Сообщение степени и корни
Обновлено: 13.06.2024
А сейчас мы рассмотрим свойства корней.
Квадратный корень, кубический корень и корень в N-ой степени.
Порешаем задачки, чтобы к концу этого занятия все, что касается корней (в любой степени) было тебе абсолютно понятно!
И, самое главное, чтобы ты смог решить любую задачу c корнями на экзамене!Поехали!
Свойства корней — коротко о главном
Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)
Свойства корней:
Для любого натурального \( n\), целого \( k\) и любых неотрицательных чисел \( a\) и \( b\) выполнены равенства:
Арифметический квадратный корень
Когда ты разберешься в этой теме, тебе станет намного легче решать иррациональные уравнения и неравенства.
Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).
К примеру, перед нами уравнение \( ^>=4\). Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом \( 4\)?
Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: \( 2\) и \( -2\) ( ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!
Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ \( \sqrt\).
Дадим определение арифметическому квадратному корню.
Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)
\( \left( \sqrt=x,\ ^>=a;\ \ x,a\ge 0 \right)\)
А почему же число \( a\) должно быть обязательно неотрицательным?
Например, чему равен \( \sqrt\). Так-так, попробуем подобрать. Может, три?
Проверим: \( ^>=9\), а не \( -9\). Может, \( \left( -3 \right)\)? Опять же, проверяем: \( <<\left( -3 \right)>^>=9\). Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!
Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!
Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.
Квадратное уравнение или квадратный корень?
К примеру, \( ^>=4\) не равносильно выражению \( x=\sqrt\).
Из \( ^>=4\) следует, что \( \left| x \right|=\sqrt\), то есть \( x=\pm \sqrt=\pm 2\) или \( _>=2;\ _>=-2\).
А из \( x=\sqrt\) следует, что \( x=2\).
Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.
В наше квадратное уравнение подходит как \( 2\), так и \( -2\).
Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
А теперь попробуй решить такое уравнение \( ^>=3\).
Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?
Начнем с самого начала – с нуля: \( ^>=0\) – не подходит.
Двигаемся дальше \( \text=1;\ ^>=1\) – меньше трех, тоже отметаем.
А что если \( x=2\); \( ^>=4\) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.
С отрицательными числами получится такая же история.
И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?
Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между \( 1\) и \( 2\), а также между \( -2\) и \( -1\).
Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше?
Давай построим график функции \( y=^>\) и отметим на нем решения. (Прочти по ссылке как использовать график функции для решения уравнений)
Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из \( 3\), делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что \( \sqrt=1,732050807568…\).
Такое число никогда не кончается.
Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. \( \sqrt\) и \( -\sqrt\) уже сами по себе ответы.
Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.
Рассмотрим еще один пример для закрепления.
Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной \( \displaystyle 1\) км, сколько км тебе предстоит пройти?
Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: \( ^>=<^>+<^>\). Таким образом, \( ^>=1+1=2\).
Так чему же здесь равно искомое расстояние?
Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что \( c=\sqrt\). Корень из двух приблизительно равен \( 1,41\), но, как мы заметили раньше, \( \sqrt\) -уже является полноценным ответом.
Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от \( 1\) до \( 20\), а также уметь их распознать.
К примеру, необходимо знать, что \( 15\) в квадрате равно \( 225\), а также, наоборот, что \( 225\) – это \( 15\) в квадрате.
Вот тебе полная таблица квадратов чисел. Сверху строка — основание степени, слева в столбик показатель степени, на пересечение искомое значение степени. Запомнить нужно только то, что выделено зеленым.
В данном видеоуроке мы повторим понятие степени с натуральным показателем и степени с отрицательным целым показателем. Повторим свойства степени. Скажем, что называют степенью с рациональным показателем. Напомним, что называют корнем n-й степени и арифметическим корнем n-й степени. Поговорим о свойствах арифметического корня n-й степени.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Степени и корни. Действия с ними"
Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение
где – основание степени (), – показатель степени ().
Возвести в -ю степень – это значит найти значение выражения .
При имеем .
Степень с нулевым показателем: , если , то есть любое число (кроме ) в нулевой степени равно .
Выражение не имеет смысла.
Степенью с отрицательным целым показателем называется число , где , и .
При возведении отрицательного числа в нечётную степень получится отрицательное число, а при возведении отрицательного числа в чётную степень получится положительное число.
Для любых действительных чисел и , отличных от , и для любых целых показателей и имеют место следующие пять основных свойств степеней:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Используя степени с целыми показателями, любое положительное число у можно записать в виде произведения , где и – целое число. Такая запись называется стандартным видом числа , а число – порядком числа .
Также напомним, что корнем -й степени () из действительного числа называют такое действительное число , -я степень которого равна , то есть .
Арифметическим корнем -й степени () из числа называется неотрицательное число, -я степень которого равна . Обозначают арифметический корень с помощью знака радикала: .
Под выражением условимся понимать:
1. единственное значение корня в случае нечётного ;
2. арифметический корень в случае чётного ;
3. , если , при любом .
Заметим, что при нечётном , но при чётном .
Так, например, ,.
То есть , где
Действие, посредством которого отыскивается корень -й й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -ю степень.
А теперь давайте вспомним свойства арифметического корня -й степени. Итак, при условии, что , , а , и – натуральные числа, причём , , справедливы равенства:
1. . (число может также быть равным )
2. .
3. . (число может быть любым целым, если )
4. .
5. .
Также следует вспомнить формулу сложного радикала:
.
И ещё напомним, что степенью с рациональным показателем называется число , где , , , , .
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите значения выражений:
а) при ;
б) при .
Задание второе. Вычислите .
Задание третье. Упростите выражение .
Определем понятие степени, показатель которой – натуральное число (т.е. целое и положительное).
- По определению: .
- Возвести число в квадрат – значит умножить его само на себя:
- Возвести число в куб – значит умножить его само на себя три раза: .
Возвести число в натуральную степень – значит умножить число само на себя раз:
Если показателем степени является целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень:
, a ≠ 0
Если показателем степени является целое отрицательное число:
, a ≠ 0
Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то
Степень с рациональным показателем
Свойства степеней
| Произведение степеней |  |
| Деление степеней |  |
| Возведение степени в степень |  |
Корень
Арифметический квадратный корень
Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.
Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.
Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень – это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a Корень из квадрата
Например, . А решения уравнения соответственно и
Кубический корень
Кубический корень из числа – это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .
В данном видеоуроке мы повторим понятие степени с натуральным показателем и степени с отрицательным целым показателем. Повторим свойства степени. Скажем, что называют степенью с рациональным показателем. Напомним, что называют корнем n-й степени и арифметическим корнем n-й степени. Поговорим о свойствах арифметического корня n-й степени.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Степени и корни. Действия с ними"
Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение
где – основание степени (), – показатель степени ().
Возвести в -ю степень – это значит найти значение выражения .
При имеем .
Степень с нулевым показателем: , если , то есть любое число (кроме ) в нулевой степени равно .
Выражение не имеет смысла.
Степенью с отрицательным целым показателем называется число , где , и .
При возведении отрицательного числа в нечётную степень получится отрицательное число, а при возведении отрицательного числа в чётную степень получится положительное число.
Для любых действительных чисел и , отличных от , и для любых целых показателей и имеют место следующие пять основных свойств степеней:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Используя степени с целыми показателями, любое положительное число у можно записать в виде произведения , где и – целое число. Такая запись называется стандартным видом числа , а число – порядком числа .
Также напомним, что корнем -й степени () из действительного числа называют такое действительное число , -я степень которого равна , то есть .
Арифметическим корнем -й степени () из числа называется неотрицательное число, -я степень которого равна . Обозначают арифметический корень с помощью знака радикала: .
Под выражением условимся понимать:
1. единственное значение корня в случае нечётного ;
2. арифметический корень в случае чётного ;
3. , если , при любом .
Заметим, что при нечётном , но при чётном .
Так, например, ,.
То есть , где
Действие, посредством которого отыскивается корень -й й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -ю степень.
А теперь давайте вспомним свойства арифметического корня -й степени. Итак, при условии, что , , а , и – натуральные числа, причём , , справедливы равенства:
1. . (число может также быть равным )
2. .
3. . (число может быть любым целым, если )
4. .
5. .
Также следует вспомнить формулу сложного радикала:
.
И ещё напомним, что степенью с рациональным показателем называется число , где , , , , .
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите значения выражений:
а) при ;
б) при .
Задание второе. Вычислите .
Задание третье. Упростите выражение .
Читайте также: