Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики сообщение

Обновлено: 05.07.2024

При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам комбинаторики.

Правило произведения

Если объект %%A%% можно выбрать из совокупности объектов %%n%% способами и после каждого такого выбора объект %%B%% можно выбрать %%m%% способами, то упорядоченная пара объектов %%(A, B)%% может быть выбрана %%nm%% способами.

Это выражение называют основной формулой комбинаторики.

Правило суммы

Если некоторый объект %%A%% может быть выбран из совокупности объектов %%n%% способами, а другой объект %%B%% может быть выбран %%m%% способами, то выбрать либо %%A%%, либо %%B%% можно %%n + m%% способами.

Определения

Выборку, в которой не учитывают порядок выбора элементов, называют сочетанием, а выборку, в которой учитывают порядок выбора элементов, — размещением. При этом если рассматривают выборку с возвращением, то сочетание (размещение) называют сочетанием (размещением) с повторениями, а если рассматривают выборку без возвращения, то сочетание (размещение) называют сочетанием (размещением) без повторений, или просто сочетанием (размещением).

Размещение без повторений из %%n%% элементов по %%n%% элементов называют перестановкой из %%n%% элементов.

Обозначения и вычисление

Размещение из %%n%% элементов по %%k%%, где %%k \leq n%%, обозначается %%A_n^k%% и вычисляется по формуле $$ A_n^k = \frac, $$ где %%n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n%% и читается как %%n-%%факториал. По определению %%0! = 1%%.

Сочетанием из %%n%% элементов по %%k%%, где %%k \leq n%%, обозначается %%C_n^k%% и вычисляется по формуле $$ C_n^k = \frac $$

Перестановка из %%n%% элементов обозначается %%P_n%% и вычисляется по формуле $$ P_n = n! $$

Примеры

Элементарным исходом в данном опыте является любая тройка карточек с учетом порядка их выбора, т.е. размещение из %%n = 6%% элементов по %%k = 3%% элементов. Поэтому число этих исходов равно числу размещений из шести элементов по три элемента, т.е. $$ N = A_6^3 = \frac = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120. $$ Очевидно, что число исходов, благоприятствующих событию %%A%%, $$ N_A = 1. $$ Следовательно, $$ P(A) = \frac = \frac. $$

К Новому году четырем детям были приготовлены подарки. Дед Мороз перепутал подарки и вручил их детям случайным образом. Найдем вероятность %%P(A)%% того, что каждый ребенок получил свой подарок.

В данном случае число элементарных исходов равно числу перестановок из %%n = 4%% элементов, т.е. $$ N = P_4 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24. $$ Поскольку число благоприятствующих событию %%А%% исходов %%N_A = 1%%, то $$P(A) = \frac = \frac.$$

В партии из %%10%% деталей %%7%% стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей четыре стандартных.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь %%6%% деталей из %%10%%, т.е. числу сочетаний из %%10%% элементов по %%6%% элементов %%C_%%.

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию %%A%% (среди шести взятых деталей - 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей %%C_7^4%% способами; при этом остальные %%6 - 4 = 2%% детали должны быть нестандартными; взять же %%2%% нестандартные детали из %%10 - 7 = 3%% нестандартных деталей можно %%C_3^2%% способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов, по правилу произведения, равно %%C_7^4\cdot C_3^2%%.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных $$ P(A) = \frac^6> = \frac\frac>> = \frac = \frac. $$

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

При решении многих комбинаторных задач часто используются два важных правила: правило суммы (сложения) и правило произведения (умножения).

1). Правило суммы. Если из множества А элемент а₁ можно выбрать n₁ способами, элемент а₂ – другими n₂ способами и т.д., элемент а_k – n_к способами, отличными от предыдущих, то выбор элемента а₁ , или элемента а₂ , или и т.д. или элемента а_к можно выполнить:

Пример 1. В ящике 200 деталей, причём 130 из них первого сорта, 20 – второго, а остальные – третьего сорта. Сколькими способами можно извлечь из ящика одну деталь первого или второго сорта?

Решение. Деталь первого сорта может быть извлечена n₁ = 130 способами, второго сорта n₂ = 20 способами. По правилу суммы существует n₁ + n₂ = 130 + 20 = 150 способов извлечения одной детали первого или второго сорта.

Замечание 1. Правило суммы, сформулированное выше, относится к n₁, n₂, … , n_k способам выбора элементов из множества А. Подчеркнём, что эти выборы являются взаимно исключающими. Кроме того, это правило может быть отнесено к различным конечным множествам, например, А=х₁, х₂, … , х_m> и В=у₁, у₂, … , у_n>, причём А ∩ В= . Применительно к этому случаю число способов выбора одного (произвольного) элемента из множества А В равно m + n.

2). Правило произведения. Если А – некоторое множество, из которого выбор элемента а₁ можно осуществить n₁ способами, после этого выбор элемента а₂ можно осуществить n₂ способами и т.д. и, после выбора элемента а_к-1, элемент а_к можно выбрать n_k способами, то одновременный выбор элементов а₁ , а₂, … , а_к в указанном порядке можно выполнить n = n₁ ∙ n₂ ∙ … ∙ n_k способами.

Замечание 2. Применим это правило к конечным множествам А = а₁, а₂, … , а_m> и В = b₁, b₂, … , b_n>, содержащими соответственно m и n элементов. Пусть в начале из множества А выбирается один (произвольный) элемент, а затем из множества В – второй элемент. Тогда число возможных комбинаций вида ( а_i, b_j ), i =1, 2, … , m, j =1, 2, … , n, построенных в указанном порядке, т.е. а_i Î А, b_j Î В, равно m∙n. Смысл этого правила выясняется с помощью следующей таблицы.

Замечание 3. Правила суммы и произведения легко обобщаются на случай любого конечного числа конечных множеств, если при этом используются определения, основанные на множествах.

Пример 2. Из одного объекта ( объекта А) в другой объект (объект В) ведут 5 дорог, а из объекта В в объект С ведут 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Решение. Первое действие – переезд из А в В, второе действие – переезд из В в С. Первое действие можно осуществить 5-ю способами (n₁=5), второе действие – другими 3-мя способами (n₂=3). Последовательное выполнение первого и второго действий – это переезд из А в С через В. По правилу произведения общее число способов перехода из А в С равно n = n₁ ∙ n₂ = = 5 ∙ 3 = 15.

Перейдем теперь непосредственно к построению формул комбинаторики. Каждая из формул определяет число всевозможных исходов в опыте, в котором наудачу выбираются m элементов из n различных элементов исходного множества элементов. В теории вероятности используются две схемы выбора m элементов из n элементов: а) схема выбора без возвращения (без повторения); б) схема выбора с возвращением (повторением).

В случае а) выбранные элементы не возвращаются обратно в исходное множество, а в случае б) – возвращаются (поэлементно). Причём в случае а) m элементов можно отобрать все сразу или последовательно, по одному и результат от этого не меняется. В случае б) отбор осуществляется поэлементно.

В данном кратком изложении основ теории вероятностей в дальнейшем рассматривается только схема а) ‒ без возвращения и 3 вида комбинаций: размещения, перестановки, сочетания.

Размещение из n элементов по m элементов – это любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов. Иными словами – размещения – это выборки элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Размещения обозначаются А (читается “А из n по m“). Из правила произведения следует:

А = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ (n – (m – 1)), (1.1)

А = , где n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, 1! = 1, 0! = 1. (1.2)

Формула (1.1) получается так. Для получения размещения А необходимо выбрать m элементов из множества с n элементами и упорядочить их в выборке с m местами. Для этого первый элемент можно выбрать n способами, т.е. на первое место в выборке можно поставить любой из n элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся (n – 1) элементов (n – 1) способами и т.д., а для последнего m-го элемента остаётся n – (m – 1) способов. Следовательно, по правилу произведения всего существует n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ (n – (m – 1)) способов выбора m элементов из данных n элементов. Таким образом, для размещения А получается формула (1.1). Формула (1.2) получается путем умножения числителя и знаменателя на (n – m)!, где

Пример 3. Из множества, состоящего из трёх элементов, обозначаемых a, b, c, составить размещения по два элемента.

Решение. Из трёх указанных элементов составляются следующие размещения: ab, ac, bc, ba, ca, cb. Получается число размещений 6. По формуле (1.1) также получаем А = 3 ∙ 2 = 6.

Замечание 4. В формуле (1.1) для размещений А входит m сомножителей, так что, например, А = 6 ∙ 5 ∙ 4 (n = 6, m = 3); А = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 (n = 7, m = 5).

Сочетания из n элементов по m – это любое неупорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Обозначается С (читается “С из n по m “).

Из определения следует, что сочетания – это выборки (комбинации) элементов, каждая из которых отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Таким образом, эти выборки элементов отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

С = или С = . (1.3)

Можно показать, что справедливы следующие формулы:

С = С (m n), (1.4)

C + C + C + … + C = 2 n ,

С = C + C (1 . Числа C , C ,…, C в этой формуле есть коэффициенты в разложении бинома Ньютона:

(а + b) n = C a n b 0 + C a n -1 b + … + C a 0 b n .

Пример 4. Составить различные сочетания из 3-х элементов по 2 элемента.

Решение. Пусть исходное множество есть а, b, с>. Для выбранного множества получаются следующие комбинации – сочетания: (а, b); ( a, c); (b, c), т.е. составляются три комбинации. По формуле (1.3) получим С = Заметим, что здесь каждая пара полученных комбинаций (пар элементов) отличается только одним элементом.

Пример 5. В группе горных рабочих имеются 10 электриков и 3 разнорабочих. Сколькими способами можно сформировать бригаду, состоящую из 5 электриков и 2-х разнорабочих?

Решение. Электриков можно выбрать С = способами. Выбрать два разнорабочих из имеющихся трёх можно С = =3 способами. Поэтому бригаду из пяти электриков и двух разнорабочих можно сформировать С ∙ С = 756 способами (по правилу произведения).

Эта формула следует из определения перестановки:

Р_n = А = = = n!.

Пример 6. Составить различные перестановки из элементов А = и подсчитать их число.

Решение. Из этих элементов можно составить следующие комбинации: (1,5,8), (1,8,5), (5,1,8), (5,8,1), (8,1,5), (8,5,1). По формуле (1.5) получим

Р₃ = 3! =1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Замечание 5. Для обозначения перестановок используется латинская буква P с обязательным нижним индексом (не путать с обозначением вероятности).

На этом уроке мы поговорим о том, как вычисляют количество различных комбинаций (от автомобильных номеров до расписания рейсов) и как это используется в окружающем нас мире (в частности, при решении различных задач логистики). Кроме того, мы обсудим роль случая в жизни человека и то, с помощью каких математических инструментов можно оценить вероятность наступления того или иного события.

Читайте также: