Докажите что углы при основании равнобедренного треугольника равны кратко

Обновлено: 05.07.2024

Дано: треугольник АВС - равнобедренный.
Доказать, что угол А = углу С.

Доказательство:
Проведем биссектрису ВО. Рассмотрим треугольники АВО и треугольник ВОС.
Угол АВО = углу ОВС потому, что ВО биссектриса по построению.
Сторона ВО - общая.
АВ = ВС по определению равнобедренного треугольника.
Следовательно треугольник АВО = треугольнику ВОС по двум сторонам и углу между ними. Тогда угол А = углу С. Что и требовалось доказать.

Пусть ∠A, ∠B - углы при основании равнобедренного Δ ABC. Проведём из вершины C высоту CH (которая будет являться биссектрисой и медианой) ⇒ ∠ACH=∠BCH, ∠AHC=∠BHC=90° ⇒ ΔAHC=ΔBHC (по двум углам) ⇒ ∠A=∠B.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием BC и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD - биссектриса Δ ABC. Δ ABD и Δ ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AB = AC по условию, AD - общая сторона, ∠ADC = ∠ADB, так как AD - биссектриса). В равных треугольниках против равных стороно лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.

Теорема (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство. Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A = углу B.

Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA = CB, CB = CA, угол C = углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A = углу B. Теорема доказана.

В равнобедренном треугольнике прекрасно всё: и три угла, и два симметричных бедра. Полюбуемся этой фигурой, а заодно узнаем ее свойства, признаки и формулы, чтобы решать задачки легко.

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание.

Доказать: В = С.

Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. - против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание, АD - биссектриса.

Доказать: АD - медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.

Мы доказали, что ВD = DC точка D - середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС - смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 180 0 , тогда ADВ = ADС = 90 0 , т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

4. Теорема

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.

Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.

EFG - равносторонний:

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства равнобедренного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренным называют треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину (называются боковыми). Оставшаяся третья сторона является основанием фигуры.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны. Это значит, что α = β.

Если углы при основании треугольника равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой угла и медианой, проведенной к основанию.

BD – медиана и высота к основанию AC, а также биссектриса угла ABC.

Свойство 3

Центры вписанной и описанной вокруг равнобедренного треугольника окружностей лежат на одном отрезке, являющимся биссектрисой, медианой и высотой, проведенной к основанию.

O₁ и O₂ – расположены на одном отрезке;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности.

Пример задачи

Дан равнобедренный треугольник, в котором длина основания в полтора раза больше боковой стороны. Периметр фигуры равняется 14 см. Найдите длины всех сторон.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи, приняв боковую сторону за a.

В таком случае, основание AC равняется 1,5a.
Периметр треугольника – это сумма всех его сторон:
AB + BC + AC = a + a + 1,5a = 3,5a = 14.
Т.е. a = 4.

Следовательно, боковая сторона равна 4 см, а основание – 6 см (4 см ⋅1,5).

Читайте также: