Зачем тригонометрия в школе
Обновлено: 04.07.2024
Как "мне помочь" - это Вам лично? А разве репетиторы нынче бесплатно тригонометрии обучают? Шутка.
Уточню: вопрос касается только синусов и косинусов или всей тригонометрии в целом?
Дело в том, что тригонометрия сейчас и 100 лет назад - это довольно разные тригонометрии. Когда-то изучали не только синус и косинус (и, конечно тангенс), но и секанс и косеканс. А многие ли представители не очень старших поколений знают, что это за звери такие - sec(x) и cosec(x).
Научились без них обходится! И еще изучали бездну тригонометрических тождеств. Теперь и это укоротили.
Но синус и косинус не трожьте! Они нужны не только в науке, но и в технике, архитектуре, дизайне, бизнесе, экономике и много где еще.
Синусы и косинусы - это основа изучения периодических процессов (от научных до сезонных самой разной природы - сельскохозяйственных, финансовых, бизнес-циклов и т.д. и т.п). Вы ряды Фурье не уважаете? Как цикличность без них анализировать собираетесь?
А роль цикличности в нашей жизни еще очень древние люди оценили - придумав понятия суток, месяца и года.
Если, говоря о реальной жизни, имеется в виду жизнь домохозяйки - то там с некоторым усилием можно и без синусов-косинусов обойтись. Но нынешние женщины (уж не говоря о мужчинах) без работы свою жизнь редко себе представляют. А в работе синусы и косинусы очень часто и сейчас и в обозримом будущем будут полезны! А что будет через 100 лет - посмотрим )))
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
III -я региональная научно-практическая конференция
для старшеклассников школ Челябинской области
Тригонометрия в нашей жизни
Автор: Суворова Анастасия, 10 класса
МОУ Кременкульской СОШ
Научный руководитель:
Грязнова Татьяна Александровна,
МОУ Кременкульской СОШ
с. Долгодеревенское, 2019
Актуальность:
Данная тема является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки, а также тесно связана с деятельностью человека. Имеет теоретическую и практическую значимость.
Объект исследования: Тригонометрия.
Предмет исследования: Графики тригонометрической функции
Узнать о способах применения графиков тригонометрических функции в жизни человека.
Составить историческую справку о графиках тригонометрических функций.
Описать применение графиков тригонометрических функций в окружающем нас мире и различных отраслях.
Вывести свой биоритм жизни.
Изготовить демонстрационную модель движения графика синуса.
Графики тригонометрических функций широко применяются человеком, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.
Теоретическая часть
Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.
Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии и ультразвук, в химии (Приложение 1, рис.1), в сейсмологии (Приложение 1, рис.2), в метеорологии, в океанографии (Приложение 1, рис.3), в архитектуре (Приложение 1, рис.4), в экономике, в компьютерной графике, в кристаллографии (Приложение 1, рис.5) и многих других областях.
Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.
История возникновения
Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая (Приложение 2, рис.1) . 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.
В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:
· точного определения времени суток; (Приложение 2, рис. 3)
· вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;
· нахождения географических координат текущего места;
· вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.
Гномон— древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень)
определить угловую высоту солнца. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)
Тригонометри́ческие фу́нкции (Приложение 2, рис. 5) — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
Синус и косинус относятся к прямым тригонометрическим функциям.
В настоящее время график синуса можно встретить в следующих моментах нашей жизни.
Архитектура
Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений
рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.
Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой.
Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (то же самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения
Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.
Медицина и биология.
Модель биоритмов (Приложение 2, рис.11), которые в свою очередь подразумевают цикличность процессов в живом организме можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).
Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров, деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.
Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.
Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.
Движение рыб в воде и полёт птиц (Приложение 2, рис. 10) происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Измерительные работы
В школьном курсе алгебры есть замечательный раздел - тригонометрия. Как школьники обычно с ней обращаются?
Не вникая в то, зачем все это нужно и откуда взялось, ученики производят некие действия по алгоритму и получают требуемый ответ, не сильно озадачиваясь глубинным смыслом происходящего.
Большинство довольно успешно расправляется с элементами тригонометрии на ОГЭ и ЕГЭ. Однако после окончание школы у выпускников остается стойкое ощущение, что они ничего в ней все равно не поняли.
Мне кажется, что такое впечатление создается прежде всего потому, что сведения о том, кто и для чего придумал все эти косинусы, синусы и прочие арктангенсы, остаются за кадром.
Кто это все вообще придумал?!
О, этот сакраментальный вопрос!
Сколько раз учителя слышали этот вопль отчаяния!
Знаете, это вообще-то не риторический вопрос, но ответ на него займет достаточно длительное время.
Если отвечать прямолинейно, то вот то, что вы сейчас проходите в школе по алгебре в разделе тригонометрия придумал Леонард Эйлер в середине 18 века. Вот он на картине, познакомьтесь.
Понятно, конечно, что не он один и не всё. Скажем так: он придал тому, над чем трудились ученые на протяжении веков до него, новое прочтение.
Учим синусы на геометрии
Дело в том, что все предшественники Леонарда Эйлера понимали синус и косинус, как понятия геометрические, то есть как линии в круге или треугольнике.
И сейчас, как известно, в школьной геометрии тоже есть раздел, где проходят синусы, косинусы и другие тригонометрические величины. Там все, в принципе, более или менее понятно. Есть угол, есть катет. Найдите гипотенузу. Берете значение синуса или косинуса данного угла, в зависимости от того, какой катет и считаете гипотенузу.
Тут даже практическое значение этих действия достаточно легко объяснить. Вот вам египетская пирамида, посчитайте, какой у нее должен быть наклон, если известны основание и высота. Понятно, зачем это нужно - чтобы правильно сложить камни при постройке.
Опять синусы. Теперь на алгебре.
По алгебре же с косинусами и синусами школьники проходят нечто, как им кажется, совсем другое.
Так вот, это Леонард Эйлер решил, что тригонометрические величины нужно будет рассматривать не только в геометрии, но ещё и в алгебре.
Ученый закрепил использование буквенных обозначений в тригонометрии и стал рассматривать тригонометрические величины как функции.
А дальше - грандиозный прорыв - исследование тригонометрической функции.
Напоминаю, что функция - это переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменений другой величины.
Вот график функции y=sinx. Это самое простое выражение из тех, которыми вас пытают учителя на алгебре (или вы пытаете учителей, это как посмотреть).
Вот график звуковой волны. Чем выше амплитуда звуковой волны, тем громче сигнал. И это тоже тригонометрическая функция. Только там больше параметров. То есть выражение не sinx, а гораздо сложнее.
Если вспомнить физику, то с помощью тригонометрической функции можно еще описать электромагнитные волна, пружины, маятники.
Вы видели как выглядит звук, а теперь посмотрите как бьется сердце:
Наверху красивая картинка из кино, а вот ее схема. Это тоже всем знакомый рисунок - кардиограмма.
Кардиограмма - это тоже наша с вами тригонометрическая функция. Дыхание, жизненные циклы организма - тоже можно описать функцией и изобразить на графике.
Это не школьный уровень для изучения, естественно. Но начинается то все с самого простого, с базовых знаний, которые проходят абсолютно все.
А вот самое актуальное: график распространения эпидемии. Наша любимая синусоида выглядит по-разному, в зависимости от параметров.
График показывает как пойдут дела в зависимости от того, какие меры против эпидемии будут приняты.
Меняя параметры получаем разный ход событий. А параметры в данном случае - это различные меры, переведенные в цифры и формулы.
Большинство физических явлений природы, физиологических процессов, закономерностей в музыке, экономике, медицине можно описать с помощью тригонометрических функций.
Круговорот воды, морские приливы - отливы, эпидемии, спады и подъемы экономики и многое, многое другое.
В школьной программе мы только слегка прикасаемся к понятию тригонометрической функции, пытаемся получить самое основное представление о том, на чем базируется наука.
Современным людям повезло родиться в то время, когда знания общедоступны. И не пользоваться этим - очень глупо с нашей стороны.
То, что вы можете прочитать на нескольких страницах в вашем учебнике алгебры, создавалось лучшими представителями человечества на протяжении тысячелетий.
И если вы с упорством, достойным лучшего применения, доказываете учителю, что знать ничего об этом не желаете, то, поверьте, гордиться тут нечем.
Тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Содержимое разработки
о тригонометрии
в нашей жизни
Учитель математики: Шевцова В.В.
Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Зачатки тригонометрии обнаружены в
сохранившихся документах Древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития. Вавилонские ученые составили одну из первых карт звездного неба. Они умели предсказывать солнечные и лунные затмения.
Некоторые сведения тригонометрического
характера встречаются и в старинных
памятниках других народов древности.
История тригонометрии как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.
Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы; немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности
Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом
Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд.
Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии . Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
Все проблемные вопросы полностью освещены. Рассмотрены различные виды оптических иллюзий, и выяснены основные причины возникновения иллюзий. Также раскрыта суть естественных (природных) оптических иллюзий – радуги, миража, северного сияния – с помощью законов физики. Выяснено, что законы оптики описываются с помощью тригонометрических функций.
- Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром. Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы
Тригонометрия в музыке
Тетраэдр семейства аккордов из четырех звуков, вид сверху.
- Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
- К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.
При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Тригонометрия и тригонометрические функции повсюду!
Стоит только приглядеться!
Спасибо за внимание.
-75%
Читайте также: