Унарная система счисления сообщение

Обновлено: 05.07.2024

Система счисления

Задумывались ли вы над тем, почему при сложении тех или иных чисел получается строго определённое число? А почему мы обходимся всего десятью цифрами? Странные вопросы. Дело в том, что мы привыкли проводить вычисления, используя всего одну и ту же систему счисления. Однако это было так не всегда.

Системой счисления принято называть знаковую систему, в которой были приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают числа, мы называем цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Для любой системы счисления, цифры которые служат для обозначения чисел, называемые узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате операций над узловыми числами.

В Древнем Вавилоне узловыми числами выступали 1,10,60;

Системы счисления отличаются друг от друга выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. В информатике выделяют такие виды систем счисления, как:

унарная система;
непозиционная система;
позиционная система.

Унарная система

В самой древней и простой унарной системе счисления, для записи любых чисел использовался всего лишь один символ — в виде зарубки, выемки, узелка или камушка.

Чем больше зарубок - тем больше число. По сути, эта система является основой любого счёта. Унарная система, по-другому, ещё называется системой бирок.

Если вы думаете, что не пользуетесь этой системой счисления, тогда не считайте на пальцах!

Непозиционная система счисления

Для такой системы счисления количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Примерно в III тысячелетии до н.э. древние египтяне разработали десятичную непозиционную систему счисления, в которой для обозначения узловых чисел 1, 10, 100 использовались символы – иероглифы.

В большинстве непозиционных систем счисления новые числа образуются путём сложения узловых чисел.

Каноническим примером непозиционной системы счисления всегда приводится римская система счисления. В качестве узловых цифр здесь применялись заглавные буквы латинского алфавита:

I = 1,
V = 5,
X = 10,
L = 50,
C = 100,
D = 500,
M = 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает единицу независимо от места в числе.

Однако римская система не может быть полностью непозиционной, так как меньшая цифра, которая стоящая слева перед большей, должна вычитаться из неё:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Непозиционной системой счисления являлась и кириллическая система счисления — система счисления, применяемая на территории Древней Руси до XVIII века, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы.

Позиционная система счисления

В позиционной системе счисления, количественный эквивалент цифры как раз зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления соответствует количеству цифр, которые составляют её алфавит.

Основным примером позиционной системы счисления является десятичная система записи чисел, к которой мы все так уже привыкли с детства, и в которой производим все основные математические вычисления.

Основанием позиционной системы счисления является любое натуральное число q>1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0,1. q−1, каждое из которых записывается при помощи одного уникального символа; младшей цифрой всегда выступает 0.

Основными преимуществами любой позиционной системы счисления являются простота выполнения арифметических операций и небольшое количество символов, используемых в записи чисел.

Представление числа в позиционной системе счисления

В позиционной системе счисления с основанием q всякое число может быть представлено по формуле (развёрнутая форма записи):

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде:

2⋅10 4 +1⋅10 3 +4⋅10 2 +6⋅10 1 +6⋅10 0 +1⋅10 −1 +2⋅10 −2 .

Десятичная система счисления, несмотря на свою универсальность, имеет большой недостаток - она избыточна, так как имеет большой алфавит. Для компьютерной техники наиболее удобной оказалась двоичная система счисления, поэтому мы рассмотрим её в следующем уроке.

© 2013-2020 Информатика. Полезные материалы по информационным технологиям. Использование материалов без активной ссылки на сайт запрещено! Публикация в печати только с письменного разрешения администрации.

Здравствуйте, в этой статье пойдет речь про унарную систему счисления. Ниже мы разберем основные определения, касающиеся данной темы, историю происхождения, её достоинства и недостатки. Рассмотрим области, где применяется эта система исчисления, примеры и её значение в информатике и других прикладных науках.

Экскурс в прошлое

Как только древние люди научились подсчитывать предметы, то сразу появилась потребность в отображении чисел. Для подсчета добычи, овец или жителей племени использовались зарубки на деревьях, засечки на костях животных и стенах пещер, камушки, и другие предметы, с помощью которых можно отобразить количественное значение.

Пример У.С: засечки на кости

Определение и его разъяснение

Теперь немного поговорим, почему она называется непозиционной. Тут все очень просто – в таких отображениях положение знака (цифры) не влияет на его значение. Возьмите две спички и примите одну за единицу, поменяйте их местами – число не изменится, каждая спичка, как обозначала 1, так и будет её обозначать.

В позиционных исчислениях все несколько иначе. Давайте возьмем в пример, самое популярное в мире, десятичное счисление. Запишите число 10 и поменяйте нулик с единичкой местами – у вас получится другое число (01). Почему так вышло? Дело в том, что в первом случае 1 обозначала количество десятков, а во втором количество единиц. То есть, поменяв место цифры, мы изменили её значение. Поэтому представление называется позиционным. Далее рассмотрим несколько интересных фактов.

Интересные исторические факты

Не одна древняя цивилизация не использовала примитивную унарную запись в чистом виде, однако она лежала в основе большинства форм представления чисел существовавших в древности.

Так во всем известной римской нотации первые три цифры (1, 2 и 3) записываются как – I, II и III.
В древнем Египте использовали усовершенствованный метод унарного представления числовых значений. Так с помощью камешков велся отчет от 1 до 9, после этого вводился знак, который отображал количество десятков. После отсчета до 100 вводился еще один символ и так далее.
В Китае и других восточных государства использовали специальные счетные палочки.

Преимущества и недостатки

Скорее всего, Вы сами о них уже догадались. К преимуществам унарной формы можно отнести простоту – используется всего лишь один знак, а это значит, что легко выполняются простейшие математические операции, такие как сложение и вычитание.

Недостатков же больше и они очень существенные. Именно из-за них люди предпочли использовать позиционные нумерации:

Очень громоздкое представление больших числовых значений , представьте число 1 000 000 в унарной записи.
Отсутствует нуль – пустота, отсутствие числа.
Также очень сложно выполнять такие арифметические действия, как умножение и деление . Нет возможности отображать дробные числа.

Примеры применения в мире, информатике и других науках

Обучение маленьких детей счету (на палочках или пальцах);
Использовал Робинзон Крузо после попадания на необитаемый остров;
Применяется в военных частях или тюремных камерах. С помощью единичного отображения ведется подсчет дней до окончания срока службы или заключения .
С помощью неё в информатике решаются некоторые задачи. Например, унарная форма использовалась в машинах Тьюринга .

Заключение

Вот Вы и познакомились с самой примитивной – непозиционной унарной системой счисления. Теперь Вы знаете основные положения и примеры, касающиеся этой темы, области применения в информатике и других сферах. При возникновении вопросов задавайте их в комментариях. А также можете прочитать про Греческий формат.

Уна́рная (едини́чная, ра́зная) систе́ма счисле́ния — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

Попытки записи чисел с целой и дробной частью только одной цифрой в строчку пока безуспешны; однако их можно записывать в столбик.

Содержание

Единичные непозиционные системы счисления

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b, независящими от положения цифр, являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:

$x_ =(a_a_. a_2 a_1 a_0)_=\sum_^a_k b$
,

Поскольку весовой коэффициент b может быть любым, число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным двум (b=2) — при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента — b, который определяет диапазон представляемых числами x_1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

$\bar(a,n)=\bar_a^n=a^n=1^n=1$

a=1 — одноэлементное множество a= из которого берутся цифры a_k, :n — число элементов (цифр) в числе x_1,b.

Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов — n определяет одно число. Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

Целые числа записываются в виде:

$x_1=(a_ a_. a_2 a_1 a_0)_1=\sum_^a_k$
,

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:

$x_1=(a1_ a1_. a1_1a1_0/a2_a2_. a2_a2_)_1=\frac^a1_k>^a2_k>$
,

n — число цифр числителя (a1) дробного числа x₁, m — число цифр знаменателя (a2) дробного числа x₁.

Примеры использования

$\angle\!\!\!\!\Box$

5: ||||| (иногда )

Применение

при обучении детей счёту — счётные палочки
при подсчёте голосов на выборах в малых группах
в коллективных хозяйствах (для учёта трудодней)
в телефонных центрах (для подсчёта количества отработанных вызовов)
в тюрьмах и при отбывании воинской повинности (для подсчёта числа дней) для ведения календаря на необитаемом острове
в домино при подсчёте очков
в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один инвертор с логикой на входе
в дешифраторах
в счётах, внутри одного разряда
при фальсификации диагонального метода Кантора
в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятеричных разрядов

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

Единичные позиционные системы счисления

Если весовые коэффициенты зависят от положения цифр (единиц) (), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:

$x_ =(a_a_. a_2a_1a_0)_=\sum_^a_k b(k)$
,

— числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе " width="" height="" />
.

Пример: при

$b(k) \equiv 1$

При единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:

$x_ =(a_a_. a_2a_1a_0)_=\sum_^a_k b^k$
,

в которых множество , из которого берутся , равно " width="" height="" />
, а основание межразрядной показательной функции не равно 1 ().

Дробные числа записываются в виде:

$x_ =(a_a_. a_1a_0,a_a_. a_a_)_=\sum_^a_k b^k$
,

— число цифр дробной части числа " width="" height="" />
.

См. также

Примечания

Ссылки

Последовательность A000042Единичное представление натуральных чисел в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Непозиционные системы счисления

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Унарная система счисления" в других словарях:

Система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Позиционная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Троичная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Комбинированная система счисления — В комбинированных системах счисления для записи чисел используются две или более систем счисления с разными основаниями. В общем случае возможно бесконечное множество комбинированных систем счисления. В спаренных (сдвоенных, двойных) системах… … Википедия

Двоичная система счисления — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Двенадцатеричная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Кириллическая система счисления — Башенные часы с кириллическими числами в Суздале … Википедия

Вигезимальная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Двадцатеричная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Шестидесятеричная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

$<\displaystyle Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента - b, который определяет диапазон представляемых числами x1,b величин, и равно числу размещений с повторениями: (a,n)=_^=a^=1^=1>$
, где:
a=1 - одноэлементное множество a= из которого берутся цифры a_k, n - число элементов (цифр) в числе x_1,b. Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов - n определяет одно число.
Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

$<\displaystyle x_ Целые числа записываются в виде: =(a_a_. a_a_a_)_=\sum _^a_>$
, где:
a_k - единицы.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус , датируемый приблизительно 1850 до н. э.

$<\displaystyle x_ Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел: =(a1_a1_. a1_a1_/a2_a2_. a2_a2_)_=^a1_>^a2_>>>$
, где:
n - число цифр Примеры использования

$<\displaystyle \angle \!\!\!\!\Box > 5: ||||| (иногда$
)

Применение

в первом выборах в малых группахлюдей
в Машина Тьюринга
в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один диагонального метода Кантора
в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятиричных разрядов

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от "0" до "1" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "1".

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от "0" до "2" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "11".

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от "0" до "3" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "111".

Единичные позиционные системы счисления

$<\displaystyle x_ Если весовые коэффициенты b зависят от положения цифр (единиц) (b(k)=f(k)), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде: =(a_a_. a_a_a_)_=\sum _^a_b_>$
, где:

b_k=f(k) - числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе x_1,b.
Пример: при b_k=(k+1)
число 1₁ = 1*1 = 1₁₀,
число 11₁ = 1*2 + 1*1 = 3₁₀,
число 111₁ = 1*3 + 1*2 + 1*1 = 6₁₀,
число 1111₁ = 1*4 + 1*3 + 1*2 + 1*1 = 10₁₀.

При b_k=f(k)=1 единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным сдвоенные единичные показательные системы счисления:
=(a_a_. a_a_a_)_=\sum _^a_b^>" width="" height="" />
, в которых множество a , из которого берутся a_k, равно 1, а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (b≠1).
Дробные числа записываются в виде:
=(a_a_. a_a_,a_a_. a_a_)_=\sum _^a_b^>" width="" height="" />
, где:
m - число цифр дробной части числа x_1,b.

Читайте также: