Что такое несовместная система уравнений кратко

Обновлено: 05.07.2024

Система называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Определённая, неопределённая СЛАУ.

Если СЛАУ имеет решение и при том единственное, то её называют определённой а если решение неединственное – то неопределённой.

МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы, т.е. определитель матрицы А : D = det (a_{i j}) и n вспомогательных определителей D _i (i= ), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид: D × x _i = D _i (i = ).

Из этого следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: x _i = D _i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Теорема (правило Крамера): Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство: Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца .

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: . Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема Кронекера - Капелли.

Система линейных уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы .

Доказательство: Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что .

Пусть набор чисел является решением системы. Обозначим через -ый столбец матрицы , . Тогда , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы . Пусть . Предположим, что . Тогда по . Выберем в базисный минор . Он имеет порядок . Столбец свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы . Столбец свободных членов в миноре является линейной комбинацией столбцов матрицы . В силу свойств определителя , где -- определитель, который получается из минора заменой столбца свободных членов на столбец . Если столбец проходил через минор M, то в , будет два одинаковых столбца и, следовательно, . Если столбец не проходил через минор , то будет отличаться от минора порядка r+1 матрицы только порядком столбцов. Так как , то . Таким образом, , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что , неверно.

2. Пусть . Покажем, что система имеет решение. Так как , то базисный минор матрицы является базисным минором матрицы . Пусть через минор проходят столбцы . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

Положим , , , , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях получим

В силу равенства (1) . Последнее равенство означает, что набор чисел является решением системы. Существование решения доказано.

В рассмотренной выше системе , и система является совместной. В системе , , и система является несовместной.

Замечание:Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить и , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя и к методу нахождения ранга матрицы. Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

1. перестановка строк;

2. умножение строки на число, отличное от нуля;

3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами. Если по матрице, полученной из выполнением элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система будет равносильна исходной.

Цель алгоритма -- с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть . Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число , и т.д. В результате получим матрицу

(Первые нулевые столбцы, как правило, отсутствуют.)

Если в матрице встретилась строка с номером k, в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел .

Матрицу можно записать в виде

По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

где , . Эту матрицу снова можно записать в виде

и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части.

Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы Ax=b. Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной ). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при -- второе решение и т.д.

Способ 2: Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одной переменной, перенесенной в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным - нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другой переменной в правой части значение 1, а остальным - нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.

Определение:система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет. Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

имеет решение , и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

решений не имеет, то есть является несовместной.

Определение: Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется матрица , отличающаяся от матрицы системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:

Следствие: Ранг расширенной матрицы либо равен рангу матрицы системы A, либо больше его на единицу.

Доказательство: Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы A является линейно независимой системой столбцов матрицы , то в силу предложения 14.26 (Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему) .

Пусть . Предположим, что , . Тогда в матрице есть линейно независимая система из r+k столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице A. Тогда подсистема остальных r+k-1 столбцов, принадлежащих матрице A , должна быть линейно независимой. Следовательно, . Получили противоречие. Предположение, что k>1, неверно.

Квадратные системы с невырожденной матрицей.

Система называется квадратной, если число m ее уравнений равно числу n неизвестных, то есть когда ее матрица A -- квадратная матрица.

Решение СЛАУ:Пусть дана СЛАУ

Данная система всегда совместна так как имеет тривиальное решение х₁=…=х_n=0

Для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно выполнение

Любая совокупность (n-r) линейно независимых решений СЛАУ (являющаяся базисом в пространстве решений) называется фундаментальной совокупностью решений(ФСР).

Пусть х₁,…,х_r - базисные неизвестные, х_r₊₁,…,х_n – свободные неизвестные. Свободным переменным дадим поочередно следующие значения:

Определив значения базисных переменных, соответствующие каждому набору значений свободных переменных, получим решения:

Х (1) = Х_r (1) , Х (2) = Х_r (2) ,…,Х ( n- r) = Х_r ( n- r)

Построенная таким образом система решений системы уравнений называется нормальнойфундаментальной совокупностью решений.

Теорема. Множество всех решений однородной системы уравнений

Образует линейное пространство S (пространство решений), которое является подпространством в R n (n – число неизвестных), причем dims=k=n-r, где r- ранг системы. Базис в пространстве решений называется фундаментальной системой решений, и общее решение имеет вид:

Системы линейных уравнений. Основные понятия: совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы. Метод Гаусса. Общее решение. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование на совместность систем линейных уравнений. Однородные системы и свойства их решений. Фундаментальная система решений.

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

В общем случае n¹m.

Решением системы называется такая совокупность n чисел 1,a₂. a_n>, которая при подстановке в данную систему на место не известных x₁,x₂. x_n преобразует все уравнения в тождества. Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая.

1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. Например, система уравнений

несовместна. С геометрической точки зрения, это соответствует двум параллельным несовпадающим прямым плоскости xOy.

2) Если система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместные системы могут иметь либо одно решение, либо бесконечно много решений. Системы, имеющие только одно решение, называются определенными. Например,

С геометрической точки зрения, это соответствует двум пересекающимся прямым плоскости xOy.

3) Система, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной. Например,

С геометрической точки зрения, это соответствует двум совпадающим прямым плоскости xOy.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 4

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

В общем случае n¹m.

С геометрической точки зрения, это соответствует двум пересекающимся прямым плоскости xOy.

3) Система, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной. Например,

С геометрической точки зрения, это соответствует двум совпадающим прямым плоскости xOy.

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2 · x + y = − 3 и x = 5 , после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2 · x + y = - 3 , x = 5 .

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1 , говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x + y = 5 , 2 · x - 3 · y = 1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у .

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2 x = 11 , x - 3 · z 2 = 0 , 2 7 · x + y - z = - 3

Данная система имеет 3 переменные х , у , z . Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z . Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z , а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2 x + 0 · y + 0 · z = 11

А другое уравнение x + 0 · y − 3 · z = 0 .

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2 · x - y = 1 , x + 2 · y = - 1 и - 3 · x + y = 0 . 5 , x + 2 2 3 · y = 0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x 2 - 4 · x · y = 1 , x - y = 2 и x = y 3 x · y = - 5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x + y = 3 , 1 x + 1 y = 2 5

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х = 5 и у = 2 являются решением системы уравнений x + y = 7 , x - y = 3 . Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5 + 2 = 7 и 5 − 2 = 3 . Если подставить пару х = 3 и у = 0 , тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3 + 0 = 7 .

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t 2 = 4 , 5 · ( t + 2 ) = 0

Число - 2 – решение уравнения, так как ( − 2 ) · 2 = 4 , и 5 · ( − 2 + 2 ) = 0 являются верными числовыми равенствами. При t = 1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12 = 4 и 5 · ( 1 + 2 ) = 0 .

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х = 1 , у = 2 , z = 0 , то подставив их в систему уравнений 2 · x = 2 , 5 · y = 10 , x + y + z = 3 , получим 2 · 1 = 2 , 5 · 2 = 10 и 1 + 2 + 0 = 3 . Значит, эти числовые неравенства верные. А значения ( 1 , 0 , 5 ) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5 · 0 = 10 , 1 + 0 + 5 = 3 .

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.

Несовместная система уравнений система, которая не имеет решений. Так, например, уравнения 2x у 4, 4x 2y 5 образуют н. (первое из этих уравнений противоречит второму, так как если 2x у 4, то 4x 2y 8). Уравнение большая советская энциклопедия несовместная система уравнений система, которая не имеет решений. Несовместная система уравнений несовместная система уравнений, система, которая не имеет решений.

, система энциклопедический словарь несовместные системы. Частные решения продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор я рассматривал системы, которые совместны и имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом методом подстановки (школьным), по формулам крамера, матричным методом, методом гаусса. Sistema di equazioni non compatibile голосование за лучший ответ виталий данилович мудрец (12148) 1 год назад x1x23 x1x24 - это система вырожденная и несовместимая x1x23 x1x23 - это система просто вырожденная существуют вариации, когда вместо x1x23 записано 2x12x26 - это то же самое.

Читайте также: