Способы получения числа в начальной школе
Обновлено: 04.07.2024
Целые неотрицательные числа называют натуральными в связи с тем, что они были придуманы человечеством для счета элементов реальных множеств (животных, людей, различных предметов), а также для обозначения результатов процесса измерения величин (длины, массы, емкости, времени, площади и др.).
Таким образом, различают число как результат счета элементов множества и число как результат измерения величин (длина, масса, время и т. д.).
Альтернативные программы по математике для начальных классов различаются главным образом способом знакомства ребенка с этими характеристиками числа.
Как и многие математические понятия, понятие натурального числа возникло из потребностей практики. Уже в глубокой древности нужно было сравнивать между собой различные множества.
Простейшим способом сравнения множеств было установление взаимно-однозначного соответствия между множествами, т. е. образование пар элементов из обоих множеств. Если такое соответствие имело место, то множества считались равночисленными (все пары — полные).
Если взаимно-однозначное соответствие устанавливалось между элементами одного множества и только частью элементов второго, множества (некоторые элементы второго множества оставались без пары), то считали, что в первом множестве меньше элементов, чем во втором.
Например: Чего больше, кружков или квадратов?
Число — это количественная характеристика множества предметов (группы).
Натуральные числа обозначают при счете реальные предметы. Следует помнить, что само по себе число не зависит от характера и свойств предметов множества, т. е. одно и то же число может символизировать количество объектов какого угодно характера.
Каждая группа (множество) может быть охарактеризовано только одним числом (и если при повторном пересчете объектов получается другой результат, это означает ошибку счета).
Цифра — это символ, обозначающий число на письме. Число мы называем и слышим. Цифру мы видим, пишем и называем.
Цифры имеют различное изображение. Общеупотребимы цифры, которые принято называть арабскими (хотя, они имеют индийское происхождение): 1, 2,3,4,5, 6, 7,8,9 и римские: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.
Римские цифры употребляются только в печатном изображении, арабские цифры — в печатном (1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9) и курсивном (прописном) изображении (1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
В любой из упомянутых систем обозначения чисел больше, чем цифр.
Натуральные или целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,записанные в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.
Отрезок натурального ряда чисел — это часть ряда вида: 1, 2, 3, 4,5, 6,7 или 1, 2, 3 или 1, 2,3,4, 5,6, 7,8,9,10, И. По определению, отрезок натурального ряда длиной а — это все числа b, такие что b≤а.
Все натуральные числа записать невозможно, поскольку в натуральном ряду нет последнего числа. За каждым натуральным числом следует другое натуральное число.
Однозначные числа
Числа первого десятка называют однозначными. Они обозначены одной цифрой: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Фактически при счете элементов множества происходит процесс их нумерации.
Счет — это процесс упорядочивания множества путем присвоения каждому элементу определенного номера. Таким образом, понятие числа также неразрывно связано с представлением о порядке, упорядочивании элементов множества. В этом случае натуральное число представляет собой порядковый номер некоторого элемента и называется в силу этого порядковым числом.
Количественное и порядковое числа взаимосвязаны, при пересчете элементы конечного множества не только расставляются в определенном порядке, но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество (последний порядковый номер, называемый при счете, является характеристикой количества элементов множества).
Например: последнее яблоко — пятое, значит их всего пять.
Эти две роли натурального числа нашли отражение в русском языке: порядковые натуральные числа выражаются порядковыми числительными (первый, второй, третий и т. д.), количественные — количественными числительными (один, два и т. д.)
Процесс счета подчиняется определенным правилам:
1) первому отмеченному предмету ставится в соответствие число 1 (наименьшее натуральное число);
2) на каждом следующем шаге отмечается (нумеруется) предмет, еще не отмеченный ранее (нельзя считать один и тот же предмет дважды);
3) ему ставится в соответствие число, следующее за последним из уже названных (натуральные числа расположены в строгом равномерном порядке).
Данные правила определяют принцип образования чисел в натуральном ряду: каждое следующее число на единицу больше предыдущего.
Усвоение ребенком этого принципа является центральной задачей изучения нумерации первого десятка в школе.
Следствием этого принципа является идея бесконечности ряда натуральных чисел (как бы ни было велико число, всегда можно найти следующее, добавив к нему единицу), а также способ нахождения значений выражений вида 5 + 1;8+1;6-1;7-1ит. п. путем называния либо следующего, либо предыдущего числа. Иными словами, для нахождения значения данных выражений нет необходимости выполнять какой-то прием арифметических действий, достаточно понимать, что добавление 1 ведет к получению следующего по счету числа, а убавление 1 — означает возврат к предыдущему по счету числу. Именно для получения результатов в таких выражениях ребенок заучивал наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке.
Большая часть нагрузки при освоении счета приходится на механическую память, т. е. процесс обучения счету в большой мере репродуктивен (опирается на память, а не на мыслительные операции). Для того чтобы ребенок не осваивал его на формальном уровне, на первых порах этот процесс следует обязательно сопровождать предметными действиями: откладыванием, показыванием, а также проговариванием вслух.
Огромная роль числа в жизни людей обуславливает довольно раннее формирование числовых представлений у ребенка. Уже в 2-3 года, отвечая на вопрос, сколько ему лет, малыш показывает два или три пальчика и называет соответствующее слово-числительное, обозначающее количество пальцев9 предметов). В общении со взрослыми и в игре у него расширяется запас числовых представлений. В его речи появляются новые слова-числительные, которые он соотносит с определенными образами (два глаза, два уха, один нос, пять пальцев и т.д). Одним из центральных понятий начального курса является понятие натурального числа. Понятие числа – одна из древнейших и основных понятий не только начального курса математики, но и математики в целом. Это самое используемое математическое понятие. Число — это феномен культуры, и его рассмотрение в процессе обучения в этом качестве значительно расширяет образовательные возможности изучения чисел в начальной школе. Без него не обходится ни один день нашей жизни, ни одно дело, ни одно производство, ни один вид профессиональной деятельности.
Изучение каждого числа ведется в определенно последовательности:
отыскание единичных предметов и групп, которые характеризуются данным числом;
упражнения в счете с целью закрепления количественных и порядковых отношений чисел в натуральном ряду;
сравнение чисел по величине;
ознакомление с печатной и письменной цифрой;
работа по соотнесению цифры и числа предметов.
теоретико-множественный. Согласно данному подходу, число – это общее свойство эквивалентных между собой, непустых множеств. (Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие называют эквивалентными и соответственно – равночисленными).
в третьем подходе число вводится через измерение величин, а именно число характеризуется как отношение некоторой величины к его мерке.
Таким образом, формирование у школьников младших классов понятие числа и операций над ними остается одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни человека, так и в учении.
Огромную роль в начальном курсе математики играют представления о натуральном числе. Понятие числа – одно из основных понятий математики, как с логической точки зрения, так и с исторической. Первые представления о числе зародились уже глубоко в древности в связи с необходимостью давать количественную характеристику совокупностям предметов того или иного свойства, присущего разным предметам. Также уже в древности появилась потребность в измерении величин.
В методике формирования понятия натурального числа у младших школьников находят отражение как исторический путь возникновения и развития данного понятия, так и его трактовка в математической науке. Учащиеся в 1 классе знакомятся с различными функциями натурального числа. Они имеют дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, используют число как характеристику порядка, знакомятся с числом как результатом измерения величин.
Уже на первых уроках математики (подготовительный период) делаются первые шаги по внесению в сознание первоклассников элементов научных основ о числе. Прежде всего, доступно, на практической основе, четко раскрывается цель счета. На конкретных множествах, состоящих из однородных и неоднородных элементов, первоклассники учатся правильно соотносить числительные с элементами множества; узнают, что результат счета не зависит от порядка, в котором пересчитывались предметы.
В основе формирования понятия числа, с одной стороны, лежит счёт предметов, который служит для определения их количества. Число выступает как результат счета и характеризует количество предметов данной совокупности. С другой стороны, число как общая характеристика класса равномощных множеств осознается ребёнком в процессе установления взаимнооднозначного соответствия между элементами различных множеств.
Наряду с упражнениями, при выполнении которых дети получают число в результате счета предметов, довольно скоро включаются упражнения, которые должны показать детям получение числа в результате измерения. Первым шагом в этом направлении является ознакомление с сантиметром и измерением отрезка с помощью разделенной на сантиметры линейки.
На начальном этапе обучения учащиеся должны осознать количественное и порядковое значение числа. Они должны научиться пользоваться усвоенным ими отрезком натурального ряда чисел для получения ответа на вопрос, сколько элементов входит в состав предложенного им множества, понять, что с помощью той же числовой последовательности можно расположить элементы этого множества в определенном порядке, пронумеровать их.
При знакомстве с числами, выясняется, что каждое число может быть не только названо, но и записано, что для записи чисел существуют обозначения, значки – цифры. Знакомство с печатной и письменной формой записи цифр дает возможность воспринимать число в виде зрительного образа.
На примере первых десяти чисел натурального ряда дети знакомятся с принципом его построения. При рассмотрении каждого из чисел, прежде всего, должно быть выяснено, как оно может быть получено. Для того чтобы подчеркнуть принцип построения натурального ряда чисел, важно начать с получения числа путем прибавления 1 к предыдущему числу. Например, 1+1=2; 2+1=3 и т.д. Дети осознают, что числа в натуральном ряде возрастают.
Образование числа из предыдущего путем присчитывания единицы и из последующего путем отсчитывания единицы весьма эффективно решает одновременно две задачи: рассматриваются порядковые отношения чисел (какое число предшествует данному, какое следует за ним) и раскрываются их количественные отношения (какое число меньше, какое больше данного).
Устная и письменная нумерация чисел от 1 до 10 изучается совместно. Изучение каждого числа ведется в определенной последовательности:
Отыскание единичных предметов и групп, которые характеризуются данным числом.
Упражнения в счете с целью закрепления количественных и порядковых отношений чисел в натуральном ряду.
Сравнение чисел по величине.
Ознакомление с печатной и письменной цифрой.
Работа по соотнесению цифры и числа предметов.
Поскольку одной из конечных целей изучения нумерации чисел является усвоение ряда общих принципов, лежащих в основе устной и письменной нумерации, важно систематически и целеустремленно вести детей к соответствующим обобщениям. Новое необходимо рассматривать, опираясь на ранее изученное.
1. твердо усвоить названия и последовательность первых десяти чисел натурального ряда, при этом необходим некоторый выход за пределы 10 при счете предметов;
2. воспроизводить ту или иную последовательность, как в прямом, так и в обратном порядке, начиная с любого заданного числа;
3. уверенно овладеть операцией счета предметов, выполнять ее в различных условиях;
5. знать не только названия и последовательность чисел в ряду, но и научиться их читать, узнавать как печатные, так и письменные цифры, правильно и аккуратно записывать цифры в тетрадях;
6. уверенно выполнять сравнение чисел, выяснять, равны ли они, выполнять соответствующие записи с использованием знаков , =, ;
7. знать, что число, следующее за данным в ряду, может быть получено прибавлением 1 к данному числу, а число, предшествующее данному может быть получено вычитанием 1 из данного числа.
В результате изучения нумерации чисел дети должны не только усвоить соответствующие общие положения, но и владеть важнейшими умениями и навыками. Успех в обучении школьников нумерации целых неотрицательных чисел зависит не только от математических знаний учителя, которые помогут ему правильно организовать знакомство с новыми понятиями, но и от заданий, представленных как в учебнике, так и предлагаемых учителем.
Учебные задания являются основным средством организации учебной деятельности, так как тесно связаны с логикой учебного предмета, обуславливают умственную и практическую деятельность учащихся. Учебные задания следует отличать от упражнений, последние требуют от школьников либо подражания, либо тренировки в применении знаний, умений и навыков, приобретенных ранее под руководством учителя, в условиях, аналогичным тем, в которых они формировались.
Учитывая специфику работы над натуральным числом можно выделить следующие виды заданий:
На установление взаимнооднозначного соответствия;
На соотнесение предметной картинки и числа;
На способ образования каждого следующего числа путем присчитывания единицы к предыдущему;
На определение места числа в натуральном ряду;
На сравнение чисел;
На состав числа;
На запоминание обратной последовательности числительных
Формирование у школьников младших классов понятие числа и операций над ними остается одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни человека, так и в учении.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Возникает противоречие между потребностями общества в высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при организации непрерывного образования, в частности из-за того, что не обеспечивается преемственность преподавания в начальной школе.
Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд частных задач.
1. изучить историю развития понятия числа, теорию формирования натурального ряда чисел, психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме преподавания числа в начальных классах;
2. рассмотреть теоретико-множественное истолкование натурального числа и понятие преемственности;
3. проанализировать программы дошкольного учреждения и начальной школы по преемственности натурального числа;
Решение поставленных задач потребовало следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по методике математики, работ по истории математики; анализ действующих учебников по математике и методической литературы; анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей начальной школы.
Вместе с тем, необходимо убедиться, что разработанные материалы доступны детям и позволяют строить обучение с учётом пропедевтики материала начальных классов.
Объект исследования , математическая подготовка учащихся начальной школы.
Предмет исследования : преемственность преподавания математики в дошкольной и начальной школе.
Цель исследования : выявление особенностей формирование понятия натального числа в начальной школе.
Глава I . Теоретические основы формирования понятия натурального числа в начальной школе.
История возникновения натураль ного числа.
Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие число изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия число определяется потребностями этой науки.
С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду числу продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория[28].
Натуральные числа, кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).
Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.
Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время[6].
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование, оказалось, по существу одинаковым.
Совокупность всех комплексных чисел обладает так же, как совокупность действительных чисел и совокупность рациональных чисел, свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных чисел обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных чисел. Совокупность всех действительных чисел (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х2+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных чисел не может быть далее расширена за счёт присоединения новых чисел так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных чисел[6].
Наряду с основной линией развития понятия число (натуральные числа; рациональные числа; действительные числа; комплексные числа), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия число в существенно других направлениях.
Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных чисел. В современной теории числа получили большое значение. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных чисел — группы, кольца, поля, алгебры.
Описание презентации Формирование понятия числа в начальной школе Лекция и по слайдам
Формирование понятия числа в начальной школе Лекция и практика
План 1. Дочисловой период формирования понятия числа. 2. Основной период формирования понятия числа. 3. Количественный и порядковый счет предметов. 4. Отрезок натурального ряда. 5. Сравнение чисел. 6. Число и цифра 0.
Дочисловой период Цель: актуализация полученных знаний до школы: представление о количестве, величине, форме, а также пространственных и временных отношениях. — количественная оценка предметам окружающего пространства (мало, много, один), увеличение и уменьшение количество предметов, разложение их поровну. — умения: выделять признаки у отдельных предметов и групп предметов, сравнивать предметы и группы предметов по указанному признаку, устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами групп.
Дочисловой период Представления о величине (длинный – короткий, высокий – низкий, широкий – узкий, тяжелый – легкий и др. ). Пространственные предлоги и наречия вертикального (вверху, внизу, над, под и др. ), горизонтального (вперед, назад, до, после и др. ) и сагиттального (налево, направо и др. ) направлений. Временные отношения (вчера, сегодня, завтра, потом, раньше, позже). Упражнение в последовательном назывании слов числительных от 1 до 10 и обратно. Отработка этих умений позволяет сформировать представление о натуральном числе как общем свойстве равномощных групп предметов (множеств).
Основной период Определение натурального числа задает следующую логику в выполнении упражнений. — сравнить две группы предметов (два треугольника и два кружка). Вывод: две группы предметов имеют одинаковый признак – число предметов в группе. Название признака числом два , символическая запись числа два – цифрой 2.
Счет Усвоение практического действия по пересчету предметов и установление количественной характеристики группы (множества) предметов. Счет – практическое действие по установлению взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком ряда натуральных чисел, при котором: каждому элементу данного множества ставится в соответствие единственное число; каждый элемент второго множества является образом единственного элемента первого множества
Сравнение чисел Сравнить числа – значит, сравнить их по количеству, которое они характеризуют. формирование умения сравнивать числа по количественной характеристике, записывать и читать модель их сравнения. 3
Состав однозначных чисел Состав числа — представление числа в виде двух чисел, значение суммы которых равно данному числу. — этап образования числа последующего для данного. Упражнения — представление состава числа на вещественной модели. — представление состава числа на графической модели (числовое лото). — представление состава числа на схематической модели. — представление состава числа на символической или математической модели (4 = 3+1). Состав чисел изучается путем перехода от одной модели к другой. Знание детьми состава чисел есть основа для усвоения табличных случаев сложения и вычитания однозначных чисел.
Знакомство с числами Образование числа из предыдущего и единицы, последующего без единицы. (действие выполняется на различных моделях: вещественной, графической, путем рассмотрения жизненных ситуаций)
Формирование понятия числа Вводится устная и письменная нумерация чисел. На данном этапе вводится печатная цифра, прописная цифра вводится по данной программе гораздо позже. Устанавливается количественное отношение данного числа с предшествующим и последующим. Эти отношения не фиксируются в символической записи, т. е. дети устанавливают, что изучаемое число, например, 3 больше 2 -х на единицу, но знак сравнения не вводится. Изучаются порядковые отношения данного числа с предшествующими и последующими числами. Определяется место данного числа в ряду натуральных чисел. Идет сопоставление количественного и порядкового отношения. Примечание: на одном уроке рассматривается по два числа, устная и письменная нумерации рассматриваются раздельно и в большом отрыве, знак сравнения не вводится.
Вывод В первом случае преимущество отдается способу получения числа путем присоединения одного предмета к ранее изученному количеству предметов (прибавлением единицы к ранее изученному числу), т. е. количественная характеристика числа определяется местом числа в ряду натуральных чисел. Во втором случае упор делается на формирование представления о натуральном числе как общем свойстве равномощных групп предметов (множеств).
Читайте также: