Что такое дискриминант кратко
Обновлено: 06.07.2024
Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.
Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.
Запомните!
По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:
I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)
II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)
16x 2 − 8x + 1 = 0
D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0
x1;2 =
−b ± √ D |
2a |
x1;2 =
− (−8) ± √ 0 |
32 |
x1;2 =
8 ± 0 |
32 |
x =
8 |
32 |
x =
1 |
4 |
Ответ: x =
1 |
4 |
III случай
D
(дискриминант меньше нуля)
D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D
Самое главное в 8 классе — научиться применять формулы для решения квадратных уравнений. А дискриминант тут очень кстати! Давайте разбираться вместе, как решать задачки через дискриминант.
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 - 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 * 3 * 2 = 16 - 24 = -8.
Ответ: D 2 - 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 - 4ac = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 - 4x - 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Дискриминант -- инструмент, позволяющий разбить на группы квадратные уравнения (дискриминировать их). Все квадратные уравнения делятся на 3 группы: 1) те, у которых нет корней, 2) те, у которых 1 корень, 3) те, у которых 2 корня.
Если дискриминант уравнения меньше 0, то уравнение первой группы -- корней нет. Если дискриминант равен 0 -- корень один, если дискриминант больше нуля -- корней два.
Дискриминант выражается через коэффициенты уравнения:
D=b²-4ac.
То, что с опорой на дискриминант можно установить число корней уравнения, доказывается в курсе алгебры.
Дискриминант помогает вычислять корни уравнения, если они есть.
В математике есть и другие дискриминанты, которые в школе не изучают
Дискриминант является одним из самых узнаваемых понятий школьной математики. Однако, в большинстве случаев школьники просто запоминают его формулу и общую формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Мало кто может вывести их и объяснить, почему они так удобны.
Ниже мы разберёмся с решением полного квадратного уравнения, начиная с самых основ.
Решаем простое квадратное уравнение
По сути здесь наc просят найти такое число (или числа), которое при возведение в квадрат (т.е. при умножении на самое себя) дадут в результате 9. Очевидно, что таких чисел всего два, это 3 и -3.
Теперь усложним задачу и попробуем решить такое уравнение:
Выражение в скобках после возведения в квадрат даёт 9. А выше мы нашли, что таким свойством обладают числа 3 и -3. То есть возможно два варианта для выражения в скобках: x -2=3 или x -2=-3. Решая каждое из этих уравнений получаем, что первом случае x =5, а во втором x =-1.
А теперь перепишем ту же самую задачу, перенеся все слагаемые в левую часть. Получим уравнение:
После приведения подобных слагаемых получаем
Это уравнение квадратное и записано в более привычной для нас форме. Но мы уже знаем его корни! Ранее мы получили их из исходного уравнения ( x -2)²=9.
И теперь мы можем провести те же самые преобразования, но в обратную сторону.
Преобразуем уравнение в обратную сторону
Пусть у нас есть уравнение
Теперь соберём в кучу первые три слагаемых и получим квадрат двучлена:
Перенесём -9 в правую часть со сменой знака и получим уравнение
И теперь легко находим корни, как мы делали это выше.
То есть мы смогли из квадратного уравнения x ²-4 x -5=0 путем выделения полного квадрата сделать удобное уравнение и решить его.
А можем ли мы для любого уравнения вида x ²+ px + q =0 (такие уравнения с коэффициентом 1 при x ² называются приведёнными) сделать похожие преобразования и также получить удобное для решения уравнение? Давайте попробуем.
Решаем приведённое квадратное уравнение
Итак, у нас есть уравнение
Также, как и с уравнением x ²-4 x -5=0, будем двигаться в обратную сторону. Сначала выделим полный квадрат. Так как первое слагаемое в левой части уравнения равно x ², то выделенный полный квадрат будет иметь вид ( x +…)². Найдём другое слагаемое в этом двучлене. Нам нужно выделить полный квадрат из выражения ( x ²+ px +…). Слагаемое px является удвоенным произведением x и некоторого числа. Перепишем px в виде 2· ( p /2)· x и получим, что второе слагаемое в выражении ( x +…)² — это ( p /2).
То есть для того, чтобы получить полный квадрат, мы должны к левой части уравнения добавить ( p /2)² и сразу его вычесть.
Читайте также: