Что такое дискриминант кратко

Обновлено: 06.07.2024

Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.

Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

Запомните!

По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)

II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)

16x 2 − 8x + 1 = 0

D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0

x1;2 =

−b ± √ D
2a

x1;2 =
− (−8) ± √ 0
32

x1;2 =
8 ± 0
32

x =
8
32

x =
1
4

Ответ: x =
1
4

III случай
D
(дискриминант меньше нуля)

D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D


Самое главное в 8 классе — научиться применять формулы для решения квадратных уравнений. А дискриминант тут очень кстати! Давайте разбираться вместе, как решать задачки через дискриминант.

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:

13 = 12 — противоречие.

Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:

12 = 12 — верное равенство.

Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.

Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Понятие дискриминанта

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Свойства дискриминанты

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.

Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.

Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные

Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:

Решение квадратного уравнения

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 - 4x + 2 = 0.

  1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
  2. Найдем дискриминант: D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 * 3 * 2 = 16 - 24 = -8.

Ответ: D 2 - 6x + 9 = 0.

  1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
  2. Найдем дискриминант: D = b 2 - 4ac = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Решение уравнения x2 - 6x + 9 = 0

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x 2 - 4x - 5 = 0.

  1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
  2. Найдем дискриминант: D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня:

Решение уравнения x2 - 4x - 5 = 0

Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Дискриминант -- инструмент, позволяющий разбить на группы квадратные уравнения (дискриминировать их). Все квадратные уравнения делятся на 3 группы: 1) те, у которых нет корней, 2) те, у которых 1 корень, 3) те, у которых 2 корня.
Если дискриминант уравнения меньше 0, то уравнение первой группы -- корней нет. Если дискриминант равен 0 -- корень один, если дискриминант больше нуля -- корней два.
Дискриминант выражается через коэффициенты уравнения:
D=b²-4ac.
То, что с опорой на дискриминант можно установить число корней уравнения, доказывается в курсе алгебры.
Дискриминант помогает вычислять корни уравнения, если они есть.
В математике есть и другие дискриминанты, которые в школе не изучают

Дискриминант является одним из самых узнаваемых понятий школьной математики. Однако, в большинстве случаев школьники просто запоминают его формулу и общую формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Мало кто может вывести их и объяснить, почему они так удобны.

Ниже мы разберёмся с решением полного квадратного уравнения, начиная с самых основ.

Решаем простое квадратное уравнение

По сути здесь наc просят найти такое число (или числа), которое при возведение в квадрат (т.е. при умножении на самое себя) дадут в результате 9. Очевидно, что таких чисел всего два, это 3 и -3.

Теперь усложним задачу и попробуем решить такое уравнение:

Выражение в скобках после возведения в квадрат даёт 9. А выше мы нашли, что таким свойством обладают числа 3 и -3. То есть возможно два варианта для выражения в скобках: x -2=3 или x -2=-3. Решая каждое из этих уравнений получаем, что первом случае x =5, а во втором x =-1.

А теперь перепишем ту же самую задачу, перенеся все слагаемые в левую часть. Получим уравнение:

После приведения подобных слагаемых получаем

Это уравнение квадратное и записано в более привычной для нас форме. Но мы уже знаем его корни! Ранее мы получили их из исходного уравнения ( x -2)²=9.

И теперь мы можем провести те же самые преобразования, но в обратную сторону.

Преобразуем уравнение в обратную сторону

Пусть у нас есть уравнение

Теперь соберём в кучу первые три слагаемых и получим квадрат двучлена:

Перенесём -9 в правую часть со сменой знака и получим уравнение

И теперь легко находим корни, как мы делали это выше.

То есть мы смогли из квадратного уравнения x ²-4 x -5=0 путем выделения полного квадрата сделать удобное уравнение и решить его.

А можем ли мы для любого уравнения вида x ²+ px + q =0 (такие уравнения с коэффициентом 1 при x ² называются приведёнными) сделать похожие преобразования и также получить удобное для решения уравнение? Давайте попробуем.

Решаем приведённое квадратное уравнение

Итак, у нас есть уравнение

Также, как и с уравнением x ²-4 x -5=0, будем двигаться в обратную сторону. Сначала выделим полный квадрат. Так как первое слагаемое в левой части уравнения равно x ², то выделенный полный квадрат будет иметь вид ( x +…)². Найдём другое слагаемое в этом двучлене. Нам нужно выделить полный квадрат из выражения ( x ²+ px +…). Слагаемое px является удвоенным произведением x и некоторого числа. Перепишем px в виде 2· ( p /2)· x и получим, что второе слагаемое в выражении ( x +…)² — это ( p /2).

То есть для того, чтобы получить полный квадрат, мы должны к левой части уравнения добавить ( p /2)² и сразу его вычесть.

Читайте также: