Что такое шар кратко

Обновлено: 05.07.2024

Шаровой (сферической) границей шара – поверхностью, является геометрическое место точек в пространстве, которые равноудалены от одной точки O, называющейся центром сферической поверхности.

Шаровой ( сферической ) – другими словами границей шара – поверхностью является геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, которые равноудалены от одной точки O , называющейся центром сферической поверхности .

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Т.о., точками сферы оказывается каждая точка шара, которая удалена от центра на расстояние, которое равно радиусу. Каждый отрезок, который соединяет центр шара и точку на шаровой поверхности, тоже называют радиусом .

Отрезок, который соединяет 2 точки шаровой поверхности и который проходит сквозь центр шара, называется диаметр . Любой диаметр соответствует 2-м радиусам. Концы всякого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Эта точка О называется центром сферы , а расстояние AO , в свою очередь, называется радиусом сферы .

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

Замкнутый шар с центром в x₀ и радиусом r можно выразить так:

Свойства шара.

Объём шара в 1,5 раз меньше, чем объём описанного вокруг этого шара цилиндра, а поверхность шара в 1,5 раз меньше полной поверхности этого цилиндра:

S_цил и V_цил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Части шара.

Часть шара (сферы), которая отсекается от него любой плоскостью (ABC), является шаровым (сферическим) сегментом . Круг ABC является основанием шарового сегмента. О трезок MN перпендикуляра, который проведен из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, является высотой шарового сегмента. Точка M является вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, которая заключена между 2-мя плоскостями, которые параллельны ABC и DEF, которые пересекают сферическую поверхность, является шаровым слоем . Кривая поверхность шарового слоя является шаровым поясом . Круги ABC и DEF – основания шарового пояса . Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота . Часть шара, которая ограничена кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB) и конической поверхностью OABC , основанием у нее является основание сегмента (ABC) , а вершиной – центр шара O , называется шаровым сектором.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

Значит, сумма объёмов (V') пирамид выразим формулой:

Сумма (S') очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V') приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

Используя выражение S = 4πR 2 , вывели формулу:

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства шара и сферы, а также формулы, с помощью которых можно найти площадь поверхности и объем данных геометрических фигур.

Определение шара и сферы

Шар – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на расстоянии не больше заданного от точки, называемой центром шара (на рисунке ниже – это точка O). Другими словами, это совокупность точек, ограниченных сферой.

Шар образуется путем вращения круга вокруг своего диаметра (оси) на 180° или полукруга – на 360°.

Сфера – это поверхность шара. Образуется путем вращения окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности – на 360°.

Различают два вида шаров:

замкнутый – включает сферу;
открытый – исключает сферу.

Радиус шара (сферы) – расстояние между центром и точками, лежащими на его поверхности. На рисунке выше обозначен буквой R.

Диаметр шара (сферы) – отрезок, проходящий через центр шара и соединяющие две противоположные точки на его поверхности. Совпадает с осью шара, обычно обозначается буквой d.

Полюсы шара (сферы) – точки A и B, расположенные на концах его диаметра.

Свойства шара и сферы

Свойство 1

Любое сечение шара плоскостью является кругом.

Свойство 2

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

Свойство 3

Все точки сферы равноудалены от ее центра.

Свойство 4

Сфера имеет самый большой объем среди всех фигур в пространстве, имеющих одинаковую площадь поверхности.

Свойство 5

Через две любые диаметрально противоположные точки (максимально отдаленные друг от друга точки на окружности) можно провести неограниченное количество кругов для шара или окружностей для сфер радиусом, равным радиусу шара/сферы.

Примечание: если точки не диаметрально противоположны, то провести можно только один круг (окружность).

Части шара

Сегмент шара – это часть шара, отсекаемая плоскостью. Иногда называется шаровым сегментом. На рисунке ниже окрашен в зеленый цвет.

Срез шара – часть шара между двумя параллельными плоскостями, пересекающими его. Также может называться шаровым слоем. На рисунке ниже закрашен желтым.

Сектор шара – состоит из шарового сегмента и конуса, вершина которого находится центре шара, а основание совпадает с основанием сегмента. На рисунке ниже сектор залит оранжевым.

Формулы для шара/сферы

В формулах ниже используется как радиус (R), так и диаметр фигур (d). Число π в расчетах обычно округляется до двух знаков после запятой и приблизительно равняется 3,14.

Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

S = 4 π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами ( x ₀, y ₀, z ₀) в декартовой системе координат:

( x - x ₀) 2 + ( y - y ₀) 2 + ( z - z ₀) 2 = R 2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x ₀, y ₀, z ₀):
x = x ₀ + R · sin θ · cos φ y = y ₀ + R · sin θ · sin φ z = z ₀ + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m r такого круга можно найти по формуле:

где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

V =	h 2 π	(3R - h )
	3

Определение. Срез шара - это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними.

Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r .

S = π R(2 h + √ 2 h R - h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O₁H (h) через радиус шара OH (R):

V =	2 π R 2 h
	3

Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.

Определение. Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.

Обратите внимание на предметы, изображенные на рисунке:

Давайте подумаем, что же их может объединять?

Очевидно, что цвет и фактура у этих объектов различна, но если вы обратите внимание на форму, то заметите явное сходство.

В математике (геометрии) важную роль при описании и представлении тела играет его геометрическая форма.

Все представленные объекты на рисунке объемные тела (т.е. их в реальности можно посмотреть и потрогать со всех сторон).

Отметим еще одну важную общую черту: у всех изображенных объектов отсутствуют углы (т.е. в действительности они шарообразной, или еще называют: сферической формы, их свободно можно покатать в любые стороны).

Давайте же разберемся, что такое шар, а что называют сферой.

Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, какими они свойствами обладают.

Узнаем, как определить площадь сферы, объем круга и рассмотрим примеры решения задач.

Шар и сфера

Шар - это множество точек пространства, равноудаленных от некоторой заданной точки - центра шара.

Сфера - это поверхность шара (оболочка). Сфера внутри полая.

Примеры сфер: мыльный пузырь, мяч, глобус. Эти тела состоят из оболочки, но внутри пустые.

Можно сказать, что шар - это геометрическое тело, ограниченное сферой (шаровой поверхностью).

Шар внутри заполнен.

Примеры шаров: арбуз, пушечное ядро, бильярдный шар. Эти тела заполненные внутри.

Центр шара (сферы) - это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки, находящейся на шаровой поверхности.

Центр шара (сферы) обозначают обычно заглавной буквой О.

Сфера и шар пространственные фигуры, но определяются такими же элементами, что и окружность, и круг на плоскости.

Радиус шара- это отрезок, соединяющий точку поверхности шара (шаровой поверхности) с его центром.

Радиус обозначается строчной латинской буквой r или заглавной R.

Для шара можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет поверхность шара, при этом все эти радиусы равны.

Диаметром шара называют отрезок, проходящий через центр шара и соединяющий две точки шаровой поверхности.

Обычно диаметр обозначают строчной латинской буквой d или заглавной D.

По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.

d = 2r

Следовательно, радиус - это половина диаметра.

r = d : 2

Точки сферы, являющиеся концами диаметра сферы, называют диаметрально противоположными.

Для сферы характерны те же элементы, которые используют для описания шара.

При построении изображений пространственных (объемных) фигур на листе бумаги или иной плоской поверхности, приходится рисовать рисунок так, чтобы он казался объемным- для этого линии, которые не видны глазу человека, изображают штрихпунктирной линией.

Рассмотрим, как выглядят шар, сфера и элементы, их характеризующие, на плоскости.

Сфера и шар- это фигуры вращения.

Подобно секущей прямой для круга, для шара существует секущая плоскость.

Рассмотрим, как могут быть расположены по отношению друг к другу плоскость и шар (сфера) в пространстве:

1. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости больше длины радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Отрезок ОМ = r - это радиус шара.

Отрезок ОА = m - это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости

Для данного случая m > r

2. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости равно длине радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость имеют единственную общую точку.

Отрезок ОМ = r - это радиус шара.

Отрезок ОА = m - это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости

Для данного случая m = r

Точка А общая для плоскости сечения и шара

3. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости меньше длины радиуса, то плоскость пересекает шар (сферу).

Отрезок ОМ = r - это радиус шара.

Отрезок ОА = m - это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости \(\mathbf\)

Для данного случая m r₁

Сечения шара (сферы), удаленные на равные расстояния от центра, имеют равные радиусы:

Сечение шара с радиусом сечения r₂ и сечение шара с радиусом сечения r₃ удаленные на равные расстояния от центра шара, имеют равные радиусы (r₂ = r₃)

Сфера и шар- фигуры вращения

Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра- оси шара.

Сфера является фигурой вращения, образованной при вращении полуокружности вокруг своего неподвижного диаметра.

АВ- это ось вращения шара (сферы).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Во все времена к шару и сфере относились с большим интересом.

Удивительно совершенные формы шара и сферы издавна привлекали ученых, философов, мыслителей, которые с помощью сферы и шара пытались объяснить гармонию создания и существования окружающего мира.

Так, например, поражало то, что шар имеет точку равновесия в любой точке своей поверхности, в отличие от других пространственных геометрических фигур.

А при равных объемах площадь сферической поверхности меньше площади любого другого отличного по форме геометрического тела.

Многие ученые, философы, астрономы занимались изучением объектов сферической и шарообразной формы и объяснением их свойств.

Позже древнегреческий физик-математик Архимед вычислил площадь поверхности шара, объем шара и его сегментов

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Площадь сферы, объем шара

Если посмотреть вокруг, мы можем заметить множество объектов, имеющих или принимающих форму шара (сферы).

Так, например, падающая микроскопическая капля дождя или капля жидкости, находящаяся в невесомости, принимают форму шара.

Это происходит потому, что давление вокруг жидкости и в самой жидкости примерно равны (т.е. со всех сторон давление на каплю одинаковое), в результате получается шарообразная форма.

Сферической формой обладают мыльные пузыри или пузыри в воде.

Силы поверхностного натяжения стремятся придать мыльному пузырю оптимальную форму, а этой формой и является шар, так как в шарообразной форме воздух внутри пузыря равномерно давит на все участки его внутренней стенки.

Многие ягоды и фрукты, икринки рыбы, жемчужины и др. в природе являются обладателями шарообразных и сферических форм.

Представления о планетах и небесных телах, молекулах и некоторых элементарных частицах в связи с определенными свойствами и поведением сводятся к модели шара и сферы.

Существует множество примеров использования свойств и характеристик шара (сферы) в науке, технике и производстве.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Например, резервуары для хранения легковоспламеняющихся жидкостей, различных видов газа и т.п. имеют сферическую форму.

Шаровая форма емкостей является наиболее экономически выгодной для хранения легковоспламеняющихся продуктов, так как сферическая форма резервуара обеспечивает равномерное распределение напряжения внутреннего давления на стенки металлической сферы, минимизируя опасность взрыва.

Преимущество шаровых резервуаров еще в том, что они имеют минимальную площадь поверхности, по сравнению с цилиндрическими резервуарами такого же объема.

Сферические формы применяют в шаровых подшипниках, используемых для обеспечения свободного вращения, качения, перемещения с минимальным сопротивлением, без последствий износа деталей и их разрушений (например, в автомобилях, бытовой технике, спортивном инвентаре).

Металлические шарики в этом устройстве самый основной элемент, сферическая форма позволяет им вращаться свободно во всевозможных направлениях.

Так как они идеально гладкой сферической формы, то у них очень маленькая площадь контакта, что обеспечивает беспрепятственное вращение.

Подобные свойства шарообразных тел применяется в шариковой ручке.

Она состоит из стержня, откуда поступают густые чернила. На конце рцучкинаходится наконечник (пишущий узел).

Пишущий узел состоит из маленького металлического шарика, который благодаря идеальной гладкой форме (подобно шаровому подшипнику) свободно вращается в разные стороны.

Прикасаясь к бумаге, шарик с попадающими на него чернилами, оставляет след на бумаге.

Еще один распространенный пример сферического тела - это надутый мяч.

Благодаря своей шарообразной форме, обладает хорошими аэродинамическими свойствами.

Мяч хорошо катится, летит в любом направлении на большие расстояния и легко закручивается в разные стороны, позволяя тем самым искривлять траекторию полета.

Благодаря сферической форме у мяча отсутствуют углы и выступы, что снижает риск травм.

Сферических и шарообразных форм в жизни огромное множество, они прекрасно демонстрируют в своих закономерностях и проявлениях законы физики и математики.

Приводя примеры объектов сферической и шарообразной формы, мы много говорили о площади и объеме этих тел.

Давайте посмотрим, как определить площадь поверхности сферы и объем шара.

Площадь поверхности сферы (площадь поверхности шара) находят по формуле:

S- площадь поверхности сферы (шара)

r- радиус сферы (шара)

\(\mathbf<\pi>\)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14

Задача 1

Найдите площадь поверхности сферы, радиус которой равен 8 см.

Решение:

Число \(\mathbf<\pi>\) округлить до десятых.

r = 8 см

Площадь поверхности сферы S - ?

Площадь поверхности сферы, зная радиус сферы, определяют по формуле:

Подставим известные значения радиуса сферы и постоянной величины \(\mathbf<\pi>\), получим

Ответ: S = 793,6 (см 2 ).

Задача 2

Найдите площадь поверхности сферы, диаметр которой равен 6 см.

Решение:

Число \(\mathbf<\pi>\) округлить до десятых.

d = 6 см

Площадь поверхности сферы S - ?

Площадь поверхности сферы, зная диаметр этой сферы, определяют по формуле:

Подставим известные значения радиуса сферы и постоянной величины , получим

Ответ: S = 111,6 (см 2 ).

Объем шара определяется по формуле:

V- объем шара

r- радиус шара

\(\mathbf<\pi>\)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14

Вспомним, что означает r 3

Задача 3

Найдите объем шара, если радиус шара 5 м.

Решение:

Число \(\mathbf<\pi>\) округлить до целых.

r = 5 м

Объем шара V - ?

Объем шара определяется по формуле:

Подставим известные значения радиуса шара и постоянной величины , получим:

Читайте также: