Что является областью определения производной кратко

Обновлено: 07.07.2024

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции .

1) ( x + 13 ) ′ = lim Δ x → 0 ( x + Δ x + 13 ) − ( x + 13 ) Δ x = lim Δ x → 0 Δ x Δ x = lim Δ x → 0 1 = 1 ;

1 x ′ = lim Δ x → 0 1 x + Δ x − 1 x Δ x = lim Δ x → 0 x x x + Δ x − x + Δ x x x + Δ x Δ x = = lim Δ x → 0 − Δ x x x + Δ x Δ x = lim Δ x → 0 − 1 x x + Δ x = − 1 x 2 .

Физический (механический) смысл производной: если \(s(t)\) — закон прямолинейного движения тела, то производная показывает мгновенную скорость в момент времени \(t\):

Геометрический смысл производной: если к графику функции \(y=f(x)\) в точке с абсциссой \(x=a\) можно провести касательную, не параллельную оси \(y\), то f ′ ( a ) — угловой коэффициент касательной:

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Содержание

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде

f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)

~A

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

f

Общепринятые обозначения производной функции y=f(x)
в точке x_0

f

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

f \in \mathcal<D></p> <p>(x_0)\Leftrightarrow\exists f

Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление

при

Замечания

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой


Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

f_l(x) \equiv f(x_0) + f

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

f^<(0)></p> <p>(x_0) \equiv f(x_0).

Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением

f^<(1)></p> <p>(x_0) \equiv f

Пусть теперь производная -го порядка " width="" height="" />
определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда

f^<(n+1)></p> <p>(x_0) = \left(f^\right)

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

или <\partial x^2>= \frac<\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)><\partial x^2>" width="" height="" />
или <\partial x \partial y>= \frac<\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)><\partial x \partial y>" width="" height="" />

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

~u

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

f^<(n)></p> <p>(x_0)= \frac(x_0) = \overset <\overbrace<\cdot\cdot . \cdot>^3>>f(x_0) = \mathrm^n\!f(x_0) = f<\underbrace<_<xx \ldots x>>_3>>\vert_.

Примеры

где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.

Правила дифференцирования

x=x(t),\\y=y(t),\end\; \; t\in\left[T_1; T_2 \right] \right." width="" height="" />
, то

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

y=f(x)^<g(x)></p> <p>

\ln y = g(x) \ln f(x)

\frac <y

y

y

■

Таблица производных некоторых функций

Фиксируем (f)" width="" height="" />
, придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: )^\alpha -1)" width="" height="" />
, т.о См.\frac>=\alpha \cdot x^" width="" height="" />

Фиксируем (f)" width="" height="" />
, придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: -a^x=a^x(a^-1)" width="" height="" />
, т.о См.\frac>=a^x\cdot\ln " width="" height="" />

Производная вектор-функции по параметру

\mathbf<r></p> <p>Определим производную вектор-функции (t)
по параметру:

\frac<d></p> <p>\mathbf(t)=\lim_\frac<\mathbf(t+h) - \mathbf(t)>
.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

  • (\mathbf(t)+\mathbf(t))=\frac+\frac" width="" height="" />
    — производная суммы есть сумма производных.
  • (f(t)\mathbf(t))=\frac\mathbf(t) + f(t)\frac" width="" height="" />
    — здесь — дифференцируемая скалярная функция.
  • (\mathbf(t)\mathbf(t))=\frac\mathbf(t) + \mathbf(t)\frac" width="" height="" />
    — дифференцирование скалярного произведения.
  • [\mathbf(t)\mathbf(t)]=\left [\frac\mathbf(t)\right ] + \left [\mathbf(t) \frac\right]" width="" height="" />
    — дифференцирование векторного произведения.
  • (\mathbf(t),\mathbf(t),\mathbf(t))=\left (\frac,\mathbf(t),\mathbf(t)\right) + \left (\mathbf(t),\frac,\mathbf(t)\right) + \left (\mathbf(t), \mathbf(t), \frac\right)" width="" height="" />
    — дифференцирование смешанного произведения.

Рассмотрим некоторую функцию в двух точках и : и .
Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: называется приращением функции.


Производной функции в точке называется предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (формула 1).

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке . Производная функции обозначается (формула 2)

2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции .



Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.


Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.


Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
В этом и состоит геометрический смысл производной.

3. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
Отсюда следует: .
Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной(формула 4).

4. Механический смысл производной

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: .
Её средняя скорость () находится по формуле: . При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5

Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что


Скорость – это производная координаты по времени: .
В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: .

5. Дифференциал и его связь с производной
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции – это произведение производной и приращения аргумента (формула 6).


Геометрический смысл дифференциала ясен из рисунка 2.



Здесь . Из можно записать: , где β – угол наклона касательной АС к оси ОХ. Но если , то . Дифференциал CD равен сумме отрезков BС и BD (приращение функции). Но, если , то и отрезок . Значит, дифференциал отличается от производной на бесконечно малую величину.

6. Основные свойства производных и дифференциалов. Производная сложной функции
6.1 Правила дифференцирования функций. Таблица производных простейших элементарных функций.
Если , то , .
Если и - дифференцируемые функции в точке , то можно записать:

Таблица производных простейших элементарных функций

1. ,
где С – постоянное число
2.
Частные случаи:


3.
Частный случай

4.
Частный случай

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

6.2 Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией: . Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h также имеет производную в точке , вычисляемую по формуле:

6.3 Вторая производная

Если производная функции дифференцируема в точке , то её производная называется второй производной функции в точке , и обозначается .

6.4 Правило Лопиталя

Пусть при для функций и, дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия. (формулы 7).

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: и . Рассмотрите примеры.


При неопределённостях другого типа: , , , , нужно проделать предварительно ряд тождественных преобразований, чтобы привести их к какой-то из двух неопределённостей: либо , либо . После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

: пусть ,, тогда данная неопределённость приводится к типу посредством следующего преобразования:

: пусть , , тогда данная неопределённость приводится к типу или с помощью преобразований:

остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования:

Если же после применения правила Лопиталя неопределённость типа или осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если .

7. Применение производной в исследовании функций
7.1 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной (рисунок 3). Если же функция разрывная в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

7.2 Достаточные признаки монотонности функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале. Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

7.3 Теорема Дарбу

Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.Рассмотрите примеры


Следовательно, функция на рисунке 4а возрастает на интервалах и и убывает на интервале . Точка не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое неограниченно возрастает. Поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ).

7.4 Критические точки

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис.5а,б).


В точках , (рис.5a) и (рис.5b) производная равна 0. В точках , (рис.5б) производная не существует. Но все они – это точки экстремума.

7.5 Необходимое условие экстремума

Если - точка экстремума функции и производная существует в этой точке, то .

Эта теорема – необходимое условие экстремума. Если же производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция всегда имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции равна 0 при , но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).
С другой стороны, функция , представленная на рис.3, имеет минимум в точке , но в этой точке производной не существует.

7.6 Достаточные условия экстремума

Если производная при переходе через точку меняет свой знак с плюса на минус, то - точка максимума.
Если производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

7.7 План исследования функции
Для построения графика функции нужно:


1) найти область определения и область значений функции;
2) установить, является ли функция чётной или нечётной;
3) определить, является ли функция периодической или нет;
4) найти нули функции и её значения при ,
5) найти интервалы знакопостоянства;
6) найти интервалы монотонности;
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках;
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек и при больших значениях модуля x.

Пример . Исследование функции , построение графика
1) область определения (x – любое действительное число); область значений , так как – многочлен нечётной степени;
2) функция не является ни чётной, ни нечётной (докажите самостоятельно);
3) – непериодическая функция (докажите самостоятельно);
4) график функции пересекается с осью Y в точке , так как .
Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: .
Один из его корней очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: . Оно получено делением многочлена на двучлен . Легко проверить, что два других корня: и . Таким образом, нулями функции являются:-2, -1 и 1.


5) Это означает, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак. Этот же результат может быть получен разложением многочлена на множители:
. Затем надо оценить знак произведения методом интервалов.
6) Производная не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа); нули – это корни уравнения: .
Эти корни: .
Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности: .
Полученные результаты сведены в таблицу. В ней стрелками обозначены выводы о возрастании функции или её убывании (наклонная стрелка вверх или вниз) внутри соответствующего интервала.

ana7i

Теперь мы располагаем полной информацией для построения графика данной функции (рис. 8).

7.8 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Функция называется выпуклой на интервале , если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .
Функция называется вогнутой на интервале , если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .

7.9 Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции

Пусть функция дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале , тогда: если для любого , то функция является вогнутой на интервале ; если для любого , то функция является выпуклой на интервале .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба существует вторая производная , то .
Пример : Рассмотрим график функции . Эта функция является вогнутой при и выпуклой при .
В самом деле, , но при и при , следовательно, при и при , откуда следует, что функция является вогнутой при и выпуклой при . Тогда является точкой перегиба функции .

Материалы для технологии "Поле знаний" по теме "Производная" предоставлены Шевляк А.Г.

Определения производной функции и лемма об односторонних производных

Определение производной функции в точке. Примеры вычисления производных, используя определение. Односторонние производные справа и слева. Лемма об односторонних производных.

Определение производной

Производная функции в точке Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x .
Производной f′ ( x ) функции f ( x ) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последний стремится к нулю:
(1) .
Приращением аргумента функции в точке x называется разность значений аргумента в некоторой точке и точке x : .
Приращением функции в точке x называется разность значений функции в некоторой точке и точке x : .
Дифференцирование – это процесс вычисления производной.

В определении (1), приращение аргумента является одной переменной, хотя ее обозначение состоит из двух букв: и . Обычно переменную принято обозначать одной буквой или буквой с одним или несколькими индексами. Но приращение в математическом анализе настолько часто встречается, что его обозначают с небольшим нарушением правил. Приращение функции также является одной переменной.

В приведенном выше определении, является независимой переменной, а – зависимой. зависит от двух переменных. Если использовать выражение , то приращение функции зависит от переменных x и . Если использовать , то зависит от x и . Но когда мы вычисляем производную в заданной точке x , то считаем, что x является постоянной. Тогда является функцией, зависящей только от одной переменной . Таким образом задача о нахождении производной в точке x сводится к задаче о вычислении предела от функции , зависящей от одной переменной при , или от функции , зависящей от одной переменной при .

В правой части (1) мы сделали замену, и перешли от переменной к переменной . Тогда . При ,
.

После того, как мы нашли производную в заданной точке, то x уже можно считать не фиксированным числом, а переменной. То есть предел (1) можно рассматривать как функцию от x .

Еще раз подчеркнем, что выражение является функцией от двух переменных: x и . А выражение , полученное после вычисления предела, зависит только от одной переменной x .

Обозначение производной

Обозначение Лагранжа

Наиболее популярным является обозначение Лагранжа. Производную функции обозначают как и саму функцию, добавляя штрих после ее характеристики: . Если функция задана алгебраическим выражением, то это выражение заключают в скобки, и ставят знак штриха справа за закрывающей скобкой: . При этом производная также является функцией от той же переменной x , что и . Правда область определения производной может не совпадать с областью определения функции, а является ее подмножеством.

Независимую переменную производной обозначают так же, как и независимую переменную функции. В нашем случае это x .

Характеристику производной обозначают тем же символом, что и характеристику функции, добавляя штрих справа: .

Зависимую переменную производной обозначают аналогично характеристике, добавляя штрих к обозначению зависимой переменной функции. Так, для примера (2), это будет : .

Если функция зависит от нескольких переменных, например
(3) ,
но все кроме одной считают постоянными, то к характеристике производной добавляют нижний индекс, обозначающий ту переменную, по которой вычисляют производную. При этом знак штриха может быть опущен. Например, следующие два обозначения эквивалентны: . Здесь подразумевается, что переменные и мы считаем постоянными. Тогда в данном контексте, является функцией от одной переменной . К зависимой переменной производной также добавляют нижний индекс переменной, по которой выполняется дифференцирование:
.
Подобные производные функций от нескольких переменных называются частными производными. Детально они будут рассмотрены позже.

Нижний индекс добавляют и при вычислениях, связанных со сложными функциями. Пусть, например, функцию можно представить как сложную: , составленную из двух функций: и . При этом множества значений функций и совпадают. Поэтому их удобно обозначить одной переменной y . Тогда производную от y , выраженную через переменную x , обозначают как :
.
А производную от y , выраженную через переменную , обозначают как :
.

Обозначение производной по времени в физике

В механике и физике, производную по времени обозначают не штрихом, а точкой над зависимой переменной. Обычно время обозначают буквой t . Тогда
.

Обозначение Лейбница

В способе Лейбница, зависимую переменную обозначают в форме отношения дифференциалов:
.
Этот способ удобен, поскольку указывает, по какой переменной ведется дифференцирование. Такой способ применяется только для функций от одной переменной. Для функций от многих переменных используют обозначение частной производной: .

Иногда в форме дифференциалов обозначают характеристику производной, добавляя справа аргумент:
.
Однако этот способ скорее неудачен, и может привести к путанице.

Обозначение Коши

Также, для обозначения производной, используют обозначение Коши:
.
Но мы не будем им пользоваться.

Существование производной

Рассмотрим вопрос о существовании предела, который используется при вычислении производной, при заданном значении x :
(4) .
Здесь могут возникнуть три случая:
1) в точке x существует конечный предел (4);
2) существует бесконечный предел или ;
3) предела (4) не существует.

1) Если существует конечный предел (4), то говорят, что функция имеет производную в точке x .

2) Если в некоторой точке x существует бесконечный предел (4), то говорят, что производной в этой точке не существует. Это согласуется с определением, ⇑ в котором указано, что производной называется конечный предел. Однако при этом говорят, что функция f имеет в точке x бесконечную производную, равную или . Здесь стоит обратить внимание на различие в определении предела и производной. Возможна ситуация, когда предел (4) существует (равный бесконечности), но при этом производная не существует (хотя существует ее значение, равное бесконечности).
См. пример ⇓.

3) Если предела (4) не существует, то функция не имеет производной в точке x .

Производные справа и слева

Определение

Правая (левая) производная функции f в точке x Пусть функция f ( x ) определена в правой окрестности точки x . Тогда правой производной функции f в точке x называется правый предел
.
Соответственно, если функция определена в левой окрестности x , то левой производной функции f в точке x называется левый предел
.
Правую (левую) производную также называют производной справа (слева) в точке x , или правосторонней (левосторонней) производной в точке x .

Лемма об односторонних производных

Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны: . При этом
.

Пусть существует производная функции в точке x . Это означает, что она определена в некоторой окрестности точки x , и существует конечный предел функции при :
.
Но тогда существуют правая и левая окрестности точки x , на которых определена. По теореме об односторонних пределах, существуют равные правый и левый пределы:
.
Отсюда следует, что в точке x существуют односторонние производные
.

Пусть теперь, в точке x , существуют равные односторонние производные:
.
Это означает, что существуют правая и левая окрестности точки x , в которой определена . И существуют односторонние равные пределы:
.
Отсюда следует, что существует двусторонняя окрестность точки x , на которой определена . И по теореме об односторонних пределах, существует двусторонний предел:
.
Это означает, что в точке x существует производная
.

Следствие

Если функция имеет в точке x не равные односторонние производные, то она не имеет производной в этой точке.

Действительно, допустим противное. Пусть функция имеет в точке x не равные односторонние производные, но при этом имеет производную в этой точке. Тогда, согласно лемме об односторонних производных, она имеет в этой точке равные производные слева и справа, что противоречит предположению.

Примеры вычисления производной, используя определение

Все примеры Здесь и далее мы приводим подробные решения примеров, в которых нужно вычислить производную функции , используя определение производной ⇑.
решение ⇓ ; ⇓ ; ⇓ .

Пример

Все примеры ⇑ Найти производную функции , используя определение производной.

Функция определена для всех x . Поэтому она определена в любой окрестности любой точки x . Используем определение (1). Считаем, что x – фиксированное число, то есть что его значение задано. Найдем приращение функции в точке x :

.
Находим отношение приращения функции к приращению ее аргумента:
.
Находим предел функции , зависящей от переменной . При этом считаем, что x является фиксированным, заданным числом:
.

Итак, мы нашли производную:
.
Поскольку вычисленный нами предел существует, и является конечным числом для всех x , то функция имеет производную для всех значений аргумента x .

Пример бесконечной производной +∞

Все примеры ⇑ Найдем производную функции .

Производная функции в точке x = 0 равна плюс бесконечности


Производная функции в точке x = 0 равна плюс бесконечности.

Функция определена для всех x . Найдем отношение приращения функции к приращению ее аргумента в точке x :
.
Применим формулу . Тогда
;
(5) .
Считаем, что x является фиксированным числом. Тогда отношение является функцией от одной переменной : . При она определена для всех . При она определена для всех .

Пусть . Тогда:
.
Пусть . Подставим в (5) :
.
Поскольку , то
.

Таким образом мы нашли, что функция имеет производную для всех . При функция не имеет производной, она равна .

Пример

Все примеры ⇑ Найдем производную функции . Покажем, что несмотря на то, что функция определена для всех x , ее производная в точке не существует.

Функция y = |x| не имеет производной в точке x = 0


Функция y = |x| не имеет производной в точке x = 0 .

Функция определена для всех значений аргумента x . Поэтому она определена в любой окрестности произвольной точки x .

3. Рассмотрим точку . В ней
.
Найдем производную справа в точке . При этом ,
.
Теперь найдем производную слева в точке . В этом случае ,
.

Итак, мы нашли, что односторонние производные в точке существуют, но они не равны друг другу:
.
Согласно следствию леммы об односторонних производных, производной функции в точке не существует.

;
;
.
В точке производная не существует.

Использованная литература:
Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, МФТИ, 2018.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Читайте также: