Что такое множество кратко

Обновлено: 05.07.2024

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; представляющее собой набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества. [1] Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы. [2]

Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.

математики, в частности, теории множеств и [1] [2] . Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и упорядоченным и неупорядоченным, конечным и счётным или наивной , так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Содержание

История понятия

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело . В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств , а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств .

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются Элемент множества

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

Сходные объекты

По иерархии

Множество множеств (в частности, булеан — множество всех подмножеств данного множества).
Надмножество

Отношения между множествами

$<\displaystyle A\subset B> Диаграмма Венна для$

$<\displaystyle A> Два множества$
и " width="" height="" />
могут вступать друг с другом в различные отношения.

Операции над множествами

$<\displaystyle A\cap B> Диаграмма Венна для$

$<\displaystyle A\cup B> Диаграмма Венна для$

$<\displaystyle A\setminus B> Диаграмма Венна для$

$<\displaystyle A\triangle B> Диаграмма Венна для$

Бинарные операции

Основные бинарные операции, определяемые над множествами:

Для объяснения смысла операций часто используются Унарные операции

$<\displaystyle (A\cap B)^<\complement > Диаграмма Венна для >$

$<\displaystyle U> Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум (универсальное множество$
, которое содержит " width="" height="" />
), и сводится к разности множеств с этим универсумом:

$<\displaystyle <\overline > =U\setminus A>$
.

Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.

Булеан — множество всех подмножеств:

$<\displaystyle 2^<X> \equiv <\mathcal >X:=\<A\mid A\subset X\>>$
.

$<\displaystyle 2^<X> Обозначение >$
происходит из свойства мощности множества всех подмножеств конечного множества:

$<\displaystyle \left|2^<X> \right|=2^<|X|>>$
.

$<\displaystyle 2^<X> Булеан >$
порождает систему множеств с фиксированным универсумом " width="" height="" />
, замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.

Приоритет операций

Сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Мощность

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается " width="" height="" />
или " width="" height="" />
. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если " width="" height="" />
, то " width="" height="" />
) и распространением свойства мощности булеана конечного множества: >" width="" height="" />
на случай бесконечных множеств (само обозначение " width="" height="" />
мотивировано этим свойством).

Наименьшая бесконечная мощность обозначается >" width="" height="" />
, это мощность счётного множества. Мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается >>" width="" height="" />
или >>" width="" height="" />
. Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество , но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, — это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество $M$ состоит из предметов $a,\,b,\,c,\,\ldots$ и только из этих предметов, то пишут

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества $M$ , записывается в виде

и читается: " $m$ принадлежит $M$ ", или " $m$ есть элемент $M$ ". Если же предмет $m$ не принадлежит множеству $M$ , то пишут: $m\notin M$ . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества; иными словами, все элементы (одного и того же множества отличны
друг от друга.

Элементы множества $M$ могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество $M$ не было одним из своих собственных элементов: $M\notin M$ .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством . Например, множество всех действительных корней уравнения

Если для двух множеств $M$ и $N$ каждый элемент $x$ множества $M$ является также элементом множества $N$ , то говорят, что $M$ входит в  , что $M$ есть часть $N$ , что $M$ есть подмножество $M$ или что $M$ содержится в $N$ ; это записывается в виде

Например, множество $M=\$ есть часть множества $N=\$ .

Ясно, что всегда $M\subseteq M$ . Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения $x^2-3x+2=0$ и множество $M=\$ между собою равны.

Определим правила действий над множествами .

Объединение или сумма множеств

Пусть имеются множества $M,N,P,\ldots$ . Объединением или суммой этих множеств называется множество $X$ , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из "слагаемых"

При этом, даже если элемент $x$ принадлежит нескольким слагаемым, то он входит в сумму $M$ лишь один раз. Ясно, что

Пересечение множеств

Пересечением или общей частью множеств $M,N,P,\ldots$ . называется множество $Y$ , состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам $M,N,P,\ldots$ .

Ясно, что $M\cdot M=M$ , и если $M\subseteq N$ , то $M\cdot N=M$ .

Если пересечение множеств $M$ и $N$ пусто: $M\cdot N=\varnothing$ , то говорят, что эти множества не пересекаются .

Для обозначения операции суммы и пересечения множеств употребляют также знаки $\textstyle$ и $\textstyle<\prod>$ . Таким образом,

Читателю рекомендуется доказать, что сумма и пересечение множеств связаны обычным распределительным законом

Разность множеств

Разностью двух множеств $M$ и $N$ называется множество $Z$ всех тех элементов из $Z$ , которые не принадлежат $N$ :

Если $N\subseteq M$ , то разность $Z=M\setminus N=M-N$ называют также дополнением к множеству $N$ относительно $M$ .

Нетрудно показать, что всегда

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.

Конечные и бесконечные множества

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества $M$ и $N$ и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.

Если множество $M$ конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств $M$ и $N$ достаточно сосчитать число элементов в $M$ , число элементов в $N$ и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств $M$ и $N$ конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов, чем конечное.

Однако, если оба множества $M$ и $N$ бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает. Поэтому сразу возникают такие вопросы: все ли бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов, или же существуют бесконечные множества с большим и меньшим количеством элементов? Если верно второе, то каким способом можно сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах? Этими вопросами мы теперь и займемся.

Взаимно однозначное соответствие множеств

Пусть снова $M$ и $N$ — два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из $M$ и один элемент из $N$ . Тогда, если какому-нибудь элементу из $M$ не найдется парного к нему элемента из $N$ , то в $M$ больше элементов, чем в $N$ . Поясним это рассуждение примером.

Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел

Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.

Ни один элемент $M$ и ни один элемент $N$ не остается без пары. Правда, мы могли бы также образовать пары и так:

Тогда многие элементы из $M$ остаются без пар. С другой стороны, мы могли бы составить пары и так:

Таким образом, если множества $A$ и $B$ бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента $A$ и каждого элемента $B$ имеется парный к нему элемент, то говорят, что между множествами $A$ и $B$ можно установить взаимно однозначное соответствие . Например, между рассмотренными выше множествами $M$ и $N$ можно установить взаимно однозначное соответствие, как
это видно из табл. 1.

Если между множествами $A$ и $B$ можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны . Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из $A$ всегда остаются без пар, то говорят, что множество $A$ содержит больше элементов, чем $B$ , или что множество $A$ имеет большую мощность, чем $B$ .

Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос: существуют ли вообще бесконечные множества. имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.

Счетные множества. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества $A$ и элементами множества всех натуральных чисел

то говорят, что множество $A$ счетно . Иными словами, множество $A$ счетно, если все его элементы можно занумеровать посредством натуральных чисел, т. е. записать в виде последовательности

Таблица 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть $G$ есть множество всех четных чисел, $H$ — множество всех нечетных чисел и $Z$ — множество всех натуральных чисел. Как показывает таблица 4, множества $G$ и $H$ счетны. Однако множество $Z=G+H$ вновь счетно.

Нарушение правила "целое больше части" для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно . Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь
все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности:

Номер места, занимаемого
рациональным числом 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .
Рациональное число 1. 2, О, 3, — 1, 4 —2 _

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.

Множества мощности континуума

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества $M$ и точками отрезка $0\leqslant x\leqslant1$ , то говорят, что множество $M$ имеет мощность континуума . В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка $0\leqslant x\leqslant1$ имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка $AB$ имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.

Нетрудно показать, что множества точек любого интервала $x\in[a,b]$ и всей числовой прямой $x\in[-\infty,+\infty]$ — имеют мощность континуума.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:

Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

$A \subset B$

$A \cap B$

$A \cup B$

$A \setminus B$

Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Содержание

История теории множеств

До XIX века математиками рассматривались в основном конечные множества.

С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872—1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его: = = .

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

Сходные объекты

По иерархии

Отношения между множествами

Два множества и могут вступать друг с другом в различные отношения.

Операции над множествами

Литература

Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — М .: Просвещение, 1968. — 232 с.
Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем — М .: Высш. шк. , 2009. — 503 с: ил.

См. также

Примечания

↑ Русский перевод — Кантор Г.Труды по теории множеств. — М .: Наука, 1985. — С. 173. .
Немецкий оригинал — Georg Cantor.Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (нем.) // Mathematische Annalen. — 1895. — Т. 46. — С. 481.

Логические операции с понятиями

Высказывание - построение над множеством
В - непустое множество, над элементами которого определены три операции: конъюнкция ( или &,бинарная) • дизъюнкция (,бинарная) • отрицание (,унарная)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Множество" в других словарях:

МНОЖЕСТВО — см. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО … Философская энциклопедия

множество — См. избыток, много, обилие многое множество. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. множество избыток, много, обилие, масса, уймища, бездна, пропасть, тьма( тьмущая, тем), куча … Словарь синонимов

МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множить и пр. см. многий. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

МНОЖЕСТВО — набор, совокупность, собрание к. л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так,… … Физическая энциклопедия

множество — МНОЖЕСТВО, изобилие, лавина, море, обилие, поток, разг. бездна, разг. вагон, разг. воз, разг. куча, разг. масса, разг. пропасть, разг. тьма, разг. уйма, разг. уймища, разг. сниж. гибель, разг. сниж. прорва, разг. сниж. сила, разг. сниж. тьма… … Словарь-тезаурус синонимов русской речи

Множество — совокупность элементов, параметров, объединенных по какому либо признаку Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

МНОЖЕСТВО — в математике, см. Множеств теория … Большой Энциклопедический словарь

МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, а, ср. 1. Очень большое количество, число кого чего н. М. людей. М. случаев. Всяких запасов во множестве. 2. В математике: совокупность элементов, объединённых по какому н. признаку. Теория множеств. Толковый словарь Ожегова. С.И.… … Толковый словарь Ожегова

Читайте также: