Дифракционная решетка как спектральный прибор кратко

Обновлено: 06.07.2024

Дифракционная решетка представляет собой совокупность параллельных щелей, расположенных на равных расстояниях друг от друга. При падении на такую структуру свет дифрагирует, образуя на экране ряд изображений источника света (рис. 1.6), каждое из которых наблюдается в месте, удовлетворяющем формуле:

где d - постоянная решетки; - угол дифракции; т - порядок дифракционного максимума.

Если источник света излучает волны с разными частотами (т.е. разного цвета), то для каждого цвета получается своя картина дифракционных полос. Эти полосы называются спектральными линиями.

Дифракционную решетку используют как спектральный прибор, позволяющий разделить излучение на монохроматические составляющие и измерить длины их волн. К основным параметрам решеток относят угловую дисперсию , линейную дисперсию , разрешающую силу R.. Рассмотрим их смысл.

Дисперсия определяет расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу.

Угловой дисперсией называется величина

где dφ - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на dλ. Расчет показывает, что .

В пределах небольших углов sinφ = φ, cosφ = 1, поэтому где No - число щелей на единицу длины решетки.

Линейная дисперсия определяется как

где dl - расстояние на экране между дифракционными максимумами, отличающимися по длине волны на dλ.

Можно показать, что D_l = fD_φ, где f - фокусное расстояние линзы.

Если падающий свет содержит две близкие длины волн λ₁ и λ₂, то дифракционная решетка разводит их на разные углы, однако вследствие размытости спектральных линий на экране возможно их перекрытие друг с другом. В качестве примера на рис. 1.7 приведены две пары максимумов различной ширины, разведенных на один и тот же угол.

В одном случае (рис. 1.7, а) суммарная кривая интенсивности не позволяет обнаружить два компонента, в другом случае (рис. 1.7, б) провал между максимумами дает возможность увидеть эти линии раздельно,

Т.е. разрешить их. Два максимума одинаковой интенсивности I₀ воспринимаются глазом раздельно, если интенсивность света в промежутке между ними не более 0,8 I₀.

Разрешающей силой спектрального прибора называют величину где Δλ - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно, λ – длина волны, соответствующая центру провала (рис.1.7, б).

Для дифракционной решетки: где N – общее число штрихов решетки.

Чем чаще расположены штрихи дифракционной решетки, тем больше угол, на который разводятся две близкие по длине волны максимума излучения, а чем больше общее число штрихов, тем эти максимумы резче.

В состав видимого спектра света включены монохроматические волны с различными длинами. В излучении нагретых объектов (к примеру, нити лампы накаливания) длины волн беспрерывно заполняют весь диапазон видимого света. Данное излучение называют белым светом.

Свет, излучаемый, например, газоразрядными лампами или одним из множества других подобных им приборами, включает в свой состав отдельные монохроматические составляющие с некоторыми выделенными значениями длин волн.

Комплекс монохроматических компонент в излучении называется спектром.

Белый свет имеет непрерывный спектр, излучение источников, в которых он испускается атомами вещества, и дискретный спектр.

Спектральные приборы – это устройства, с помощью которых изучаются спектры излучения источников.

Для разложения излучения в спектр в простейшем спектральном приборе используется призма избраженная на картинке 3 . 10 . 1 .

Действие призмы базируется на таком явлении, как дисперсия, то есть на привязанности показателя преломления n вещества к длине волны света λ .

Рисунок 3 . 10 . 1 . Разложение излучения в спектр с помощью призмы.

Щель S , на которую падает рассматриваемое излучение, располагается в фокальной плоскости линзы Л 1 . Этот элемент прибора называется коллиматором.

Выходя из линзы, параллельный пучок света падает на призму P . По причине дисперсии, свет различных длин волн излучается из призмы под разнящимися углами. В фокальной плоскости линзы Л 2 устанавливают экран или фотопластинку, для фокусировки места излучения. Таким образом, в разных частях экрана появляется проекция входной щели S в свете различных длин волн.

У любого прозрачного твердого вещества (стекло, кварц), из которого изготавливаются призмы, показатель преломления n в диапазоне видимого света уменьшается с возрастанием длины волны λ , из-за чего призма наиболее сильно отклоняет, от их изначального направления, синие и фиолетовые лучи, а красные – наименее. Убывающая без ускорения зависимость n ( λ ) носит название нормальной дисперсии.

Первый опыт по разложению белого света в спектр осуществил известный физик И. Ньютон в 1672 году.

Дифракционные решетки

В спектральных приборах, относящихся к высокому классу точности, место призм занимают дифракционные решетки. Они представляют из себя периодические конструкции, которые гравируют, посредством использования особой делительной машины, на поверхности стеклянной или металлической пластинки (рис. 3 . 10 . 2 ).

У качественных решеток штрихи, параллельные друг другу, имеют длину около 10 с м , где на каждый миллиметр решетки приходится до 2000 штрихов. Причем, общая длина решетки может достигать 10 – 15 с м . Создание подобных решеток требует применения технологий самого высокого класса. Практически используются и более грубые версии решетки с 50 – 100 штрихами на миллиметр, которые нанесены на поверхность прозрачной пленки. В роли дифракционной решетки может применяться небольшая часть компакт-диска или даже осколок граммофонной пластинки.

Рисунок 3 . 10 . 2 . Дифракционная решетка.

Самый простой тип дифракционной решетки производится из прозрачных участков, то есть щелей, которые разделены непрозрачными промежутками. С помощью коллиматора, на решетку направляется параллельный пучок исследуемого света. Наблюдение проводится в фокальной плоскости линзы, установленной за плоскостью решетки (рис. 3 . 10 . 3 ).

Рисунок 3 . 10 . 3 . Дифракция света на решетке.

В каждой точке P на экране в фокальной плоскости линзы сходятся лучи, который до линзы являлись параллельными между собой и расходились под некоторым углом θ к направлению падающей волны.

Интерференция волн

Колебание в точке P представляют собой следствие интерференции вторичных волн, которые сходятся в эту точку от разных щелей.

Для того, чтобы в точке P прослеживался интерференционный максимум, разность хода Δ между волнами, который испускают соседние щели, должна быть эквивалентной целому числу длин волн:

∆ = d sin θ m = m λ ( m = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

Где d – это период дифракционной решетки, а m – целое число, носящее название порядка дифракционного максимума. В точках экрана, для которых это условие выполнено, расположены главные максимумы дифракционной картины.

В фокальной плоскости линзы, расстояние y m между максимумами нулевого порядка ( m = 0 ) и m -го порядка при сравнительно малых углах дифракции равняется:

где F – фокусное расстояние.

В условиях смещения из главных максимумов, стремительно теряется интенсивность колебаний. Для того, чтобы N волн погасили друг друга, значение разности фаз должно измениться на 2 π N , а не на π , как в случае интерференции двух волн.

На рис. 3 . 10 . 4 можно увидеть векторную диаграмму колебаний, возбуждаемых волнами от всех N щелей, если сдвиг фаз волн от соседних щелей равен 2 π N , а соответствующая разность хода равна отношению λ N .

Векторы, иллюстрирующие N колебаний, в данной ситуации формируют замкнутый многоугольник. Следовательно, при переходе из главного максимума в соседний минимум, разность хода Δ = d sin θ смениться на λ N . Исходя из данного условия, справедливым будет оценить угловую полуширину δ θ главных максимумов:

δ ∆ = δ ( d sin θ ) = d cos θ δ θ ≈ d · δ θ = λ N .

Здесь, дифракционные углы считаются достаточно малыми. Таким образом,

Где N d – это полный размер решетки. Данное выражение находится в полной симметрии с теорией дифракции в параллельных лучах. Согласно этой теории, дифракционная расходимость параллельного пучка лучей эквивалентна отношению длины волны λ к поперечному размеру препятствия.

Рисунок 3 . 10 . 4 . Сложение колебаний в максимуме и минимуме интерференционной картины: a – интерференция двух волн, b – интерференция N волн ( N = 8 ) .

Из описанного выше, можно сделать однозначный вывод: при дифракции света на решетке главные максимумы крайне узки. Рис. 3 . 10 . 5 иллюстрирует изменение остроты главных максимумов при возрастании количества щелей решетки.

Рисунок 3 . 10 . 5 . Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. I 0 – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели.

Исходя из формулы дифракционной решетки, мы можем заявить, что положение главных максимумов, кроме нулевого, зависит от длины волны λ . По этой причине решетка может разбивать излучение в спектр. Следовательно, она является спектральным прибором. В случае, если на решетку попадает не монохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции, а именно при каждом значении m , проявляется спектр исследуемого излучения.

Также стоит обратить внимание на то, что фиолетовая часть спектра расположена ближе к максимуму нулевого порядка. На рис. 3 . 10 . 6 для белого света проиллюстрированы спектры различных порядков. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.

Рисунок 3 . 10 . 6 . Разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки.

Используя дифракционную решетку, мы получаем возможность производить крайне точные измерения длины волны. При условии, что период d решетки известен, нахождение искомой величины (длины) приводится к измерению угла θ m , соответствующего направлению на выбранной линии в спектре m-го порядка. На практике, чаще всего применяются спектры 1 -го или 2 -го порядков.

Решетка в любом спектральном порядке (кроме m = 0 ) имеет возможность отсоединить одну волну от другой в случае, если в спектре изучаемого излучения есть две спектральные линии, обладающие длинами волн λ 1 и λ 2 .

Разрешающая способность дифракционной решетки - это одна из основных ее характеристик. Ей характеризуется возможность разделения при использовании решетки двух близких спектральных линий с длинами волн λ и λ + Δ λ .

Спектральная разрешающая способность R является отношением длины волны λ к минимальному реальному значению Δ λ , то есть: R = λ ∆ λ

Волновая природа света

Волновая природа света определяет разрешающую способность спектральных приборов, в частности, дифракционной решетки, так же от нее зависит предельное разрешение различных оптических инструментов, которые создают изображение объектов, таких как телескоп, микроскоп и др.

Считается, что если главный максимум для длины волны λ + Δ λ отступает от главного максимума для длины волны λ не менее, чем на полуширину главного максимума, т. е. на δ θ = λ N d , то две ближайшие линии в спектре m-го порядка различимы. Вывод выше является критерием Релея, примененным к спектральному прибору.

Из формулы решетки следует:

d d · cos θ · ∆ θ = m ∆ λ или ∆ θ = m δ cos θ ∆ λ ≈ m d ∆ λ

Где Δ θ является угловым расстоянием между двумя главными максимумами в спектре m -го порядка для двух близких спектральных линий с разницей длин волн Δ λ . Для упрощения, углы дифракции предполагаются незначительно малыми ( cos θ ≈ 1 ) . Уравнивая Δ θ и δ θ , получаем оценку разрешающей силы решетки:

λ N d = m d ∆ λ или R = λ ∆ λ = m N .

Из описанного выше следует, что предельное разрешение дифракционной решетки может зависеть только от порядка спектра m и от количества периодов решетки N .

Пускай период решетки d = 10 – 3 м м , а ее длина L = 10 с м .

Решение

В таком случае, N = 10 5 .

Исходя из данных показателей, можно с уверенностью сказать, что это хорошая решетка. В спектре 2 -го порядка разрешающая способность решетки равна R = 2 · 10 5 . Это указывает на то, что минимально разрешенный диапазон длин волн в зеленой части спектра (т.е. при λ = 550 н м ) равен Δ λ = λ R ≈ 2 , 8 · 10 – 3 н м , а предельное разрешение решетки с d = 10 – 2 м и L = 2 с м было бы равным Δ λ = 1 , 4 · 10 – 1 н м .

В состав видимого света входят монохроматические волны с различными значениями длин. В излучении нагретых тел (нить лампы накаливания) длины волн непрерывно заполняют весь диапазон видимого света. Такое излучение называется белым светом . Свет, испускаемый, например, газоразрядными лампами и многими другими источниками, содержит в своем составе отдельные монохроматические составляющие с некоторыми выделенными значениями длин волн. Совокупность монохроматических компонент в излучении называется спектром . Белый свет имеет непрерывный спектр , излучение источников, в которых свет испускается атомами вещества, имеет дискретный спектр . Приборы, с помощью которых исследуются спектры излучения источников, называются спектральными приборами .

Для разложения излучения в спектр в простейшем спектральном приборе используется призма (рис. 3.10.1). Действие призмы основано на явлении дисперсии , то есть зависимости показателя преломления вещества от длины волны света .

Щель , на которую падает исследуемое излучение, находится в фокальной плоскости линзы . Эта часть прибора называется коллиматором . Выходящий из линзы параллельный пучок света падает на призму . Вследствие дисперсии свет разных длин волн выходит из призмы под разными углами. В фокальной плоскости линзы располагается экран или фотопластинка, на которой фокусируется излучение. В результате в разных местах экрана возникает изображение входной щели в свете разных длин волн. У всех прозрачных твердых веществ (стекло, кварц), из которых изготовляются призмы, показатель преломления в диапазоне видимого света убывает с увеличением длины волны , поэтому призма наиболее сильно отклоняет от первоначального направления синие и фиолетовые лучи и наименее – красные. Монотонно убывающая зависимость называется нормальной дисперсией .

Первый опыт по разложению белого света в спектр был осуществлен И. Ньютоном (1672 г.).

В спектральных приборах высокого класса вместо призм применяются дифракционные решетки . Решетки представляют собой периодические структуры, выгравированные специальной делительной машиной на поверхности стеклянной или металлической пластинки (рис. 3.10.2). У хороших решеток параллельные друг другу штрихи имеют длину порядка , а на каждый миллиметр приходится до 2000 штрихов. При этом общая длина решетки достигает Изготовление таких решеток требует применения самых высоких технологий. На практике применяются также и более грубые решетки с штрихами на миллиметр, нанесенными на поверхность прозрачной пленки. В качестве дифракционной решетки может быть использован кусочек компакт-диска или даже осколок граммофонной пластинки.

Простейшая дифракционная решетка состоит из прозрачных участков (щелей), разделенных непрозрачными промежутками. На решетку с помощью коллиматора направляется параллельный пучок исследуемого света. Наблюдение ведется в фокальной плоскости линзы, установленной за решеткой (рис. 3.10.3).

В каждой точке на экране в фокальной плоскости линзы соберутся лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под определенным углом к направлению падающей волны. Колебание в точке является результатом интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от разных щелей. Для того, чтобы в точке наблюдался интерференционный максимум, разность хода между волнами, испущенными соседними щелями, должна быть равна целому числу длин волн:

Здесь – период решетки, – целое число, которое называется порядком дифракционного максимума . В тех точках экрана, для которых это условие выполнено, располагаются так называемые главные максимумы дифракционной картины.

В фокальной плоскости линзы расстояние от максимума нулевого порядка () до максимума -го порядка при малых углах дифракции равно
где – фокусное расстояние.

При смещении из главных максимумов интенсивность колебаний быстро спадает. Чтобы волн погасили друг друга, разность фаз должна измениться на , а не на π, как при интерференции двух волн. На рис. 3.10.4 изображена векторная диаграмма колебаний, возбуждаемых волнами от всех щелей при условии, что сдвиг фаз волн от соседних щелей равен , а соответствующая разность хода равна . Вектора, изображающие колебаний, образуют в этом случае замкнутый многоугольник. Таким образом, при переходе из главного максимума в соседний минимум разность хода должна измениться на . Из этого условия можно оценить угловую полуширину главных максимумов:

Здесь для простоты полагается, что дифракционные углы достаточно малы. Следовательно,
где – полный размер решетки. Это соотношение находится в полном согласии с теорией дифракции в параллельных лучах, согласно которой дифракционная расходимость параллельного пучка лучей равна отношению длины волны к поперечному размеру препятствия.

Можно сделать важный вывод: при дифракции света на решетке главные максимумы чрезвычайно узки. Рис. 3.10.5 дает представление о том, как меняется острота главных максимумов при увеличении числа щелей решетки.

Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели

Как следует из формулы дифракционной решетки, положение главных максимумов (кроме нулевого) зависит от длины волны . Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором . Если на решетку падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т. е. при каждом значении ) возникает спектр исследуемого излучения, причем фиолетовая часть спектра располагается ближе к максимуму нулевого порядка. На рис. 3.10.6 изображены спектры различных порядков для белого света. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.

С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период решетки известен, то определение длины сводится к измерению угла , соответствующего направлению на выбранную линию в спектре -го порядка. На практике обычно используются спектры 1-го или 2-го порядков.

Если в спектре исследуемого излучения имеются две спектральные линии с длинами волн и , то решетка в каждом спектральном порядке (кроме ) может отделить одну волну от другой.

Одной из важнейших характеристик дифракционной решетки является ее разрешающая способность , характеризующая возможность разделения с помощью данной решетки двух близких спектральных линий с длинами волн и . Спектральной разрешающей способностью называется отношение длины волны к минимальному возможному значению Δλ, то есть

Разрешающая способность спектральных приборов, и, в частности, дифракционной решетки, также как и предельное разрешение оптических инструментов, создающих изображение объектов (телескоп, микроскоп) определяется волновой природой света. Принято считать, что две близкие линии в спектре -го порядка различимы, если главный максимум для длины волны отстоит от главного максимума для длины волны не менее, чем на полуширину главного максимума, т. е. на . По существу, это критерий Релея, примененный к спектральному прибору. Из формулы решетки следует:
где – угловое расстояние между двумя главными максимумами в спектре -го порядка для двух близких спектральных линий с разницей длин волн . Для простоты здесь предполагается, что углы дифракции малы (). Приравнивая и , получаем оценку разрешающей силы решетки:

Таким образом, предельное разрешение дифракционной решетки зависит только от порядка спектра и от числа периодов решетки .

Пусть решетка имеет период , ее длина . Тогда, (это хорошая решетка). В спектре 2-го порядка разрешающая способность решетки оказывается равной . Это означает, что минимально разрешимый интервал длин волн в зеленой области спектра () равен . В этих же условиях предельное разрешение решетки с и оказалось бы равным .

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

Пусть а — ширина щели, a b — ширина непрозрачного промежутка (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Дифракция от двух щелей

Период дифракционной решетки — это расстояние между серединами соседних щелей:

Разность хода двух крайних лучей равна

Если разность хода равна нечетному числу полуволн

то свет, посылаемый двумя щелями, вследствие интерференции волн будет взаимно гаситься. Условие минимумов имеет вид

Эти минимумы называются дополнительными.

Если разность хода равна четному числу полуволн

то волны, посылаемые каждой щелью, будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (5.36) имеет вид

Это формула для главных максимумов дифракционной решетки.

Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, то есть главные минимумы решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (5.21) для одной щели:

Если дифракционная решетка состоит из N щелей (современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют до 200 000 штрихов, и период d = 0.8 мкм, то есть порядка 12 000 штрихов на 1 см), то условием главных минимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (5.41), условием главных максимумов — соотношение (5.40), а условие дополнительных минимумов имеет вид

Здесь k' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, . . Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N–1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими относительно слабый фон.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то время как спектральная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее отклоняет красные лучи.

Важной характеристикой всякого спектрального прибора является разрешающая способность.

Разрешающая способность спектрального прибора — это безразмерная величина

Назначение спектральных приборов — исследовать спектральный состав излучения, т. е. определить, из каких монохроматических волн оно состоит. Иначе говоря, спектральный прибор производит гармонический анализ излучения. Действие спектральных приборов основано на том, что в некоторых физических системах условия прохождения света разной длины волны оказываются различными.

Проявление этих различий называют дисперсией, а сами системы — диспергирующими.

Рис. 210. Принципиальная схема спектрального прибора

Разложение излучения в спектр. В экспериментах по изучению спектров обычно используют призму или дифракционную решетку. Принципиальная схема простейшего спектрального прибора показана на рис. 210. Щель на которую падает исследуемое излучение, находится в фокальной плоскости линзы Эта часть прибора называется коллиматором. Выходящий из линзы параллельный пучок света падает на призму Вследствие дисперсии света в веществе призмы свет разных длин

волн выходит из призмы под разными углами. В фокальной плоскости линзы помещается экран или фотопластинка, на которой фиксируется приходящее излучение. Линза фокусирует параллельные пучки лучей, и в результате образуются изображения входной щели в разных местах экрана для разных длин волн.

Идеальным был бы такой спектральный прибор, на выходе которого распределение энергии падающего излучения определялось бы только спектральным составом излучения и не зависело бы от конструкции прибора. Но любой реальный спектральный прибор всегда вносит искажения. Идеальный прибор при падении монохроматического излучения давал бы на выходе единственную бесконечно узкую спектральную линию. Однако в реальном приборе на выходе вместо узкой линии получается некоторое распределение освещенности, характеризуемое контуром определенной формы. Этот контур имеет конечную ширину, что ограничивает способность прибора разделять две близко расположенные спектральные линии.

Дифракция света на решетке. В наиболее совершенных спектральных приборах в качестве диспергирующего элемента используются дифракционные решетки. Лучшие дифракционные решетки представляют собой полированные стеклянные или металлические пластины, на которых алмазным резцом нанесены при помощи специальной делительной машины параллельные одинаковые штрихи, расположенные на строго одинаковых расстояниях друг от друга.

Рис. 211. К объяснению действия дифракционной решетки

Действие дифракционной решетки можно понять, рассматривая падение плоской монохроматической волны на регулярную периодическую структуру, состоящую из чередующихся параллельных друг другу щелей одинаковой ширины расположенных на одинаковом расстоянии а друг от друга (рис. 211). Сумма а является периодом этой структуры и называется постоянной решетки

В каждой точке Р на экране в фокальной плоскости линзы соберутся те лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под определенным углом 9 к направлению падающей волны. Поэтому освещенность в точке Р определяется результатом интерференции вторичных волн, распространяющихся как от одной щели, так и от разных щелей. Колебание в точке Р, вызываемое вторичными волнами от одной щели, было рассмотрено в предыдущем параграфе. Поэтому мы можем считать это колебание известным и для нахождения результирующего колебания сложить колебания от всех щелей с учетом сдвига по фазе между ними.

Главные максимумы. Легко найти те направления, распространяясь по которым вторичные волны от всех щелей будут приходить в точку Р в фазе и усиливать друг друга. Так будет, если разность хода I между вторичными волнами, идущими из эквивалентных точек соседних щелей, равна целому числу длин волн (см. рис. 211):

В точках на экране, где собираются лучи, распространяющиеся под углами удовлетворяющими условию (1), расположены так называемые главные максимумы дифракционной картины.

А какой вид имеет дифракционная картина между главными максимумами? Чтобы выяснить это, возьмем определенную решетку, имеющую большое число периодов, и рассмотрим, как будет меняться освещенность на экране при постепенном переходе от главного максимума нулевого порядка к главному максимуму первого порядка

Рис. 212. Векторные диаграммы для нахождения результирующего колебания в точке Р

Для нахождения амплитуды результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм. При векторы изображающие колебания от разных щелей, параллельны друг другу и при сложении дадут вектор длина которого в раз больше длины вектора и равна амплитуде колебаний в главном максимуме. По мере увеличения угла между колебаниями от соседних щелей появляется одинаковый сдвиг по фазе так что одинаковые по величине соседние векторы повернуты относительно друг друга на угол . В результате получается ломаная линия, вписанная в окружность (рис. 212а).

Если эта ломаная линия окажется замкнутой, то амплитуда результирующего колебания обратится в нуль, что приводит к полной темноте в соответствующих точках экрана. Замыкание ломаной линии из векторов А; происходит при выполнении условия

Значение соответствует разности хода между пучками от первой и последней (т. е. ) щели, равной одной длине волны X. Значение соответствует разности хода, равной . Значение в формуле (2) соответствовало бы разности хода между двумя пучками от соседних щелей, равной длине волны X. Но это, как видно из формулы (1), есть как раз условие главного максимума

первого порядка. Поэтому между главными максимумами нулевого и первого порядков располагаются минимумов. Угловое положение этих минимумов определяется из соотношения (2) при учете, что сдвиг по фазе Ц) между пучками от двух соседних щелей выражается через разность хода I между ними следующим образом (см. рис. 211):

Подставляя (3) в формулу (2), получаем условие для нахождения направлений на минимумы

Положения минимумов между главными максимумами первого и второго порядков даются той же формулой (4), в которой к уже пробегает значения от до Очевидно, что между минимумами располагаются максимумов, которые в отличие от главных называются побочными. Эти максимумы возникают, когда ломаная линия на векторной диаграмме, образованная векторами частично налагаясь сама на себя, оканчивается в верхней точке окружности, так что замыкающий ее вектор результирующего колебания проходит по диаметру окружности.

На рис. 2126 показана векторная диаграмма, соответствующая направлению на первый побочный максимум, расположенный рядом с главным. С помощью рисунка легко видеть, что при большом числе штрихов амплитуда колебаний в этом максимуме связана с амплитудой колебаний в главном максимуме соотношением Пропорциональная квадрату амплитуды освещенность будет в центре первого побочного максимума почти в 25 раз меньше, чем в центре главного. Остальные побочные максимумы будут еще слабее.

Распределение дифрагировавшего света по максимумам разных порядков. Как мы видели, амплитуда колебаний в главном максимуме в раз больше амплитуды колебаний, создаваемых в этой точке вторичной волной от одной щели. Но амплитуда колебаний от одной щели зависит от угла и определяется формулой (5) предыдущего параграфа. Поэтому амплитуды результирующего колебания в главных максимумах разных порядков различны. Картина распределения освещенности на экране показана на рис. 213 для дифракционной решетки, содержащей щели, причем ширина щели в три раза меньше периода Огибающая главных максимумов соответствует распределению освещенности в дифракционной картине от одной щели (см. рис. 209).

Легко видеть, что главный максимум определенного порядка пропадает, если его положение совпадает с каким-нибудь минимумом дифракционной картины от одной щели. Сравнивая условие

определяющее главный максимум решетки, с условием минимума в дифракционной картине от одной щели видим, что условие исчезновения главного максимума га-го порядка можно записать в виде

Здесь к не может принимать значения, равного ибо при этом т. е. решетки уже нет. На рис. поэтому отсутствует главный максимум третьего порядка. Таким образом, распределение энергии падающей на решетку плоской монохроматической волны по главным дифракционным максимумам разных порядков зависит от отношения а в общем случае определяется структурой одного периода решетки.

Положение главных дифракционных максимумов, определяемое формулой (1), при данной длине волны X зависит только от периода решетки Оно не зависит ни от полного числа штрихов решетки ни от структуры каждого отдельного периода решетки. При увеличении полного числа штрихов главные максимумы, оставаясь на прежних местах, становятся все резче и резче, так как между ними появляется все большее и большее число примерно равноотстоящих побочных максимумов.

Мы видим, что при использовании дйфракционной решетки в качестве диспергирующего элемента спектрального прибора при падении монохроматической волны получается не одна спектральная линия, а набор главных максимумов конечной ширины. Если падающее излучение содержит свет нескольких длин волн то главный максимум нулевого порядка для всех X будет в одном и том же месте при а положение главных максимумов первого, второго и т. д. порядков для разных длин волн будет различным в соответствии с формулой (1). Поэтому различают создаваемые решеткой спектры первого, второго и более высоких порядков.

Разрешающая способность решетки. Одной из важнейших характеристик дифракционной решетки является ее разрешающая способность, которая характеризует возможность разделить в

падающем излучении две близкие длины волны к и к Разрешающей способностью называется отношение к к минимально возможному значению А к, т. е. Считается, что две линии спектра, создаваемого решеткой, различимы, если главный максимум порядка для длины волны подходит к главному максимуму для длины волны к не ближе, чем ближайший минимум для к (рис. 214). Этот условный критерий разрешимости спектральных линий был предложен Дж. Рэлеем. При выполнении критерия Рэлея налагающиеся дифракционные картины образуют максимум с небольшим провалом посредине (рис. 214), что воспринимается глазом по контрасту как наличие темного промежутка между максимумами для длин волн к и к

Положение ближайшего к главному максимуму минимума для длины волны к определяется, в соответствии с формулой (4), соотношением

Для положения главного максимума для длины волны к согласно формуле (1), можно написать

Рис. 214. Критерий Рэлея разрешимости спектральных линий

При выполнении критерия Рэлея левые части (6) и (7) совпадают. Поэтому

Разрешающая способность дифракционной решетки тем выше, чем больше в ней штрихов и чем выше используемый порядок спектра Наибольший порядок спектра пгаах, который можно получить с данной решеткой, ограничивается условием

Чтобы решетка давала спектр хотя бы первого порядка, необходимо, чтобы период решетки был не меньше длины волны к. Современные решетки имеют до 1200 штрихов на 1 мм и разрешающую способность в спектре первого порядка до 100 000.

Щели конечной ширины в опыте Юнга. Вернемся к опыту Юнга, рассмотренному в § 30. Напомним, что этот опыт был рассмотрен в приближении точечных вторичных источников, которое применимо тогда, когда размер отверстий много меньше длины волны. Как мы видели, вместо точечных отверстий можно использовать бесконечно узкие параллельные щели, и вид интерференционной картины в центре экрана при этом не меняется.

Однако в реальном опыте щели всегда имеют конечную ширину. Теперь после того, как мы познакомились с действием дифракционной решетки, легко выяснить, как изменяется интерференционная картина в опыте Юнга при переходе к щелям конечной ширины.

Рис. 215. Распределение освещенности в опыте Юнга в случае, когда ширина щели в пять раз меньше расстояния между центрами щелей

Для этого достаточно сообразить, что щели в опыте Юнга представляют собой дифракционную решетку, у которой полное число штрихов равно двум. Правда, в опыте Юнга отсутствует линза, но наблюдаемая на удаленном экране интерференционная картина практически не отличается от той, которая наблюдается в фокальной плоскости линзы для решетки с двумя щелями, ибо приходящие в одну и ту же точку удаленного экрана лучи от двух близких щелей почти параллельны. На рис. 215 показано распределение освещенности на удаленном экране в опыте Юнга в случае, когда ширина щели в пять раз меньше расстояния между центрами щелей Штриховая линия соответствует распределению освещенности экрана от одной щели.

Задачи

1. Две дифракционные решетки одного размера имеют разное полное число штрихов Которая из них имеет более высокую разрешающую способность в спектре первого порядка и в спектре максимального порядка?

Ответ: В спектре первого порядка разрешающая способность выше у той решетки, которая имеет большее полное число штрихов. В спектре максимального для данной решетки порядка птзх разрешающая способность зависит не от полного числа штрихов а только от полного размера решетки.

2. Определите направление на главный дифракционный максимум порядка, если монохроматический свет длины волны X падает на решетку с постоянной под углом а.

Ответ: При наклонном падении плоской волны под углом а разность хода соседних пучков и положение главных максимумов разных порядков определяется условием .

• Что имеют в виду, когда говорят о спектральном составе излучения?

• Объясните принцип действия спектрального прибора, схема которого показана на рис. 210. Каково назначение его отдельных элементов?

• Чем отличается спектр излучения, наблюдаемый с помощью реального спектрального прибора, оттого, что должен был бы дать идеальный прибор?

• Как устроена дифракционная решетка? Какая величина называется постоянной решетки?

• Поясните применение векторных диаграмм для определения положения максимумов и минимумов дифракционной картины.

• Покажите с помощью векторной диаграммы, что соседний с главным максимумом побочный максимум имеет в 25 раз меньшую освещенность.

• Каким условием определяется наибольший порядок спектра ?

• Какую максимальную длину волны можно наблюдать в спектре решетки с периодом

Если число щелей дифракционной решетки увеличить вдвое, то интенсивность главных максимумов возрастет в четыре раза. Основываясь на энергетических соображениях, объясните, почему при этом ширина главных максимумов уменьшается в два раза.

• При каком отношении ширины щели к постоянной решетки в дифракционной картине будет отсутствовать главный максимум третьего порядка?

• Объясните, как используется критерий Рэлея при выводе формулы для разрешающей способности дифракционной решетки.

Читайте также: