Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника кратко

Обновлено: 04.07.2024

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

  • Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
  • Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
  • Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
  • Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
  • Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Че­ты­рех­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если можно через любую его сто­ро­ну про­ве­сти пря­мую, и че­ты­рех­уголь­ник пол­но­стью ока­жет­ся в одной из двух об­ра­зо­вав­ших­ся по­лу­плос­ко­стей.

Выпуклый и невыпуклый четырехугольники

Виды четырехугольников

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Дельтоид – четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Укажите пары противоположных сторон четырехугольника.

Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 16 см, ВС = 12 см, СD = 8 см и АD = 18 см.

Дан выпуклый четырехугольник АВСD. \(∠А = 61º, ∠В = 110º, ∠С = 92º\) . Найдите градусную меру угла \(∠D\) .

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС = 12 и BD = 10. Найти периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 12 см, ВС = 17 см, CD = 5 см и AD = 14 см.

Найдите большую сторону четырехугольника, если его периметр равен 66 см, а одна из сторон больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей, а четвертая – в три раза больше второй.

Расстояния от середины стороны АD выпуклого четырехугольника ABCD до середин сторон АВ и CD равны соответственно 6 и 12. Найдите длину большей диагонали четырехугольника ABCD.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Найдите наибольший угол выпуклого четырехугольника, если его углы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Здравствуйте!
Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника? Помогите разобраться. Как проверить правильность значения суммы?
Спасибо!

Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника
Для начала вспомним, какой четырехугольник называется выпуклым.
Если провести через любую сторону четырехугольника прямую и весь четырехугольник будет находиться по одну из сторон этой прямой, в таком случае он будет выпуклым.

На рисунке видно, что весь четырехугольник находится по одну сторону от красной прямой, которую провели через одну сторону этого четырехугольника. Причем такая же ситуация повторится, если прямую провести через каждую из оставшихся трех сторон фигуры.
Существует формула, с помощью которой можно найти сумму внутренних углов любого выпуклого многоугольника:
180 * (n – 2).
Здесь n – число сторон многоугольника.
Для четырехугольника число сторон равно 4.
Найдем с помощью этой формулы сумму углов выпуклого четырехугольника:
180 * (n – 2) = 180 * (4 – 2) = 180 * 2 = 360 градусов.
Можно доказать данное утверждение, в котором используем всем известную теорему о сумме углов треугольника, которая равна 180 градусов.
Четырехугольник разобьем на треугольники с помощью диагонали. Таким образом, четырехугольник разобьется на 2 треугольника.

Из рисунка видно, что сумма всех углов обоих получившихся треугольников равняется сумме углов заданного четырехугольника, поскольку каждый из углов в обоих получившихся треугольниках есть частью одного из углов заданного выпуклого четырехугольника. Таким образом, искомая сумма равна:
180 * 2 = 360 градусов.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Выберите язык:

Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.

Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.

Теорема

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .

Доказательство



Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) и проведем его диагональ \(AC\) . Она разбила четырехугольник на два треугольника. Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\) , следовательно:

\[\begin 360^\circ=180^\circ+180^\circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end\]

Теорема Вариньона

Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.



Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\) . Рассмотрим \(\triangle ABC\) : \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\) .

Рассмотрим \(\triangle ADC\) : \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\) .

Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\) .

Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\) .

Следовательно, по определению \(MNKP\) – параллелограмм.

Теорема

Если в четырехугольнике \(ABCD\) диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны: \[AB^2+CD^2=BC^2+AD^2\]

Доказательство

По теореме Пифагора:

Из равенств видно, что \(AB^2+CD^2=x^2+a^2+y^2+b^2=BC^2+AD^2\)

Замечание

Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:



Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.

Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.

Читайте также: