Лакатос доказательства и опровержения краткое содержание

Обновлено: 07.07.2024

2.Метод устранения исключений — выявление условий, ограничивающих область применения гипотезы, т. е. первоначальное предположение не отбрасывается, а уточняется, но это уточнение носит внешний характер по отношению к сути самого доказательства в форме мысленного эксперимента.

И. Лакатос нарисовал достаточно широкую картину логической реконструкции, истолкования исторического процесса познания в форме взаимодействия различных исследовательских программ, линий развития знания, отправляющихся от исходного основания (твердого ядра) и предполагающих в качестве механизма своей регуляции негативные и позитивные эвристики. Первые носят скорее оборонительный характер и направлены на сохранение твердого ядра программы при столкновении с контрпримерами; вторые (наступательные) учат тому, как развивать исследования в рамках программ, как совершенствовать теории, создаваемые на основе данной программы, каким испытаниям нужно подвергнуть для этого принятые утверждения.

Исследовательская программа может быть либо прогрессирующей (если теоретический рост предвосхищает рост эмпирический и программа с успехом предсказывает новые факты), либо регрессирующей (если новые факты появляются неожиданно, а программа дает им запоздалые объяснения). Если одна из конкурирующих программ прогрессивно объясняет больше, чем другая, то первая вытесняет вторую. Главное, по И. Лакатосу, — это внутреннее единство тенденций оправдания и опровержения исходных предположений, которое определяет непрерывность развития наук, обогащение и конкретизацию исходного содержания, выведение одних форм знания из других под влиянием противоречий самого познания.

17. Исследовательские программы в психологии и генезис психологических знаний (два-три авторских подхода).

1. Натуралистический подход в психологии.

Подход, о котором идет речь и который заключается в том, что взаимоотношения человека и общества рассматриваются натуралистически, т.е. по аналогии со взаимоотношениями животного и среды, является одним из тех, которые в теоретико-познавательном плане обосновывают прагматическую точку зрения.

2. Культур-центристская (гуманистическая) программа в психологии.

В зарубежной психологии к середине XX века отчетливо проявилась тенденция к преодолению жестких рамок натуралистической парадигмы и изменению соответствующих исследовательских программ. Наряду с включением отдельных элементов гуманитарной исследовательской программы в контекст изначально натуралистически ориентированных направлений психологии эта программа нашла свое более или менее последовательное выражение в концепциях таких представителей зарубежной психологии, как Ш. Бюлер, А. Маслоу,

Формирование конкретных исследовательских программ гуманистической психологии в контексте гуманитарной парадигмы исследования происходило в процессе практической работы психологов с людьми, в ходе которой оказание психотерапевтом реальной помощи клиенту оказывалось неотделимым от их совместного познания тайн психической жизни в ситуации встречи двух личностных миров, открытых друг другу.

Генезис психологических знаний.

Психология в своем развитии прошла следующие этапы:

1. Этап - психология как наука о душе.

Такое определение психологии было дано более 2000 лет назад. Наличием души пытались объяснить все непонятные явления в жизни человека.

2. Этап - психология как наука о сознании.

Возникает в XVII веке в связи с развитием естественных наук. Способность думать, чувствовать, желать назвали сознанием. Основным методом изучения считалось наблюдение человека за самим собой и описание фактов.

3. Этап - психология как наука о поведении.

Возникает в XX веке. Задача психологии в этот период – ставить эксперименты и наблюдать за тем, что можно непосредственно увидеть, а именно: поведение, поступки, реакции человека. При этом мотивы, вызывающие поступки, не учитывались.

4. Этап – психология как наука, изучающая объективные закономерности, проявления и механизмы психики.

Лакатос И. Доказательства и опровержения : как доказываются теоремы / Акад. наук СССР ; пер. с англ. И. Н. Веселовского ; [отв. ред. И. Б. Погребысский]. — М. : Наука, 1967. — 152 с. — Библиогр. с. 146—151.

Закладок нет. Вы можете добавить закладку, нажав на иконку в правом верхнем углу страницы.

Обложка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 Обложка (с. 4)

§ 1. Доказательства и опровержения

Приведем вначале очень сокращенную сводку основного хода изложения в “Доказательствах и опровержениях”.

1. Задача и догадка. Возникает основная догадка.

2. Критика догадки при помощи глобальных контрпримеров. Ученик “Альфа” предлагает глобальный контрпример “вложенный куб” (куб в кубе, Cb 2 ). Это контрпример для основной догадки, т.к. здесь V-E+F=4.

§ 2. Процесс обогащения знания

Переходя теперь к попытке обобщения описанного процесса обогащения понятий, введем некоторые предварительные определения.

1. Ментальная онтология.

- объекты: основные (многогранник), объекты-целые (системы многогранников), объекты-части (многоугольник, ребро, вершина),

- преобразования объектов, например, вырезание грани, растяжение.

- Гипотезы: основная (основная догадка), вспомогательные (формулировки лемм).

- Определения объектов, преобразований, предикатов.

- Контрпримеры для гипотез: глобальные или локальные.

Все подобного рода концепты пока могут быть вполне выражены в рамках той или иной формальной теории Т в обычном ее понимании (например, как теории первого порядка).

2. Процесс обогащения знания на основе контрпримеров.

Далее, наблюдая выше, каким образом происходит обогащение того или иного понятия в результате атаки контрпримерами, можно отметить во всех подобных случаях некоторый типичный механизм, который можно называть процессом обогащения знания на основе контрпримеров. Этапы этого процесса следующие:

1. Есть некоторое суждение p и контрпример k для него, т.е. k – это такая сущность, что для k неверно р. Суждение р может быть основной догадкой (тогда k – глобальный контрпример) или формулировкой какой-либо леммы (тогда k – локальный контрпример).

Рассмотрим с этой точки зрения некоторые методы анализа, описанные выше.

2. Метод устранения монстров (Met₂). В этом случае мы также имеем дело с глобальным контрпримером k, т.е. контрпримером для основной догадки H в некоторой теории Т. В процедурах Bas_L(H,k) = ù_UС и Bas_Т(H,k) = С выясняются основания ложности (ù_UС) и неложности (С) основной догадки для контрпримера. Опровергаемое контрпримером k понятие N, входящее в основную догадку, трактуется устранителями монстров как пара (N,С), что делает неопровержимой контрпримером основную догадку. Кроме того, ограничение понятия N до (N,C) рассматривается в данном методе как ограничение в рамках определения понятия N, т.е. множество объектов, ранее обозначаемых понятием N, теперь считаются охватываемым понятием (N,C). Основную догадку H, содержащую понятие N как пару (N,С), обозначим через H[(N,С)] = H[N]¯С. Т.о. теория Т ограничивается устранителями до теории Т¯С, где Т¯С – это та же теория Т, за исключением того, что вхождения понятия N в основную догадку H и связанные с этим вхождения этого понятия в теории Т меняются на (N,С). В результате такого рода процедуры контрпример k для теории Т¯U оказывается исключением для теории Т¯С.

Итак, в любом из описанных методов мы можем видеть, что первоначальная теория Т заменяется некоторой теорией Т*, где Т* имеет вид Т¯Х для некоторого ограничивающего понятия Х. Сущность k в этом случае является контрпримером только для теории Т¯U и исключением для теории Т¯С. Поэтому, если быть точным, то следует заметить, что сущность k вообще не определена как контрпример или исключение для теории Т. То или иное ее определение уже тем самым предполагает рассмотрение не теории Т, но Т¯Х. В переходе же от Т к Т¯Х нет логической необходимости, по крайней мере, в обычном смысле формальной логики. Поэтому Лакатос и утверждает, что все контрпримеры являются эвристическими, всегда предполагая внелогическую предпосылку замены теории Т на теорию Т¯Х. Отсюда же вытекает и постоянная смена языков в процессе познания, т.к. новая теория Т¯Х – это всегда и новый язык по отношению к языку теории Т.

Теория Т может обогащаться по многим понятиям Р_i, неоднократно обогащаясь в рамках одного понятия с образованием все новых понятий. В связи с очередным принятием понятия P j _i образуется и соответствующая теория Т j из предшествующей теории Т j-1 .

В результате описанных выше неоднократных обогащений теория Т трансформируется в теорию Т j , и возникает множество исключений для этой теории, бывших ранее глобальными контрпримерами для более ранних версий теории Т j . Одновременно теория Т j и включает в себя локальные и неглобальные контрпримеры своих более ранних версий. Таков итог действия метода анализа.

Далее, начиная с некоторого момента, может возникнуть некоторая новая теория Т*, которая на основе метода синтеза включит в себя как примеры теории Т j , так и ее исключения. Затем, теперь уже по отношению к теории Т*, вновь может повториться вся описанная процедура. Метод синтеза дает надежду на преодоление этого диссонанса, стремясь включить в теорию Т* по возможности максимальное число универсумов обогащений понятий.

Итак, в развитии знания теперь можно было бы говорить о следующих основных этапах:

1. Этап анализа, когда преобладает метод анализа и происходит неоднократное обогащение на основе контрпримеров первоначальной теории Т до некоторой теории Т j .

2. Этап синтеза, на котором методом синтеза создается некоторая теория Т*, включающая, как свои примеры, примеры и исключения теории Т j .

Далее логика развития знания может воспроизводить себя уже на более высоком уровне теории Т*.

Развитие знания в этой модели предполагает рассмотрение понятий не как законченных образований, но как цепей, возможно бесконечных, универсумов последующей дифференциации первоначального понятия. Такие цепи тянутся из любого понятия. Теория включает в себя всегда только некоторые отрезки понятийных цепей. Причем, такое включение может быть двояким: теория может включать в себя либо только части универсумов последующей дифференциации (продолжая исключать контрпримеры), либо универсумы в целом (включая в себя и бывшие контрпримеры). Образно теоретическое знание можно представить в виде своего рода ежа, в качестве иголок которого выступают понятийные цепи, а сама теория дана как тот сгусток ментальной плоти, на меру которой удается погрузить внутрь себя, в состав теоретических синтезов, отрезки понятийных цепей. По мере развития знания, по-видимому, растет как число иголок, так и объем теоретического тела, все полнее погружающего в себя эти иглы. Классическая формальная модель научной теории оказывается в этом случае результатом фиксации определенного этапа развития научного знания, выражаемого в обрезании понятийных цепей до некоторых проявленных контрпримерами отрезков этих цепей и представлении научной теории в меру достигнутого ею синтеза на таких понятийных отрезках.

§ 3. Философия исследовательских программ

Работа посвящена особенностям и принципы создания и анализа текста. Большое внимание уделено логической структуры текста и логике предложения. В работе рассматривается процесс образования искусственного понятийного пространства, которое образуют совокупность предложений с заданным словом.

Если у Вас есть хорошие книги и учебники в электронном виде, которыми Вы хотите поделиться со всеми - присылайте их в Библиотеку Научной Литературы [email protected] .

Произведения	4 911
Биографии	2 004
Библиографии	10 251
Словари	161
Словарные статьи	1 244 715

Введение

В истории мысли часто случается, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть решены, в то время как все остальное игнорируется, даже забывается, а изучением его пренебрегают.

Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремительного развития метаматематики.

При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.

Так вот, для живой математики непригодна эта мрачная альтернатива машинного рационализма и иррационального отгадывания вслепую[9]. Исследование неформальной математики дает творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни механической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания, тем более поощрения формалистской философии.

История математики и логика математического открытия, т. е. филогенез и онтогенез [10] математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.

Цель этого этюда и есть этот вызов математическому формализму, но это не прямой вызов основным положениям математического догматизма. Наша скромная цель состоит в установлении положения, что неформальная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений. Поскольку, однако, метаматематика представляет парадигму неформальной квазиэмпирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов современному математическому догматизму. Исследователь недавней истории метаматематики найдет на его собственном поле описанные здесь образцы.

1. Задача и догадка

Диалог происходит в воображаемой классной комнате. Класс заинтересовался задачей: существует ли соотношение между числом V вершин, числом Е ребер и, наконец, числом F граней многогранника — в частности, правильного многогранника — аналогично тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольников, а именно: что существует столько же сторон, сколько и вершин: V = Е? Последнее соотношение позволяет классифицировать многоугольники по числу сторон (или вершин): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. Аналогичное соотношение поможет классификации многогранников.

После большого количества испытаний и ошибок класс замечает, что для всех правильных многогранников V - E + F =2[12].

Кто-то высказывает догадку, что это может быть приложимым к любому многограннику. Другие пытаются оспорить эту догадку, испытать ее многими разными способами — она выдерживает хорошо. Этот результат подкрепляет догадку и наводит на мысль, что она может быть доказана. В этот момент — после стадий постановки задачи и догадок — мы входим в классную комнату[13]. Учитель как раз готовится дать доказательство.

2. Доказательство

Учитель. На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранников V — Е + F = 2, где V — число вершин, Е — число ребер и F — число граней. Мы испытали ее различными способами. Но мы пока еще не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?

Ученик Сигма . Я со своей стороны должен сознаться, что пока еще не придумал строгого доказательства этой теоремы. Однако истинность ее была установлена в очень многих случаях, и не может быть сомнения, что она справедлива для любого тела. Таким образом, это предложение, по-видимому, доказано вполне удовлетворительно[14]. Но если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.

Учитель. Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте. Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, но V , Е и F не изменятся, так что если и только если V — Е + F = 2 для первоначального многогранника, то V — Е + F — 1 для этой плоской сети — вспомните, что мы одну грань удалили. (На рис. 1 показана такая сеть для куба.) Второй шаг. Теперь мы стриангулируем нашу карту — она действительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые еще не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем и E и F на единицу, так что сумма V — Е + F не изменится (рис. 2).

Третий шаг. Теперь будем вынимать из триангулированной сети треугольники один за другим. Вынимая треугольник, мы или вынимаем ребро, причем исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3, б). Таким образом, если V — Е + F = 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получаем один треугольник. Для него V — Е + F = 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу догадку[15].

Ученик Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой. Теперь здесь уже нет ничего из области догадок[16].

Ученик Альфа. Не знаю. Я вижу, что этот эксперимент можно выполнить с кубом или с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести с любым многогранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, что всякий многогранник после устранения одной грани может быть развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага.

Ученик Бета . Уверены ли вы, что при триангулировании карты вы всегда получите новую грань для любого нового ребра? У меня есть сомнения относительно вашего второго шага.

Ученик Гамма. Уверены ли вы, что когда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получатся только две альтернативы — исчезновение одного ребра или же двух ребер и одной вершины? Уверены ли вы также, что в конце процесса останетесь только с одним треугольником? У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага[17].

Учитель. Конечно, я не уверен.

Дельта. Ну а что же он тогда делает? Что же, по-вашему, доказывает математическое доказательство?

3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными

Учитель. Подсказанное доказательством разложение догадки открывает новые горизонты для проб. Это разложение более широким фронтом развертывает догадку, так что наш дух критики получает большее количество целей. Мы теперь вместо одной имеем по меньшей мере три возможности для контрапримеров.

Гамма. Я уже выразил мое несогласие с вашей третьей леммой (а именно, что при вынимании треугольников из сети, получившейся после растягивания и последующей триангуляции, мы имеем только две возможности: мы убираем или только одно ребро, или же два ребра с вершиной). Я подозреваю, что при удалении треугольника могут появиться и другие возможности.

Учитель. Подозрение — это еще не критика.

Гамма. А контрапример будет критикой?

Учитель. Конечно. Догадкам нет дела до несогласий или подозрений, но они не могут игнорировать контрапримеры.

Тета (в сторону). Догадки, очевидно, сильно отличаются от тех, кто их представляет.

Гамма. Я предлагаю очень простой контрапример. Возьмем триангуляционную сеть, которая получилась после проведения на кубе двух первых операций (см. рис. 2). Теперь, если я удалю треугольник изнутри этой сети, как можно вынуть кусок из головоломки, то я вынимаю только один треугольник без удаления каких-нибудь ребер или вершин. Таким образом, третья лемма неверна — и не только в случае куба, но для всех многогранников, кроме тетраэдра, для которого в плоской сети все треугольники будут граничными. Таким образом, ваше доказательство доказывает теорему Эйлера для тетраэдра. Но ведь мы уже и так знали, что для тетраэдра V — Е + F = 2, так зачем же это доказывать?

Учитель. Вы правы. Но заметьте, что куб, который представляет контрапример для третьей леммы, не будет контрапримером для основной догадки, так как для куба V — Е + F = 2. Вы показали, что аргументация доказательства имеет недостаток, но это не значит, что наша догадка ложна.

Альфа. Так, вы теперь снимете c вое доказательство?

Учитель. Нет. Критика не всегда будет необходимо разрушением. Я просто исправлю мое доказательство, чтобы оно устояло против этой критики.

Гамма. Как?

Гамма. Значит, догадка может быть верной, но ваше доказательство ее не доказывает.

Гамма. Не думаю, чтобы ваше замечание было таким пустяковым; оно, конечно, очень остроумно. Чтобы выяснить это, я покажу, что оно неверно. Возьмем опять плоскую сеть для куба и отнимем восемь из десяти треугольников в последовательности, указанной на рис. 4. При вынимании восьмого треугольника, который, конечно, будет тогда граничным, мы отняли два ребра и ни одной вершины, а это изменит V — Е + F на 1. И мы остались с двумя отдельными треугольниками 9 и 10.

Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V — Е + F не изменялось, то V — Е + F не будет изменяться.

Учитель. Нет. Лемма заключается в том, что треугольники в нашей сети могут быть перенумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V — Е + F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника.

Ро. Исчез только третий шаг.

Каппа. Кроме того, улучшили ли вы лемму? Ваши первые две версии по крайней мере до их опровержения казались тривиально простыми, а ваша длинноватая заплатанная версия даже не кажется очевидной. Можете ли вы верить, что она избежит опровержения?

Учитель. Вопрос хорош — поставим его завтра в повестку дня.

[1] См. Чёрч (Church) (1956), 1, стр. 76—77. Также у Пеано (1894), стр. 49 и у Уайтхеда — Рассела (1910—1913), 1, стр. 12. Это интегральная часть евклидовой программы, формулированной Паскалем (1657—1658); ср. Лакатос (1962), стр. 158.

[2] Ситуационная логика — принадлежащий, по-видимому, Попперу малораспространенный термин, обозначающий логику продуктивную, логику математического творчества.— Прим. пер.

[3] Подробности и аналогичные ссылки см. в библиографическом списке в конце статьи.

[6] Polya (1945), в особенности стр. 102 и также (1954), (1962а); Bernays (1947), в особенности стр. 187.

[7] Popper (1934), затем (1945), в особенности стр. 90 в четвертом издании (1962, стр. 97), а также (1957), стр. 147 и сл.

[11] По поводу дискуссии относительно роли математики в догматико-скептическом споре см. мою работу (1962).

[13] Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал ее на призмах, пирамидах и т. д. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырех цветов вполне достаточно для раскрашивания карты.

[14] Так думал Эйлер в 1750 г. (стр. 119 и 124). Но позднее (1751) он предложил доказательство.

[15] Идея этого доказательства восходит к Коши (1811).

[17] Этот класс, по-видимому, очень передовой. Для Коши, Пуансо и многих других прекрасных математиков XIX в. эти вопросы не существовали.

[18] Мысленный эксперимент ( deiknymi) был наиболее древним образом математического доказательства. Он преобладал в доевклидовой греческой математике [см. Шабо ( A. Szabo, 1958)].

[20] Коши думал, что для нахождения на каждой стадии треугольника, который может быть вынут с устранением или двух ребер с вершиной, или лишь одного ребра, можно дать очень простую инструкцию для любого многогранника (1811, стр. 79). Это, конечно, связано с неспособностью вообразить многогранник, который не был бы гомеоморфным со сферой.

Читайте также: