Что такое корень многочлена кратко

Обновлено: 05.07.2024

В математике , А корень полинома P ( X ) является значение α , такие , что Р (α) = 0. Поэтому решение полиномиального уравнения Р ( х ) = 0 неизвестных х , или опять же , ноль из связанный полиномиальная функция . Например, корни X 2 - X равны 0 и 1.

Резюме

Определения

Мы рассматриваем многочлен P ( X ) с указанным здесь неопределенным X , с коэффициентами в поле или, в более общем смысле, коммутативным кольцом A (коэффициенты, следовательно, могут принадлежать подкольцу ).

Определение

Определение корня - корень A в A многочлена P является элемент α из таким образом, что , если заменить неопределенные Х значение α, получает нулевое выражение в A .

Таким образом, многочлен X 2 - 2 с коэффициентами в (следовательно, также в ℝ или ℂ) не имеет корня в ℚ, но имеет два в ( √ 2 и - √ 2 ), следовательно, также в ℂ. Действительно, если мы подставим √ 2 или - √ 2 для X в полином, мы находим 0.

Альтернативное определение

Эквивалентное определение - корень в A многочлена P является элементом α из A такой , что Р ( Х ) является делится на X - а (в А [ Х ]).

Действительно, если P ( X ) = ( X - α) Q ( X ), то P (α) = 0, и наоборот, если P (α) = 0, то P ( X ) равно P ( X ) - P ( α), линейная комбинация многочленов вида X k - α k , все делятся на X - α .

В выбранном примере равенство:

это еще один способ заметить, что √ 2 и - √ 2 действительно являются двумя корнями многочлена.

Связанные определения

Тот простой факт, что многочлен X - α унитарен, позволяет, не предполагая, что A интегрирует, определить следующие понятия:

Порядок кратности, единичный корень, кратный корень - Если P не равно нулю, то для любого элемента α из A :

  • наибольшее целое число m такое, что P ( X ) делится на ( X - α) m , называется порядком или кратностью α относительно P ;
  • это целое число m характеризуется существованием многочлена Q такого, что P ( X ) = ( X - α) mQ ( X ) и Q (α) ≠ 0;
  • мы говорим, что α простой корень P, если m = 1, и кратный корень, если m > 1.

Многочлен X 2 - 2 отделим , то есть не имеет кратных корней. Более того, он разбивается на ℝ в следующем смысле:

Полиномиальной разделены - Если P производится в первых полиномов степени с коэффициентами в коммутативной L , мы говорим , что многочлен P делится на L .

Тогда P не равно нулю, и его доминирующий коэффициент является произведением доминирующих коэффициентов этих многочленов первой степени. В более общем смысле мы говорим, что ненулевой многочлен L [ X ] разбивается над L, если он является произведением константы и произведения (возможно, пустого ) унитарных многочленов первой степени. Такое разложение тогда является уникальным: каждый постоянный член одного из этих унитарных многочленов первой степени равен противоположности корня P в L , и если этот корень имеет порядок m , этот множитель повторяется m раз. Число этих факторов равно степени Р .

Существование корней

Любое вещественное полиномиальное уравнение нечетной степени допускает хотя бы одно действительное решение.

Пусть K поле и P многочлен с неопределенным и с коэффициентами в K .

Расширение из K представляет собой поле , содержащее K ; таким образом, ℝ и являются расширениями ℚ.

Существование корней - Существует меньшее расширение L из K , одного до изоморфизма , а P расщепляется над L . Расширение Ь называется поле разложения из P на K .

Поле L таково, что многочлен P расщепляемый; Однако другой многочлен с коэффициентами из K не обязательно делится на L . Тем более, многочлен с коэффициентами из L не обязательно разделяется на L либо . Они говорят , что тело L алгебраически замкнуто , если каждый многочлен коэффициенты L расщепляется над L .

Существование алгебраического замыкания - Там существует меньшее алгебраически замкнутое расширение в K , единственно с точностью до изоморфизма. Расширение L называется алгебраическим замыканием из K .

Поле алгебраически замкнуто, результат известен под названием теоремы Даламбера-Гаусса . Алгебраическое замыкание есть. Это из ℚ подполе ℚ .

Дифференциальный критерий кратности корня.

Теорема - Пусть коммутативное кольцо, P многочлен с коэффициентами из А и а корневая последовательность м от P . Так :

  • α является корнем порядка по крайней мере , т - 1 из многочлена , полученный изР ' из Р , и даже порядка ровно т - 1 , если т является упрощаемым в A ;
  • α - корень P , P ' , P' ' ,…, P ( m –1) ;
  • если м ! упрощается в A , α не является корнем P ( m ) .

По условию P ( X ) имеет вид ( X - α) m Q ( X ) с m > 0 и Q (α) ≠ 0. Дифференцируя, получаем P ' ( X ) = ( X - α) m –1 R ( X ), где R ( X ) = mQ ( X ) + ( X - α) Q ' ( X ), поэтому R (α) = mQ (α), что доказывает первое утверждение. Два других выводятся путем повторения .

Другой метод - использовать правило Лейбница , которое также справедливо для формальных производных .

  • корень P кратен тогда и только тогда, когда он также является корнем P ' ;
  • если A - поле характеристики 0, то для того, чтобы α было корнем порядка r поля P , необходимо и достаточно, чтобы P (α), P ' (α), P' ' (α), . P ( r –1) (α) равны нулю и P ( r ) (α) не равны нулю.

На поле с характеристикой p > 0 этот последний критерий недействителен, потому что многочлен, полученный из X p, равен нулю.

Связь между коэффициентами и корнями

Расчет корня

Мы можем использовать метод Мюллера для вычисления корней многочлена. Интерполируем полином P полиномом второй степени: согласно лагранжевой интерполяции . Мы находим коэффициенты, оценивая P в трех точках ( ): в 2 Икс 2 + б 2 Икс + против 2 x ^ + b_ x + c_ > Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 , x_ , x_ >

  • в 2 знак равно п [ Икс 0 , Икс 1 ] - п [ Икс 1 , Икс 2 ] Икс 0 - Икс 2 знак равно п [ Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 ] = , x_ ] - P [x_ , x_ ]>-x_ >> = P [x_ , x_ , x_ ]>
  • б 2 знак равно п [ Икс 1 , Икс 2 ] - в 2 × ( Икс 1 + Икс 2 ) <\ displaystyle b_ = P [x_ , x_ ] - a_ \ times (x_ + x_ )>
  • против 2 знак равно п ( Икс 2 ) - в 2 × Икс 2 2 - б 2 × Икс 2 <\ displaystyle c_ = P (x_ ) - a_ \ times x_ ^ -b_ \ times x_ >

с участием: ж [ ты , v ] знак равно ж ( ты ) - ж ( v ) ты - v . >.>

Но при использовании этого аппроксимирующего полинома выбор корня этого полинома проблематичен. Мюллер затем была идея использовать тот же полином, но в форме: с которой будет стремиться к корню. Особенность этого алгоритма: может быть комплексным числом. Коэффициенты: в нет ( Икс - Икс нет ) 2 + б нет ( Икс - Икс нет ) + против нет (x-x_ ) ^ + b_ (x-x_ ) + c_ > Икс нет <\ displaystyle x_ > Икс нет <\ displaystyle x_ >

  • в нет знак равно п [ Икс нет - 2 , Икс нет - 1 , Икс нет ] = P [x_ , x_ , x_ ]>
  • б нет знак равно п [ Икс нет - 1 , Икс нет ] - в нет × ( Икс нет - 1 - Икс нет ) <\ displaystyle b_ = P [x_ , x_ ] - a_ \ times (x_ -x_ )>
  • против нет знак равно п ( Икс нет ) <\ displaystyle c_ = P (x_ )>

Этот метод является автоконвергентным: вычисление корня будет постепенно уточняться. Таким образом , мы можем начать с , и и . Пока многочлен не обращается в нуль , мы переходим к следующей итерации с помощью: Икс 0 знак равно - 1 = - 1> Икс 1 знак равно 0 = 0> Икс 2 знак равно 1 = 1> нет знак равно 2 Икс нет > нет + 1

a_0+a_1x+\dots+a_nx^n

c\in k

над полем k — элемент , такой что выполняются два следующих равносильных условия:

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Содержание

Свойства

  • Число корней многочлена степени не превышает даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
  • Всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .
    • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).
    • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами можно записать в виде
    • Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени , учитывая кратные корни кратное количество раз, равно . При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
    • Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

    Нахождение корней

    Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

    То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году. [1] Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

    В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

    Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

    <\displaystyle a_<0></p> <p>+a_x+\dots +a_x^>

    <\displaystyle c\in k></p> <p>над — элемент
    , который после подстановки его вместо " width="" height="" />
    обращает уравнение

    <\displaystyle a_<0></p> <p>+a_x+\dots +a_x^=0>

    Нахождение корней

    Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Никколо Тарталья и Джероламо Кардано . Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени .

    То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный метод секущих, nl:Wortel (wiskunde)

    При различных значениях х многочлен

    принимает различные значения. Нас будут интересовать те значения х, при которых многочлен обращается в нуль. Эти значения называют корнями многочлена. Итак, число а называется корнем многочлена если Таким образом, понятие корня многочлена (1) равносильно понятию корня уравнения

    (Теория таких уравнений будет изложена в главе II.) Следует отметить, что вся теория многочленов (как, впрочем, и почти вся алгебра) развивалась в связи с решением уравнений.

    В первую очередь установим связь между корнями многочлена и его линейными делителями, то есть делителями вида х—а. Ясно, что если многочлен делится без остатка на то а является его корнем. В самом деле, пусть Тогда имеем

    и, значит, а — корень многочлена

    Справедливо и обратное утверждение: если число а является корнем многочлена то этот многочлен делится без остатка на х—а.

    Для доказательства воспользуемся теоремой Безу. По этой теореме остаток от деления на х—а равен Поэтому, если а — корень многочлена , то остаток равен нулю:

    Итак, задача нахождения корней многочлена равносильна задаче отыскания его линейных делителей.

    Покажем теперь, что если — различные корни многочлена то делится на . В самом деле, так как а — корень для то делится без остатка на

    Подставим в обе части этого равенства Так как Р — корень многочлена то получаем но и потому . Таким образом, Р является корнем многочлена , а потому делится без остатка на Таким образом,

    Это и означает, что делится без остатка на

    Точно так же доказывается, что если попарно различные корни многочлена то делится без остатка на выражение

    Докажем теперь следующую теорему.

    Теорема 1. Если многочлен не является многочленом степени большей и обращается в нуль при различных значениях то этот многочлен является нулевым многочленом.

    Доказательство. Допустим, что многочлен не является нулевым. Тогда по условию теоремы его степень не больше чем Так как числа являются корнями многочлена то он делится без остатка на произведение

    откуда видно, что степень многочлена не меньше чем . Полученное противоречие показывает, что многочлен является нулевым многочленом.

    Из доказанной теоремы вытекает важное следствие. Возьмем два многочлена степень которых не превосходит , и предположим, что они принимают одинаковые значения при значении х. Покажем, что тогда многочлены имеют одинаковые степени и коэффициенты.

    Для доказательства рассмотрим разность данных многочленов. По условию многочлен обращается в нуль при значении х и не является многочленом степени, большей чем Поэтому в силу предыдущей теоремы все его коэффициенты равны нулю. А это и означает, что коэффициенты многочленов совпадают, а значит, совпадают и их степени.

    В частности, получаем следующее утверждение: если два многочлена тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при всех значениях х, то они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях х. Иными словами, не может быть двух различных многочленов (в канонической форме!), принимающих одинаковые значения при всех х. Отсюда следует сформулированное ранее утверждение: целое рациональное выражение тождественно равно только одному многочлену. В самом деле, два многочлена, тождественно равные одному и тому же целому рациональному выражению, тождественно равны друг другу, а поэтому их коэффициенты при одинаковых степенях х совпадают.

    В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

    В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

    Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

    Многочлены

    Понятие многочлена

    Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида


    ,


    где x – переменная , – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

    2 члена называются подобными, если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

    Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).


    -многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);


    - многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

    При этом тождественный нуль степени не имеет.


    Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.


    Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

    Определение корня многочлена

    Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )=0. Другими словами, число является корнем многочлена f(x), если в выражение

    + =0


    мы подставим , тогда получим

    + =0.

    Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

    Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.


    К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

    Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение


    3 -10х+3=0.

    Читайте также: