Что такое параллельные прямые 6 класс кратко

Обновлено: 04.07.2024

Почему в определении очень важно обозначить, что мы говорим о прямых, лежащих на одной плоскости? Потому что тогда, когда прямые не лежат на одной плоскости, они могут не пересекаться и не быть параллельными, то есть не идти рядом.

Интересный пример получаем, рассматривая прямые на поверхности шара (не на плоскости). Если шар достаточно большой, то в какой-то точке прямые могут выглядеть параллельными, а на самом деле они пересекаются в точках, которые называют полюсами шара.

Другой способ обозначения параллельных прямых — вместо двух больших букв можно использовать одну маленькую букву и записать так: a || b.

Параллельные прямые — две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, а || b.

Аксиома параллельности:
Через точку, не лежащую на данной прямой, на плоскости можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой.

Выделенная синим цветом часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского. В геометрии Лобачевского через точку, лежащую за прямой, проходит множество прямых, которые не пересекают данную прямую.

Иногда Аксиому параллельных прямых принимают в качестве одного из свойств параллельных прямых, но вместе с тем на ее справедливости строят другие геометрические доказательства.

Примечание. В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Свойства и признаки параллельных прямых

Свойства и признаки параллельных прямых:

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
– сумма внутренних односторонних углов равна 180°,
– накрест лежащие углы равны,
– соответственные углы равны,

Теорема Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложено несколько равных отрезков и через их концы проведены параллельные прямые, не пересекающие другую прямую, то и на ней отложатся равные отрезки.

Параллельные прямые находятся повсюду в нашей жизни. Они – основа симметрии, которая, так или иначе, присутствует в каждом элементе мебели, архитектуре и орудиях труда. Знание определения и свойств параллельных прямых помогают не только при решении задач по математике 6 класса, но и при расчетах реальных предметов быта.

Что такое параллельные прямые

Параллельными прямыми называют прямые, которые не пересекаются.

В этом определении параллельных прямых есть небольшая неточность: прямые, которые имеют больше одной общей точки, совпадают. Иногда о них также говорят, как о параллельных.

Прямая, пересекающая параллельные прямые, называется секущей. При пересечений образуется 8 углов. Друг относительно друга они могут быть соответственными, односторонними и накрест лежащими. Рассмотрим их на примере.

Соответственные углы: 7 и 2, 1 и 6, 8 и 4, 3 и 5
Накрест лежащие: 7 и 5, 8 и 6, 1и 4, 3 и 2
Односторонние: 1и 2, 3 и 4, 7 и 6, 8 и 5

Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых – это одно из основных утверждений геометрии. Через точку можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну – это наиболее распространенная формулировка аксиому.

Из аксиомы есть два следствия:

Если прямая параллельна одной из двух параллельных прямых, то она параллельна и второй.
Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую.

Обратите внимание, что аксиома справедлива только для плоскости. В пространстве может быть вариант, когда прямая параллельна плоскости, в которой будет бесконечное множество параллельных ей прямых, проходящих через одну точку. Значит в пространстве это условие не обязательно выполняется.

Расстояние между параллельными прямыми в любой точке будет одинаковым и равным величине отрезка, перпендикулярного каждой из прямых.

Фигуры с параллельными прямыми

Существует множество фигур, при построении которых используются параллельные прямые. Например, параллелограмм состоит из двух попарно параллельных отрезков.

Квадрат и прямоугольник также состоят из попарно параллельных прямых, но при этом они являются частным случаем параллелограмма.

В треугольнике средняя линия всегда параллельна основанию.

Рис. 2. Средняя линия треугольника.

Также есть еще одна интересная фигура: трапеция. В трапеции большое и малое основание параллельны друг другу, а боковые стороны не параллельны.

Рис. 3. Трапеция.

Если прямые непараллельны, то они пересекаются, но если не параллельны отрезки, это вовсе не значит, что они пересекутся. Отрезки имеют конечное значение длинны, а поэтому могут просто стоять отдельно друг от друга. При этом, отдельных видов или каких-либо таблиц параллельных прямых нет, и вряд ли они когда-нибудь появятся.

Что мы узнали?

Мы узнали все о параллельных прямых, привели аксиому параллельных прямых и следствия из нее. Поговорили о различии понятий параллельных прямых и параллельных отрезков, а также выяснили, почему аксиома для параллельных прямых работает только на плоскости. Привели примеры фигур, для построения которых требуются параллельные прямые.

Параллельные прямые – подарок судьбы в решении многих задач.

Они дают тебе множество равных углов! И на них основывается много признаков фигур.

Что, безусловно, будет очень полезно.

Читай эту статью – будешь знать о них все!

И получишь заслуженные баллы на ЕГЭ.

Параллельные прямые — коротко о главном

Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: \( \displaystyle a\parallel b\).

Секущая – прямая, пересекающая две параллельные прямые: \( \displaystyle c\).

Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – внутренние накрест лежащие углы;

\( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\), \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\) – внутренние односторонние углы;

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\) – внешние односторонние углы;

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\), \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\) – соответственные углы.

Свойства параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

внутренние накрест лежащие углы равны: \( \displaystyle \angle 3=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 6\);

соответственные углы равны: \( \displaystyle \angle 1=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 8\), \( \displaystyle \angle 2=\angle 6\), \( \displaystyle \angle 3=\angle 7\);

сумма любых двух внутренних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 3+\angle 6=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 4+\angle 5=180<>^\circ \);

сумма любых двух внешних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 1+\angle 8=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 2+\angle 7=180<>^\circ \).

Признаки параллельных прямых

Определение параллельных прямых

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Принято обозначение:

\( \displaystyle a//b\) – читается как \( \displaystyle a\) параллельна \( \displaystyle b\).

Аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида

Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Смотри: через любую точку \( \displaystyle A\) проходит только одна прямая \( \displaystyle b\), которая параллельна \( \displaystyle a\), все остальные будут пересекать прямую \( \displaystyle a\).

Казалось бы: чего проще – ну, одна так одна…

Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.

В конце концов, уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?

Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.

Термины: секущая, внутренние и внешние углы

Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей )

Получается куча углов. Целых \( \displaystyle 8\) штук.

Приняты такие названия этих углов:

\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\) называются внутренними накрест лежащими углами

\( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – тоже внутренние накрест лежащие углы.

\( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\) (а еще \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\)) называются внутренними односторонними углами .

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\) (а еще \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\)) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

И последнее название: соответственные углы.

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\)
\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\)
\( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\)
\( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\)

Свойства параллельных прямых

Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если \( \displaystyle a//b\), то что?

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

Внутренние накрест лежащие углы равны
Соответственные углы равны
Сумма любых двух внутренних односторонних равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

Признаки параллельных прямых

То есть, как бы узнать, что прямые параллельны?

Если две прямые (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) пересечены третьей и оказалось, что:

Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны, ИЛИ
Какие нибудь два соответственных угла равны, ИЛИ
Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), ИЛИ
Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна \( \displaystyle 180<>^\circ \),

то прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – параллельны

Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Параллельные прямые: основные сведения

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 - 11 классов).

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 - 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = ( n b x , n b y ) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( А 1 , В 1 ) и ( А 2 , В 2 ) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b - y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( k 1 , - 1 ) и ( k 2 , - 1 ) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 - 1 = t · ( - 1 ) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Заданы две прямые: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Мы видим, что n a → = ( 2 , - 3 ) - нормальный вектор прямой 2 x - 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 - нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y - 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · ( y - 4 ) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, ( 0 , 1 ) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y - 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = ( 2 , - 1 ) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = ( 1 , 2 ) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + ( - 1 ) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Заданы прямые x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: ( 1 , 0 , - 3 ) и ( 2 , 0 , - 6 ) .

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Читайте также: