Что такое радиус сферы кратко

Обновлено: 05.07.2024

Шаровой (сферической) границей шара – поверхностью, является геометрическое место точек в пространстве, которые равноудалены от одной точки O, называющейся центром сферической поверхности.

Шаровой ( сферической ) – другими словами границей шара – поверхностью является геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, которые равноудалены от одной точки O , называющейся центром сферической поверхности .

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Т.о., точками сферы оказывается каждая точка шара, которая удалена от центра на расстояние, которое равно радиусу. Каждый отрезок, который соединяет центр шара и точку на шаровой поверхности, тоже называют радиусом .

Отрезок, который соединяет 2 точки шаровой поверхности и который проходит сквозь центр шара, называется диаметр . Любой диаметр соответствует 2-м радиусам. Концы всякого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Эта точка О называется центром сферы , а расстояние AO , в свою очередь, называется радиусом сферы .

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

Замкнутый шар с центром в x₀ и радиусом r можно выразить так:

Свойства шара.

Объём шара в 1,5 раз меньше, чем объём описанного вокруг этого шара цилиндра, а поверхность шара в 1,5 раз меньше полной поверхности этого цилиндра:

S_цил и V_цил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Части шара.

Часть шара (сферы), которая отсекается от него любой плоскостью (ABC), является шаровым (сферическим) сегментом . Круг ABC является основанием шарового сегмента. О трезок MN перпендикуляра, который проведен из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, является высотой шарового сегмента. Точка M является вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, которая заключена между 2-мя плоскостями, которые параллельны ABC и DEF, которые пересекают сферическую поверхность, является шаровым слоем . Кривая поверхность шарового слоя является шаровым поясом . Круги ABC и DEF – основания шарового пояса . Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота . Часть шара, которая ограничена кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB) и конической поверхностью OABC , основанием у нее является основание сегмента (ABC) , а вершиной – центр шара O , называется шаровым сектором.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

Значит, сумма объёмов (V') пирамид выразим формулой:

Сумма (S') очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V') приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

Используя выражение S = 4πR 2 , вывели формулу:

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Определение

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Определение

Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Определение

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Сферу можно получить ещё одним способом - вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

S = 4 π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами ( x ₀, y ₀, z ₀) в декартовой системе координат:

( x - x ₀) 2 + ( y - y ₀) 2 + ( z - z ₀) 2 = R 2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x ₀, y ₀, z ₀):
x = x ₀ + R · sin θ · cos φ y = y ₀ + R · sin θ · sin φ z = z ₀ + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m r такого круга можно найти по формуле:

где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

V =	h 2 π	(3R - h )
	3

Определение. Срез шара - это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними.

Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r .

S = π R(2 h + √ 2 h R - h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O₁H (h) через радиус шара OH (R):

V =	2 π R 2 h
	3

Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.

Определение. Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.

Перед тем, как смело броситься на амбразуру решения задачи по нахождению радиуса сферы, нужно узнать, что вообще такое сфера и шар. Стереометрия говорит нам, что сфера – это поверхность, состоящая из массы точек пространства, которые находятся на одном расстоянии от центра. Эта точка – центр сферы, а радиус сферы (R) – это расстояние, на которое каждая точка удалена от центра сферы. Шар – это тело, которое ограничено поверхностью сферы.

Безусловно, способ определения того самого радиуса сферы будет зависеть от данных, которые у нас есть.

Способ 1. Определение радиуса сферы при помощи площади ее поверхности

Допустим, нам дана сфера вместе с площадью её поверхности. В таком случае мы будем использовать формулу площади её поверхности для того, чтобы вычислить радиус.

где S – это площадь поверхности сферы, число Пи = 3,14.

Способ 2. Определение радиуса сферы при помощи объема шара

Если нам дан объём шара, ограниченного сферой, то радиус находится так:

где V - это объём шара, число Пи = 3,14.

Способ 3. Альтернативные формулы определения радиуса сферы

В случае, если наша сфера вписана в правильный многогранник или описана вокруг него, можно воспользоваться следующим рядом формул.

Формула 1. Сфера вписана в правильный тетраэдр

Для сферы, которая вписана в правильный тетраэдр:

где a – длина ребра тетраэдра (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).

Формула 2. Сфера описана около правильного тетраэдра

Для сферы, которая описана около правильного тетраэдра:

где a – длина ребра тетраэдра (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).

Читайте также: