Что и требовалось доказать кратко в геометрии

Обновлено: 08.07.2024

1. Сложение и вычитание (+, –)

Интересно, что до XV века сложение обозначалось буквой p (от лат. plus — больше), а вычитание m (от лат. minus — менее, меньше).

2. Умножение (×, ·, *) и Деление (/, :, ÷)

3. Равенство (=)

4. Корень

Символ операции извлечения корня называют радикалом. Средневековые математики обозначали квадратный корень символом Rx (от лат. radix — корень). Современное обозначение идёт от малой буквы r. Его впервые применил в 1525 году Кристоф Рудольф .

Чтобы щелкать задачки по геометрии, важно рассуждать логически. Это качество поможет быстрее запомнить все правила и перейти к решению задач и доказательствам. В этой статье узнаем про аксиомы, теоремы и доказательства теорем.

О чем эта статья:

Понятие аксиомы

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Через любые две точки проходит единственная прямая.
Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.
Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.
Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Эквиваленты в других языках

В английском аналога QED нет, но в некоторых других языках он есть:

Язык	Сокращение	Расшифровка
Русский	Ч. Т. Д.	что и требовалось доказать
Болгарский	КТДД	Което трябваше да докажем/Което трябваше да се докаже
Украинский	Щ. Т. Д.	що і треба було довести
Финский	M. O. T.	mikä oli todistettava
Французский	C. Q. F. D.	ce qu'il fallait démontrer
Румынский	c.c.t.d	ceea ce trebuia demonstrat
Немецкий	W. Z. B. W.	was zu beweisen war
Испанский	Q. E. D.	queda entonces demostrado queda esto demostrado
Итальянский	C. V. D.	come volevasi dimostrare
Польский	c. b. d. u. c. n. d. c. k. d.	co było do udowodnienia czego należało dowieść co kończy dowód
Португальский	c. q. d	como queríamos demonstrar
Грузинский	რ. დ. გ. (r. d. g.)	რისი დამტკიცებაც გვინდოდა (risi damtkic'ebac' gvindoda)
Иврит	מ.ש.ל	מה שרציתי להוכיח
Армянский	Ա.Ի.Պ.Ա (a. i. p. a.)	այն, ինչ պահանջվում էր ապացուցել (ayn, inčʽ pahanǰvum êr apacʽucʽel)
Шведский	VSB	vilket skulle bevisas

Формы записи

Есть ли общепринятый символ, означающий конец доказательства?

В школе мы несколько классов дописывали фразу "Что и требовалось доказать." Или сокращённо "Ч.т.д.". В самых старших классах рисовали сплошной квадратик. В универе были треугольники (сплошные): остриём вверх "открывал" доказательство, острием вниз "закрывал". Видел ещё какие-то, отличные от указанных, но уже забыл их. Я понимаю, что это не имеет большого значения и не важно, но хотелось бы знать общепринятые манеры.

Последний раз редактировалось dikiy 26.05.2012, 01:04, всего редактировалось 2 раз(а).

а в случае доказательство от противного - значок молнии.

Последний раз редактировалось longstreet 26.05.2012, 01:09, всего редактировалось 1 раз.

в латехе вот так например:

Последний раз редактировалось ewert 26.05.2012, 01:45, всего редактировалось 1 раз.

Нормальные значки -- это прямоугольные треугольнички. Такие косые, когда высота существенно меньше ширины.

Начало доказательства -- это треугольничек, косо отсечённый от прямоугольника в левом верхнем углу. Конец доказательства -- то же самое, но, естественно, наоборот.

Это всё легко программируется в ТеХе, но и помимо него (например, на доске) выглядит вполне легко и естественно.

Встречаются в литературе, конечно, и другие варианты: квадратики, кружочки и т.д. Однако треугольнички естественнее и логичнее.

-- Сб май 26, 2012 02:45:32 --

Да. А общепринятых символов на этот счёт -- разумеется, не существует. Тут уж дело вкуса.

Последний раз редактировалось longstreet 26.05.2012, 02:01, всего редактировалось 1 раз.

Это всё легко программируется в ТеХе

кстати, в зарубежной литературе почти везде незакрашенные квадратики или q.e.d.

Ну как. Вводной треугольничек: идём слева направо, допустим, на 2 (это по вкусу). Потом возвращаемся налево и вниз, скажем, на 1. И окончательно возвращаемся в исходную точку по вертикали. Оформляем всё это как псевдорисунок с приемлемой толщиной линий (ну а покажется неприемлемой -- оформляем через кривые Безье; кривизна нам тут, конечно, не нужна, но зато можем свободно распоряжаться толщиной линий).

Ну и выходной треугольничек -- центрально симметрично.

В советской литературе широкоупотребительны были закрашенные кружочки и квадратики. Но это, скорее всего, просто потому, что по тем временам литер не шибко много было.

Ещё есть вертикальные стрелки: вверх - открыл доказательство, вниз - закрыл. Если между ними ничего нет, доказательство предоставляется читателю.

Читайте также: