …
вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z₀, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z 2 +c (или другой похожей функции), то есть тех значений z₀, для которых поведение последовательности z_n> может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z₀.

$c\in\mathbb<C> Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn> демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0. Так, множество Мандельброта — это множество всех$
, при которых z_n> для F(z)=z 2 +c и z₀ не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z_n> к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором |z_n| превысит фиксированную большую величину A.

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

В природе

Бронхиальное дерево
Сеть кровеносных сосудов
Деревья
Молния

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [источник не указан 779 дней] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Построение кривой Коха

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

$<\displaystyle \psi _ Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ,\,i=1,\dots ,n>$
—

$<\displaystyle \Psi > Можно показать, что отображение$
является сжимающим отображением на множестве — отображения подобия, а " width="" height="" />
— число звеньев генератора.

Для и отображения >" width="" height="" />
, >" width="" height="" />
, >" width="" height="" />
— .

В случае, когда отображения >" width="" height="" />
— преобразования подобия с коэффициентами , фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения ^+r_^+\dots +r_^=1>" width="" height="" />
. Так, для .

По той же , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

$<\displaystyle z_<0> Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями — многочлен, >$
— комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

$<\displaystyle z_ ,z_=F(z_),z_=F(z_),z_=F(z_),\dots >$
.

$<\displaystyle n\rightarrow \infty > Нас интересует поведение этой последовательности при$
. Эта последовательность может:

$<\displaystyle \dots w_ <ul> <li>Стремиться к бесконечности;</li> <li>Стремиться к конечному пределу;</li> <li>Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида ,w_,w_,w_,w_,w_,\dots >$

Демонстрировать более сложное поведение.

Множества значений >" width="" height="" />
, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества , то есть тех значений >" width="" height="" />
, для которых поведение последовательности >" width="" height="" />
может резко меняться при сколь угодно малых изменениях >" width="" height="" />
.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен " width="" height="" />
и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность >" width="" height="" />
демонстрирует определённое поведение при фиксированном >" width="" height="" />
. Так, множество Мандельброта — это множество всех >" width="" height="" />
, при которых >" width="" height="" />
для +c>" width="" height="" />
и =0>" width="" height="" />
не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер " width="" height="" />
, при котором |>" width="" height="" />
превысит фиксированную большую величину " width="" height="" />
).

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования

обладает сложной структурой при любом увеличении;
является (приближенно) самоподобной;
обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;
может быть построена рекурсивными процедурами.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт .

Читайте также: