Сообщение таблицы брадиса для вычисления тригонометрических функций

Обновлено: 17.05.2024

Пример:
tg 60° 15' = 1,746 + 0,004 = 1,750 (прибавляется поправка на 3', равная 0,004, которая берётся из соответствующей правой колонки).

Если избыток данного значения аргумента составляет 4' или 5' (т.е. больше половины ступени в 6'), то надо применять поправку на 2' или на 1', вычитая её из ближайшего большего значения функции. Это даёт выигрыш в точности, так как малые поправки точнее больших. Например:

tg 60° 17' = 1,753 - 0,001 = 1,752 (отнимается поправка на 1', равная 0,001).

Некоторые табличные значения подчёркнуты. Это означает, что целую часть для них надо брать не на этой, а на следующей строчке.

Числа с штрихами ('), находящиеся в трёх правых колонках, а так же вверху и внизу таблицы – это минуты угловой величины, позволяющие точнее задавать её значение. Математические таблицы Брадиса являются универсальными, и могут применяться при решении задач (в дисциплинах: алгебра, тригонометрия, геометрия, физика) в старших классах общеобразовательной и специализированной школы, в колледжах, в гимназиях и, далее, в высших учебных заведениях, на практике, в работе.

Общие правила вычислений с помощью таблиц Брадиса:

1. Надо различать, какие данные точны, а какие приближённы. Приближённые данные надо правильно округлять, сохраняя в них только надёжные числа и не более одной, крайней, не вполне надёжной (так называемой, "лишней").
2. При записи целых приближённых чисел, следует избегать лишних нулей, помещаемых взамен неизвестных цифр.
3 . При сложении и вычитании приближённых чисел, в результате следует оставлять столько десятичных разрядов, сколько их имеется в данном с наименьшим числом знаков после запятой (это правило не касается вычислений промежуточных результатов, а только конечных).

Пример перевода числовых значений из десятых долей градусов в минуты:
10.8° (десять целых и восемь десятых градуса)
8 / 10 = X / 60
X = (8 * 60) / 10 = 48
Итог конвертации: 10.8° = 10° 48' (десять градусов и сорок восемь минут).

Высокоточные вычисления тригонометрических функций для углов, заданных с точностью до минут и секунд – проводятся на специальных инженерных калькуляторах (в виде компьютерных программ, считающих до 32 разрядов или отдельного счётного прибора) и в электронных таблицах Excel по формуле, записанной в определённом формате. Пример строки с формулой в табличной ячейке для расчёта синуса угла, заданного с минутами и секундами:
E1 = sin (((A1 + B1/60 + C1/3600) * pi()) / 180)
где A1 – число градусов аргумента, заданное в первой строке колонки A.
B1 – минуты;
C1 – секунды.

При отсутствии таблиц Брадиса, инженерного калькулятора и компьютера, значения тригонометрических функций можно посчитать, с произвольно высокой точностью, и на простейшем арифмометре, с помощью аналитических операций сложения, вычитания, умножения и деления по формулам рядов:

sin x = x - x^3/1*2*3 + x^5/1*2*3*4*5 - x^7/1*2*3*4*5*6*7 + x^9/1*2*3*4*5*6*7*8*9 -.

cos x = 1 - x^2/1*2 + x^4/1*2*3*4 - x^6/1*2*3*4*5*6 + x^8/1*2*3*4*5*6*7*8 -.

tg x = x + (1/3 * x^3) + (2/15 * x^5) + (17/315 * x^7) + .

Точность, при таких вычислениях с применением знакочередующейся нескончаемой суммы ряда - определяется абсолютной величиной каждого очередного слагаемого.

В степень – число возводится с помощью многократного перемножения.
Например, аргумент в кубе: x^3 = x*x*x На калькуляторе, после набора числа, последовательно нажимаются кнопки: * = =

Если не нужна высокая точность и требуется быстрое вычисление, используются различные номограммы (нарисованные или напечатанные на бумаге и других материалах), логарифмические линейки и прочие приспособления и инструменты.

Таблицы Брадиса представляют собой самый полный сборник всех значений синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов и пр. Эти таблицы отличаются высокой точностью, которая доходит до четырех знаков после запятой, что позволяет использовать их как при решении школьных задач по алгебре, геометрии, физике, так и для вычисления сложных технических расчетов.

Правила пользования таблицами: таблицы дают значения синусов (косинусов) любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса, на пересечении строки, имеющей в заголовке слева (справа) соответствующее число градусов, и столбца, имеющего в заголовке сверху (снизу) соответствующее число минут.

Тригонометрические функции sin x и cos x от аргумента в градусах

Таблица Брадиса тригонометрические функции tg x, ctg x от аргумента в градусах

Таблица Брадиса – тангенсы углов, близких к 90°, котангенсы малых углов

Тригонометрические функции от аргумента в радианах

Примеры решения задач

Задание	Найти значение $\sin <<46>^>3$
Решение	В таблице значений синусов и косинусов в первом столбце находим , а в первой строке . На пересечении соответствующих строки и столбца находится искомое значение, равное .
Ответ	$\sin <<46>^>3$

Задание	Найти значение $\cos <<76>^>1$
Решение	В таблице значений синусов и косинусов в столбце углов с заголовком находим , а в нижней строке . На пересечении соответствующих строки и столбца находится искомое значение, равное .
Ответ	$\cos <<76>^>1$

Если же нужно найти значение угла, которого нет в таблице, то выбирается наиболее близкое к нему значение, а на разницу берется поправочное значение из столбца поправок справа (возможная разница – 1′, 2′, 3′).

Задание

Найти значение $\sin <<16>^>3$

Решение

Для того, чтобы посчитать значение $\sin <<16>^>3$
в таблице найдем значение синуса угла, наиболее близкого к искомому. Это $\sin <<16>^>3$
. Так как

, то в столбце поправок выбираем

и видим, что на пересечении со строкой

стоит 0,0006, то есть

$\[ \sin <<16> ^>3$

Задание

Найти значение $\sin <<22>^>1$

Решение

Для того, чтобы посчитать значение $\sin <<16>^>3$
в таблице найдем значение синуса угла, наиболее близкого к искомому. Это $\sin <<22>^>1$
. Так как

, то в столбце поправок выбираем

и видим, что на пересечении со строкой

стоит 0,0005, то есть

$\[ \sin <<22> ^>1$

Замечание. Для косинусов поправка имеет отрицательный знак.

Задание

Найти значение $\cos <<50>^>3$

Решение

Для того, чтобы посчитать значение $\cos <<50>^>3$
в таблице найдем значение косинуса угла, наиболее близкого к искомому. Это $\cos <<50>^>3$
. Так как

, то в столбце поправок выбираем

и видим, что на пересечении со строкой

стоит 0,0007, то есть

$\[ \cos <<50> ^>3$

Эти правила справедливы и для нахождения значений тангенсов и котангенсов углов.

Таблица Брадиса или тригонометрическая таблица углов представляет собой значение углов в градусном и радиальном измерении. Автор этих математических таблиц – советский педагог, преподававший математику в Твери, Владимир Модестович Брадис, который в своих таблицах рассчитал и свел с точностью до четырёх знаков логарифмы и значения тригонометрических значений в натуральном и градусном исчислении.

Если раскрыть правила ЕГЕ на 2019 год, можно увидеть, что пользоваться калькулятором при сдаче ЕГЕ по математике запрещено, независимо от того, какие функции присутствуют или отсутствуют в этом устройстве. Вместе с тем, указано, что при решении задач, которые содержатся в экзаменационном листе, выдаются необходимые справочные материалы. Это могут быть и четырехзначные таблицы Брадиса, если в этом будет необходимость, которыми экзаменующийся должен уметь пользоваться. Это и поиск угла по таблице тригонометрических значений, и решение с помощью этих данных задач по тригонометрии. Давайте рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

Как таблицы Брадиса работают в реальном решении задач

Так как при решении задач на ЕГЕ пользовать ни обычным калькулятором, ни тем более он-лайн запрещено, можно научиться пользоваться таблицами самому, это, кстати, совсем просто.

Тригонометрический треугольник

Можно находить углы треугольника по имеющимся сторонам, а можно найти сторону треугольника, имея в выходных данных угол и сторону треугольника. Для этого используем теорему синусов.

Аналогично находим сторону с.

Или теорему косинусов:

Знаем также, что сумма всех углов должна быть равна 180 градусов.

По формуле пропорциональности находим искомую величину. Если мы искали угол, при помощи таблицы переводим численное значение его в градусы, если мы будем искать сторону, угол, который получили в исходных данных в градусах, переводим с помощью таблицы в числовое значение. Основное замечание: если задача стоит на поиск угла, разумнее применять теорему косинусов, так как синус при расчете в вершине треугольника может получится как 30 градусов, так и 150, если в задании не оговаривается то, что угол не может быть тупым. Поэтому теорема косинусов в таком случае предпочтительнее.

Например, мы имеем три длины сторон треугольника, нужно найти три угла. Основным решением задачи будет условие, что каждая из сторон треугольника по длине не может быть равной или больше. Допустим, есть сторона а= 5; с=12; b= 10;

Что бы найти угол , применяем формулу:

α= arccos (25+ 144 – 100): 2х120; α= arccos 0,2875; В таблице косинусов на пересечении со стороны косинусов находим значение, 0,2874, близкое к нашему полученному в результате вычислений. Это угол α 74°42′. Аналогично рассчитываем угол β.

Затем, согласно правилам суммы трёх углов, находим третий угол:

По такой же схеме находим угол и две стороны, если заданы сторона и два угла, прямоугольные треугольники решаются по теореме Пифагора, когда один из углов известный и он равен 90 градусов плюс необходимо иметь в данных задачи ещё два элемента. Это могут быть два катета, катет и гипотенуза, катет и прилежащий к нему острый угол, катет и противолежащий острый угол, гипотенуза и один из острых углов. Берем пример, когда мы имеем прямоугольный треугольник

Используем одну из формул:

Также применяем формулу:

Как практически пользоваться таблицей Брадиса

В таблице синусов и косинусов есть значения углов от 0 градусов до 90 градусов. Если у нас в результате вычислений получилось число, например, SIN 0,7254. Находим на пересечении sin/cos 46 градусов, далее по верхней строчке напротив числа находим количество минут. В нашем случае это 30 °. Таким образом угол будет равен 46 градусов и 30 минут.

Например, нам нужно найти косинус 50 ° 31′. Ищем в таблице тригонометрических значений ближайшее значение (если нет точного значения) – это будет число 0,6361. Поправка на одну минуту даст нам 0, 0002. В случае косинусов поправка имеет отрицательное значение, то есть косинус 50°, 31 ′будет равна cos 50 °, 30 ′+ 1 ′, что в числовом значении будет 0,6361+(-0,0002) = 0, 6359. Таким же образом переводим число в градусы по таблице градусов.

Если нам нужно перевести тангенс или котангенс с радианов в градусы или наоборот, наши действия будут аналогичные, четырехзначная таблица Брадиса всегда поможет в вычислении.

Применение четырехзначной таблицы Брадиса в повседневной жизни

Зачем ещё нужна таблица Брадиса – она может применяться и в наше время в, так называемых, бытовых целях. Это может быть строительство небольшого сооружения, когда нужно уточнить высоту или ширину, подняться по лестнице нет возможности, а все остальное возможно измерить. Если интернет в наличии, можно найти и рассчитать все там, но, к сожалению, часто такой возможности нет, поэтому таблицы, формулы и простой калькулятор помогут высчитать и угол наклона козырька, и высоту стенки или столбика.

Рассчитываем дом сами

Можно смоделировать и самому рассчитать каркас дома, изготовив его в масштабе, таблицы пригодятся во многих вопросах. Если логарифмы используются очень в редких случаях, то с ними можно рассчитать и площадь круга и длину окружности, что иным умельцам очень может пригодиться.

Использование калькуляторов при сложных расчетах (например, формулах с применением логарифмов) сегодня считается стандартом по умолчанию. Но еще 20-30 лет назад, когда вычислительная техника была распространена не так сильно, на помощь приходили другие способы вычислений — с помощью специальных таблиц, логарифмической линейки или арифмометра.

Таблица Брадиса — математическое пособие, в котором собраны таблицы, необходимые для работы по курсу математики и для практических вычислений, созданное Владимиром Модестовичом Брадисом.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Функциональные возможности таблицы

Самыми распространенными являются таблицы, содержащие тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс, котангенс и арктангенс).

В целом, в сборнике Брадиса содержалось более 20 таблиц, в том числе, помогавшие найти значения:

значение дробей вида 1/n;
квадратов;
квадратных корней;
площади круга определенного диаметра;
радианной меры;
мантиссы десятичных логарифмов;
номограммы для решения отдельных уравнений.

Таблица синусов и косинусов

В силу широкого использования синусов и косинусов в учебных задачах, это самая распространенная из таблиц Брадиса. Она дает значение этих тригонометрических функций для любого острого угла от 0° до 90°. С помощью дополнительных колонок можно находить и более точные спецификации. Это 6', 12',18, 24', 30', 36', 42', 48' и 54' для углов указанного диапазона, например:

$\sin\;10^\circ\;=\;0,1736$ . С помощью дополнительных колонок находим — $\sin\;10^\circ\;12'\;=\;0,1771,\;\sin\;10^\circ\;24'\;=\;0,1805$ ;
$\sin\;50^\circ\;=\;0,7660$ . Обращаясь к дополнительной колонке выясняем, что $\sin\;50^\circ\;12'\;=\;0,7683,\;\sin\;50^\circ\;24'\;=\;0,7705$ .

Если нужны еще более точные показатели, то нужно использовать поправочные коэффициенты, отнимая и прибавляя их к ближайшему табличному значению минут. Используя их, находим:

$\sin\;10^\circ\;15'\;=\;\sin\;10^\circ\;12'\;+\;0,0009\;=\;0,1771+0,0009\;=\;0,1780$ ;
$\sin\;50^\circ\;22'\;=\;\sin\;50^\circ\;24'-0,0004\;=\;0,7705-0,0004\;=\;0,7701$ .

Для нахождения косинусов можно использовать значения в правой колонке, но куда удобнее вычислять через синус угла, дополняющего до 90°. В этом случае:

$\cos\;10^\circ\;=\;\sin\;80^\circ\;=\;0,9848;$
$\cos\;50^\circ\;=\;\sin\;40^\circ\;=\;0,6428.$

Аналогично проводят и более точные вычисления, в том числе — с использованием поправочных коэффициентов:

$\cos\;10^\circ\;12'\;=\;\sin\;79^\circ\;48'\;=\;0,9842;$
$\cos\;10^\circ\;15'\;=\;\sin\;79^\circ\;45'\;=\;\sin\;79^\circ\;48'-0,0002\;=\;0,9842-0,002\;=\;0,9840;$
$\cos\;50^\circ\;24'\;=\;\sin\;39^\circ\;36'\;=\;0,6374;$
$\cos\;50^\circ\;22'\;=\;\sin\;39^\circ\;38'\;=\;\sin\;39^\circ\;36'\;+\;0,0004\;=0,6374\;+\;0,0004\;=\;0,6380.$

Таблица для тангенсов и котангенсов

Аналогичным образом с помощью соответствующей таблицы Брадиса можно найти значения тангенса:

$tg\;10^\circ\;=\;0,1763$ . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — $tg\;10^\circ\;12'\;=\;0,1799,\;tg\;10^\circ\;24'\;=\;0,1835$ ;
$tg\;50^\circ\;=\;1,1918$ . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что $tg\;50^\circ\;12'\;=\;1,2002,\;tg\;50^\circ\;24'\;=\;1,2088$ .

Для более точных показателей применяем поправочные коэффициенты (аналогично, как для таблиц синуса и косинуса):

$tg\;10^\circ\;15'\;=\;tg\;10^\circ\;12'\;+\;0,0009\;=\;0,1799\;+\;0,0009\;=\;0,1808$ ;
$tg\;50^\circ\;22'\;=\;tg\;50^\circ\;24' -0,0014\;=\;1,7705-0,0004\;=\;0,7701$ .

С помощью правой колонки таблицы Брадиса со значением тангенсов можно найти котангенс. Альтернативный вариант — вычисление через тангенс угла, дополняющего искомый до 90°:

$ctg\;10^\circ\;=\;tg\;80^\circ\;=\;5,671$ . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — $сtg\;10^\circ\;12'\;=\;5,558,\;сtg\;10^\circ\;24'\;=\;5,449$ (аналогичные результаты могут быть получены, если посмотреть в значение тангенса дополняющих углов — 79° 48' и 79° 36' соответственно);
$ctg\;50^\circ\;=\;0,8391$ . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что $ctg\;50^\circ\;12'\;=\;0,8332,\;ctg\;50^\circ\;24'\;=\;0,8273$ (как вариант, можно уточнить значение тангенса дополняющих углов — 39° 48' и 39° 36').

Важно отметить, что значения тангенсов (и соответствующих им котангенсов) распределены по двум таблицам:

тангенсы углов от 0° до 76° (и котангенсы от 90° до 24°);
tg от 76° до 90° (и ctg от 24° до 0°).

Такое разделение связано с особенностями предоставления информации. Для котангенсов углов, близких к 90° (и котангенсам острых углов) проблематично использовать общие поправки, поэтому значения там даются индивидуально для каждого значения.

Например, в отдельных строках таблицы, без применения поправочных величин, приводятся:

$tg\;80^\circ\;(и\;ctg\;10^\circ)\;=\;5,671$ ;
$tg\;80^\circ\;1'\;(и\;ctg\;10^\circ\;59')\;=\;5,681$ ;
$tg\;80^\circ\;2'\;(и\;ctg\;10^\circ\;58')\;=\;5,\;691$ ;
и так далее.

Величину тангенса и котангенса можно узнать и имея в наличии только таблицу Брадиса по синусам и косинусам. Для этого надо воспользоваться формулами:

$tg\;\alpha\;=\;\sin\;\alpha\;/\;\cos\;\alpha$
$ctg\;\alpha\;=\;\cos\;\alpha\;/\;\sin\;\alpha$ .

Подставляя необходимые значения получим:

$tg\;10^\circ\;=\;0,1736\;/\;0,9848\;=\;0,1763$ ;
$ctg\;50^\circ\;=\;0,6428\;/\;0,7660\;=\;8391$ .

Значения от 181 до 360 градусов

Таблицы Брадиса дают значения для углов от 0° до 90°. Остальные величины можно легко найти с помощью формул приведения. В этом случае угол, величину которого необходимо узнать, представляется как сумма (или разность) угла, кратного 90° и острого угла, например, для 140° это будет:

Формулы приведения, которые используются в этом случае, имеют вид:

$\sin\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;\cos\;a,\;\sin\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;\sin\;a$ ;
$\cos\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;-\sin\;a,\;\cos\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;-\cos\;a$ ;
$tg\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;-ctg\;a,\;tg\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;-tg\;a$ ;
$ctg\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;-tg\;a,\;ctg\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;-ctg\;a$ .

Для примера можно провести расчет для ситуации, когда угол в 140° представлен как 90° + 50°:

$\sin\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;\cos\;50^\circ\;=\;0,6428$ ;
$\cos\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;-\sin\;50^\circ\;=\;-0,7660$ ;
$tg(90^\circ+50^\circ)=-ctg50^\circ=-0,8391$ ;
$ctg\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;tg\;50^\circ\;=\;1,1918$ .

Практические примеры использования таблицы

Таблицам Брадиса легко можно найти применение в современном учебном процессе, например, выполняя школьные уроки.

Задача №1

10-метровая лестница опирается на здание таким образом, что имеет угол наклона 35°. Необходимо узнать расстояние от земли до ее вершины.

Решение

Имеем треугольник, где угол BСA = 90°, BАC = 30°. По определению^

где ВС — высота лестницы, которую нужно найти, а АВ — известная из условия длина.

Узнав из таблицы Брадиса нужный синус и подставив все известные значения в формулу, можно найти ответ:

ВС (высота лестницы) = 10 м х 0,5736 = 5,736 метров.

Задача №2

Найдете длину тени от маяка высокой 30 м, если солнце находится в 60° над горизонтом.

Решение

Схематически условия задачи можно представить в виде треугольника, с прямым углом ВСА, и ВАС = 55°. По определению:

где АВ — высота маяка, а СВ — длина тени.

Определив по таблице Брадиса нужную величину и подставив в формулу все известные значения, получим:

Таблица Брадиса - это таблица, помогающая при вычислениях в решении задач как в школе (на математике, алгебре, геометрии и физике в старших классах), так и в вузах.

Здесь четырехзначные математические онлайн таблицы для таких тригонометрических функций как: синусы, косинусы, кроме того вы на нашем сайте вы сможете найти подобные таблицы для тангенсов и котангенсов.

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса.

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

Таблица Брадиса.

Таблица разбита на 2 части. В 1-ой части таблицы Брадиса тангенсы от 0° до 75° и котангенсы от 15° до 90° определяются с помощью дополнительных столбиков для 1’, 2’ и 3’ (минуты). Во 2-ой части тангенсы от 75° до 90° и котангенсы от 0° до 15° записаны в таблице с точностью до 1’ угла.

Читайте также: