Сообщение признаки делимости на 5 и 10

Обновлено: 08.07.2024

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2
Признак делимости на 3
Признак делимости на 4
Признак делимости на 5
Признак делимости на 6
Признак делимости на 7
Признак делимости на 8
Признак делимости на 9
Признак делимости на 10
Признак делимости на 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Учитель: Агеева Наталья Сергеевна Класс: 6

Город Дубна, 2018 г.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Из истории математики о делимости чисел

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например,: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Делители и кратные .

Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числам b , а число b – делителем числа а .

Для любого натурального числа а каждое из чисел а*1, а*2, а*3, а*4, … является кратным числа а .

Простые и составные числа.

Натуральное число называют простым , если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

Например, число 5 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Натуральное число называют составным , если оно имеет больше двух натуральных делителей.

Например, число 55 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 5; 11; 55.

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Делимость чисел обладает свойствами :

Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое – делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

Если хоть один из множителей делится на какое-нибудь число, то произведение их также разделится на это число.

Признаки делимости на 2

Чётное число – это число, которое делится на 2.

Нечётное число – не делится на 2.

Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.

Число 55 734 делится на 2, так как у него последняя цифра 4 которая является чётной.

Число 559 не делится на 2, так как цифра 9 находящаяся в конце нечетная.

Число 6750 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце 0.

Признаки делимости на 3

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3. Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.

Число 52 600 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.

Число 768 001 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 01, которое не делится на 4.

Число 67 144 делится на 4, так как две конечные цифры 4 и 4 дают число 8, которое делится на 4.

Признаки делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5.

245 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 5.

6740 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 0.

657 не делится на 5, так число оканчивается цифрой 7.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, когда его можно разделить одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.

Число 306 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 7

Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.

959 делится на 7, потому что 95-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка).

111 и 345 не делятся на 7, потому что 11-2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34-2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).

Признаки делимости на 8

Число делится на 8 только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8.

56064 – 064 делится на 8, значит, 56064 кратно 8.

Признаки делимости на 9

Если сумма цифр числа делится нацело на 9 то и само число делится нацело на 9. Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

6003 = 6+0+0+3 = 9, 9 делится на 9, значит, и само число делится на 9.

Признаки делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

991186 0 – делится на 10.

Признаки делимости на 11

На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.

103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12

461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не равны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).

Признаки делимости на 12

Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4.

504 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

858 делится на 13, так как 85-9*8 = 13 делится на 13.

Признаки делимости на 14

Число делится на 14 когда оно делится на 2 и на 7.

Число 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

Признаки делимости на 15

Число делится на 15, если оно делится на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось 0 или 5 и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признаки делимости на 19

Число делится на 19 когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

Числа кратные 19 всегда делятся на 19.

19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..

Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

Признаки делимости на 25

Число делится на 25 когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

58050 делится на 25, так как 50 делится на 25.

579 00 делится на 25.

Признаки делимости на 50

Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце числа две последние цифры делились на 25 и представляли четное число. Этому условию удовлетворяют числа 50 и 100, но 100 - трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.

Кроме известных признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. В некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Использованная литература:

10 . Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

11. Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

12. Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.

17. Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.

18. Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.

19. Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.

На 10 делятся те числа, которые состоят из полных десятков: 10, 20, 1080, 1899960 и т.д.

Каждое из этих чисел заканчивается на 0. Для того чтобы любое из этих чисел разделить на 10, достаточно отбросить этот 0.

1899960 : 10 = 18996.

Число делится на 10, если оно заканчивается на 0.

Число не делится на 10, если его запись заканчивается любой цифрой, кроме 0.

Теперь сформулируем признак делимости на 5.

Число делится на 5, если его запись заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

пусть запись числа имеет вид к1 к2 к3 к4… кn , где к1, к2, к3, к4,… кn - некоторые цифры от 0 до 9, при этом цифра кn – 0 или 5. Тогда число можно представить в виде к1 • 10n-1+ к2 • 10n-2 +к3 •10n-3+… +кn (например, число 6380 = 6 • 103 + 3 • 102+ 8 • 10 + 0). Очевидно, что первые слагаемые этой суммы делятся на 10, а значит и на 5. А последнее слагаемое – это 5 или 0 по условию.

5 : 5=1, 0 : 5=0 – то есть, это слагаемое делится на 5. Следовательно, число делится на 5.

Число не делится на 5, если его запись заканчивается любой цифрой, отличной от 0 или 5.

пусть запись числа имеет вид к1 к2 к3 к4… к1n, где к1, к2, к3, к4,… кn - некоторые цифры от 0 до 9, при этом цифра кn ? 0 и кn ? 5. Тогда число можно представить в видек1•10n-1 + к2•10n-2 + к3•10n-3 +… + кn (например, число 6383 = 6 • 103 + 3 • 102 + 8 • 10 + 3). Очевидно, что первые слагаемые этой суммы делятся на 10, а значит и на 5. А последнее слагаемое – это 1, 2, 3, 4, 6,7, 8 или 9 по условию. Ни одна из этих цифр не делится на 5 без остатка. Следовательно, не делится и на 5.

Число 125670 делится и на 5, и на 10, так как заканчивается на 0;

Число 1235 делится на 5, так как заканчивается на 5, но не делится на 10, так как не заканчивается на 0;

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами - загрузи их здесь!

Число делится на 5 , если его последняя цифра 5 или 0 .

155 делится на 5 . Последняя цифра 5 .
800 делится на 5 . Последняя цифра 0 .
61 не делится на 5 . Последняя цифра 1 .

Признак делимости на 25

Запомните!

Число делится на 25 , если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25 .

675 делится на 25 . Две последние цифры образуют число 75 , которое делится на 25. (75 : 25 = 3) Это означает, что 675 делится на 25 .
3900 делится на 25 . Две последние цифры нули.
345 не делится на 25 . Две последние цифры образуют число 45 , которое не делится на 25 .

Признак делимости на 10, 100 и 1000

Запомните!

На 10 делятся нацело только те числа, последняя цифра которых нуль.

На 100 делятся нацело только те числа, две последние цифры которых нули.

На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули.

Чтобы было проще делить на 10, 100 и 1000 , просто зачеркивайте одинаковое количество нулей в обоих числах.

Читайте также: