Школа пифагора вариант 12

Обновлено: 31.05.2024

Пифагоровы штаны

Теорема Пифагора для случая равнобедренного прямоугольного треугольника

Фигуры, изображённые на рис. 1 и 2, напоминают простейший орнамент из квадратов и их равных частей — геометрический рисунок, известный с незапамятных времён. Им можно сплошь покрыть плоскость. Математик назвал бы такое покрытие плоскости многоугольниками паркетом, или замощением * . При чём тут Пифагор? Оказывается, он первым решил задачу о правильных паркетах, с которой началось изучение замощений различных поверхностей. Так вот, Пифагор показал, что плоскость вокруг точки могут покрыть без пробелов равные правильные многоугольники только трёх видов: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.

4000 лет спустя

Теперь, почти 4000 лет спустя, мы имеем дело с теоремой-рекордсменом по количеству всевозможных доказательств. Между прочим, их коллекционирование — давняя традиция. Пик интереса к теореме Пифагора пришёлся на вторую половину XIX — начало XX столетия. И если первые коллекции содержали не более двух-трёх десятков доказательств, то к концу XIX века их число приблизилось к 100, а ещё через полвека превысило 360, и это только тех, что удалось собрать по разным источникам. Кто только не брался за решение этой нестареющей задачи — от именитых учёных и популяризаторов науки до конгрессменов и школьников. И что примечательно, в оригинальности и простоте решения иные любители не уступали профессионалам!

Вот какое изящное доказательство получается на основе чертежа из одного древнекитайского трактата (рис. 3), и сразу проясняется его связь с задачей об удвоении площади квадрата.

Первый математик

С. Перкинс. Пифагор

Отделить достижения Пифагора от достижений его учеников невозможно: следуя обычаю, они приписывали собственные идеи и открытия своему Учителю. Никаких сочинений ранние пифагорейцы не оставили, все сведения они передавали друг другу устно. Так что 2500 лет спустя историкам не остаётся ничего иного, кроме как реконструировать утраченные знания по переложениям других, более поздних авторов. Отдадим должное грекам: они хоть и окружали имя Пифагора множеством легенд, однако не приписывали ему ничего такого, чего он не мог бы открыть или развить в теорию. И носящая его имя теорема не исключение.

Такое простое доказательство

Неизвестно, Пифагор сам обнаружил соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике или позаимствовал это знание. Античные авторы утверждали, что сам, и любили пересказывать легенду о том, как в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка. Современные историки склонны считать, что он узнал о теореме, познакомившись с математикой вавилонян. Не знаем мы и о том, в каком виде Пифагор формулировал теорему: арифметически, как принято сегодня, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или геометрически, в духе древних, — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Считается, что именно Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. Оно, конечно, не сохранилось. По одной из версий, Пифагор мог воспользоваться разработанным в его школе учением о пропорциях. На нём основывалась, в частности, теория подобия, на которую опираются рассуждения. Проведём в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высоту к гипотенузе c. Получим три подобных треугольника, включая исходный. Их соответствующие стороны пропорциональны, a : с = m : a и b : c = n : b, откуда a 2 = c · m и b 2 = c · n. Тогда a 2 + b 2 = c · (m + n) = c 2 (рис. 4).

Чертёж к возможному доказательству Пифагора

Такое доказательство не противоречило представлениям пифагорейцев о соизмеримости: изначально они считали, что отношение длин любых двух отрезков, а значит, и площадей прямолинейных фигур, можно выразить с помощью натуральных чисел. Никакие другие числа они не рассматривали, не допускали даже дробей, заменив их отношениями 1 : 2, 2 : 3 и т. д. Однако, по иронии судьбы, именно теорема Пифагора привела пифагорейцев к открытию несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Все попытки численно представить длину этой диагонали — у единичного квадрата она равна √2 — ни к чему не привели. Проще оказалось доказать, что задача неразрешима. На такой случай у математиков есть проверенный метод — доказательство от противного. Кстати, и его приписывают Пифагору.

Существование отношения, не выражаемого натуральными числами, положило конец многим представлениям пифагорейцев. Стало ясно, что известных им чисел недостаточно для решения даже несложных задач, что уж говорить обо всей геометрии! Это открытие стало поворотным моментом в развитии греческой математики, её центральной проблемой. Сначала оно привело к разработке учения о несоизмеримых величинах — иррациональностях, а затем — и к расширению понятия числа. Иными словами, с него началась многовековая история исследования множества действительных чисел.

Мозаика Пифагора

* Паркет, или замощение, — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

Огромное вам спасибо!

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике запись закреплена

Даня Жичиков

Ирек Каримов

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике запись закреплена

Здравствуйте, Евгений! Спасибо за видео) хотелось бы уточнить по поводу курса по 18 заданию, как скоро появится?))

Любовь Емелина

Добрый день! С наступающим праздником! Желаю всем, чтобы наше отечество было надежно защищено! А вопрос такой: "Что за пакет вы используете для построения графиков на экране и платный ли он?"

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике запись закреплена

Владислав Смирнов

Илья Волков

Скотчиан Изолентис

Полина Климова

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике запись закреплена

Бектур Абдыразаков

Людмила, спасибо

Бектур Абдыразаков

Бектур Абдыразаков ответил Анне

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике запись закреплена

В 2012 году была создана группа "репетитор по математике в Тольятти"

1 июля 2014 года (в день получения диплома универа) мне пришла идея назваться "Школа Пифагора"

За 10 лет в группе собралось 100 000 человек (за первые 4 года ~ 1 000, за следующие 6 лет ~ 99 000)

100 000 людей нажали на кнопочку "подписаться", потому что им заходит то, что я делаю, в шоке с этого до сих пор

Антон Есиков

Лучший репетитор по математике в рунете

Лиза Михайлова

Пифагор лучший, ребята! Говорю как его выпускница, честно набравшая 82 балла! (в начале года и 40 не набирала))

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике запись закреплена

Дмитрий Чурилов

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике запись закреплена

"Евгений, моя учительница сказала, что в 12 задании обязательно надо заключать t1 и t2 в квадратную скобку. Сказала, что без этого поставят 0 баллов, это правда?"

Мой ответ: можно оформлять через квадратную скобку, можно и без неё

Могу ли я ошибиться в каком-то ответе на подобный вопрос? Конечно, поэтому существует методичка для проверяющих, где можно найти ответы на все самые спорные ситуации

Открываете 5 страницу, там в официальном фипишном решении пишется "или" в такой ситуации, значит за отсутствие квадратной скобки баллы не снизят естественно в такой ситуации

1) Угол OMN = (180-64)/2 = 58 т.к. треугольник OMN - равнобедренный и углы при основании равны 2) Угол OMP = 90 - 58 = 32 т.к. угол M равен 90 градусов. Одну часть этого угла мы знаем, вторую находим Ответ: 32 Читать далее

На канале в ютубе и в группе vk готовлю выпускников к ЕГЭ и ОГЭ по математике с помощью. · 18 нояб 2019 ·

В первой корзине х кг овощей Во второй корзине 0,8х кг овощей (если х - 100%, то на 20% меньше - это 80% или 0,8 от x) Уравнение x + 0,8x = 7,92 1,8x = 7,92 x = 4,4 (кг) - в одной коризне 0,8х = 0,8 * 4,4 = 3,52 (кг) - в другой корзине Ответ: 4,4 и 3,52 Читать далее

На канале в ютубе и в группе vk готовлю выпускников к ЕГЭ и ОГЭ по математике с помощью. · 10 окт 2019 ·

1) Сначала находим CH по теореме Пифагора из треугольника BCH 2) Находим AH, ведь мы знаем AC и CH 3) Находим AB по теореме Пифагора из треугольника ABH 4) Находим медиану по формуле нахождения длины медианы из треугольника ABC Читать далее

p(a-3) - p(a+3), если p(a) = 4a

На канале в ютубе и в группе vk готовлю выпускников к ЕГЭ и ОГЭ по математике с помощью. · 9 сент 2019 ·

p(a) = 4a Это означает, что если подставить а, то получится 4а Например Если подставить "х", то получится p(х) = 4х Если подставить "3х", то получится p(х) = 4*3х Подставим вместо "а" выражение "а-3" p(a-3)=4*(a-3)=4a-12 Подставим вместо "а" выражение "а+3" p(a+3)=4*(a+3)=4a+12 Теп. Читать далее

3a+b+9c, если 9a+b=21, 2b+27c=6

На канале в ютубе и в группе vk готовлю выпускников к ЕГЭ и ОГЭ по математике с помощью. · 9 сент 2019 ·

Сложим левые и правые части двух уравнений: ( 9a+b=21 и 2b+27c=6 ) 9a+b+2b+27c=21+6 9a+3b+27c=27 Заметим, что каждый элемент уравнения делится на 3. Разделим обе части уравнения на 3: 3a+b+9c=9 Ответ: 9 Читать далее

На канале в ютубе и в группе vk готовлю выпускников к ЕГЭ и ОГЭ по математике с помощью. · 9 сент 2019 ·

Да, я сам 3 раза сдавал ЕГЭ будучи уже репетитором. Как только подаёшь заявление на новый экзамен, но старых пропадает с сайта. Но твои результаты хранятся в системе ещё 4 года, т.е. если сдать математику например на 80, 82, 76 и 78. То прийдя в универ тебе зачтут 82 балла.

На канале в ютубе и в группе vk готовлю выпускников к ЕГЭ и ОГЭ по математике с помощью. · 24 нояб 2018 ·

Большое спасибо за объяснение экономической. До этого тоже решал ее, но не мог запомнить, от чего отталкиваться. Ты все по полочками разложил

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике pinned post

Разобрали книжку с задачами основной волны 2019

Надеюсь Вам выпадет удачный вариант и Вы напишите как можно лучше

Верю в Вас

НЕ ХОЧУ РАССТАВАТЬСЯ С ЕВГЕНИЕМ . ПИФАГОР ЛУЧШИЙ

Просто плачу:( спасибо за этот год! Вы - самый лучший преподаватель!
Ребята из чата, вы тоже безумно крутые!
Всем желаю отличных вариантов!

Не успела в чате: Ваши стримы и их записи придавали мне уверенности в себе, спасибо огромное за Ваш труд!

Школа Пифагора ЕГЭ и ОГЭ по математике pinned post

7-8 июля с 16:00 мск - полный разбор книжки со всеми задачами, выпавшими на основной волне 2019 года

ЧТО ДЕЛАТЬ ВАМ?
1) распечатайте файлик "для работы со стримом "
2) решаете всё, что успеете из файлика "для работы со стримом"
3) приходите на стрим и сверяетесь с ответами
4) на стриме смотрите и пытаетесь разобраться со всеми заданиями книжки, которые не получилось решить самостоятельно

Очень вероятно, что многие задания совпадут. Даже если какой-нибудь один лишь параметр будет совпадать - это уже будет означать, что два дня стрима проведены не зря

Читайте также: