Чем отличается аксиома от теоремы кратко

Обновлено: 04.07.2024

Аксиома - это утверждение, которое считается истинным, основанное на логике; однако он не может быть доказан или продемонстрирован, потому что он просто считается само собой разумеющимся. В принципе, все, что объявлено истинным и принятым, но не имеет доказательств или имеет некоторый практический способ доказать это, является аксиомой. Его иногда называют постулатом или предположением.

Основой аксиомы для его истины часто не учитывается. Это просто так, и нет необходимости обсуждать дальше. Тем не менее, многие аксиомы по-прежнему бросают вызов различным умом, и только время покажет, являются ли они сумасшествиями или гениями.

Аксиомы могут быть классифицированы как логические или нелогичные. Логические аксиомы являются общепринятыми и действительными операторами, в то время как нелогичные аксиомы обычно являются логическими выражениями, используемыми при построении математических теорий.

Гораздо легче выделить аксиому в математике. Аксиома часто является утверждением, которое считается истинным ради выражения логической последовательности. Они являются основными строительными блоками доказательств. Аксиомы служат отправной точкой для других математических утверждений. Эти утверждения, полученные из аксиом, называются теоремами.

Теорема, по определению, является доказательством, основанным на аксиомах, других теоремах и некотором множестве логических связок. Теоремы часто подтверждаются строгими математическими и логическими рассуждениями, и процесс к доказательству, конечно, будет включать в себя одну или несколько аксиом и другие утверждения, которые уже признаны истинными.

Теоремы часто выражаются как производные, и эти дифференцирования считаются доказательством выражения. Две составляющие доказательства теоремы называются гипотезой и заключением. Следует отметить, что теоремы чаще всего оспариваются, чем аксиомы, поскольку они подвержены большему количеству интерпретаций и различным методам деривации.

Нетрудно рассмотреть некоторые теоремы как аксиомы, так как существуют другие утверждения, которые интуитивно считаются истинными. Однако они более адекватно рассматриваются как теоремы, из-за того, что они могут быть получены с помощью принципов дедукции.

1. Аксиома - это утверждение, которое считается истинным без каких-либо доказательств, в то время как теория должна быть доказана до того, как она будет считаться истинной или ложной.

2. Аксиома часто самоочевидна, в то время как теории часто потребуются другие утверждения, такие как другие теории и аксиомы, чтобы стать действительными.

3. Теоремы естественно оспариваются больше, чем аксиомы.

4. В принципе, теоремы производятся из аксиом и набора логических связок.

5. Аксиомы являются основными строительными блоками логических или математических утверждений, поскольку они служат отправными точками теорем.

6. Аксиомы могут быть классифицированы как логические или нелогичные.

7. Две компоненты доказательства теоремы называются гипотезой и заключением.

В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения) . Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Аксиома – это предложение, принимаемое без доказательства, в силу непосредственной его убедительности (для его доказательства нет исходного материала) , но проверенное многочисленными экспериментами, опытами, временем, и поэтому является неоспоримой истиной, не требующей доказательств.
Теорема, в отличие от аксиомы, это - предложение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем логических умозаключений (т. е. доказательства) .

набор аксиом - это некоторая база, набор постулатов, которые воспринимаются на веру и ни у кого не вызывают сомнений, первые теоремы доказываются сведением к одной или нескольким аксиомам, дальнейшие теоремы доказываются с опорой на ранее доказанные

Совершенно верно!
Аксиома доказывается и в плюс, и в минус, и в п. ду, и в Красную Армию, и вообще во всё, что только можно придумать.

Чтобы щелкать задачки по геометрии, важно рассуждать логически. Это качество поможет быстрее запомнить все правила и перейти к решению задач и доказательствам. В этой статье узнаем про аксиомы, теоремы и доказательства теорем.

О чем эта статья:

Понятие аксиомы

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Через любые две точки проходит единственная прямая.
Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.
Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.
Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.

Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки A и B .

Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки A и B , она совпадет с прямой a .

Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

Важно!

Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве
не опирается на выстроенную логическую цепочку доказательств, нельзя считать доказанным .

Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

Нам остается, только принять их на веру без доказательств . Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.

Что такое аксиома

Запомните!

Аксиома — утверждение , которое не требует доказательств.

С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
любая фигура равна самой себе.

Что такое теорема

Запомните!

Теорема — утверждение , которое требует доказательства.

Примеры формулировок теорем:

сумма углов треугольника равна 180 градусов;
площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Важно!

Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизусть
без искажений .

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Запомните!

Лемма — это вспомогательная теорема , с помощью которой доказываются другие теоремы.

если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Что такое следствие в геометрии

Запомните!

Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать .

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

Читайте также: