Сообщение о признаках делимости на 8

Обновлено: 04.07.2024

Делимость нацело числа на 8 зависит от последних трёх цифр в его записи.

Признак делимости на 8

Натуральное число делится без остатка на 8,

— если его запись оканчивается тремя цифрами, образующими число, которое делится без остатка на 8;

— если его запись оканчивается тремя нулями.

Проверить делимость на 8 трёхзначного числа проще всего непосредственным делением. Но и в этом случае есть признак.

Признак делимости трёхзначного числа на 8

(то есть его запись состоит из цифр a, b и c соответственно) делится без остатка на 8, если

(к умноженному на 4 числу сотен прибавляем удвоенное число десятков и число единиц и проверяем делимость полученной суммы на 8).

1) Определить, какие из данных трёхзначных чисел делятся без остатка на 8:

952; 528; 236; 794.

Делимость этих чисел на 8 можно проверить непосредственным делением. Если же использовать признак делимости на 8 трёхзначного числа, получим:

4∙9+2∙5+2=48. Так как 48 делится на 8, то и 952 делится на 8.

4∙5+2∙2+8=32. 32 делится на 8, значит 528 также делится на 8.

4∙2+2∙3+6=20. Поскольку 20 не делится на 8, то и 236 не делится нацело на 8.

4∙7+2∙9+4=50. 50 не делится на 8, следовательно, 794 не делится без остатка на 8.

2) Какие из чисел делятся нацело на 8:

12320; 5246; 75000; 688975; 234984; 813758; 943552; 420783; 382268; 563000; 231608; 117376; 492170; 571824; 45657.

Прежде всего отбросим все нечётные числа:

688975, 420783, 45657 — они не делятся на 8 без остатка.

Выберем числа, запись которых оканчивается тремя нулями:

75000, 563000 — они делятся на 8.

В оставшихся числах проверяем делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами:

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

  • Признак делимости на 2
  • Признак делимости на 3
  • Признак делимости на 4
  • Признак делимости на 5
  • Признак делимости на 6
  • Признак делимости на 7
  • Признак делимости на 8
  • Признак делимости на 9
  • Признак делимости на 10
  • Признак делимости на 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

    4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

    18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

  • 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
  • 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

    344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
  • в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

    10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

  • 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
  • 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
  • 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

  • 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
  • 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

  • 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
  • 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

  • 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
  • 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

  • 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.


Признак делимости на 8 достаточно большой, в сравнении с другими признаками. Его тяжелее понять и запомнить, но 8 куда чаще других чисел используется в делении. Поэтому разберем правило во всех подробностях, чтобы проблем с делимостью больше не возникало.

Что такое признак делимости на 8

Числа, которые делятся на 8, подразделяются на 2 большие группы:

  • Числа с количеством знаков до 3. Сюда входят все числа не больше 1000 и не меньше -1000.
  • Числа больше или равные 1000 и меньше или равные -1000.

Признак делимости показывает, можно ли поделить одно число на другое без остатка.

Первая группа

Трехзначные числа можно представить в виде формулы авс, где а, в и с – цифры, с помощью которых записано число.

Трехзначное число делится на 8, если сумма: 4а+2в+с делится на 8.

Нужно понимать, что цифры – это знаки, с помощью которых мы записываем числа. Именно числа отражают реальные величины в математике.

Вторая группа

У чисел больше тысячи рассматриваются последние три цифры. Если число из этих трех цифр делится на 8, то и все число делится на 8.

Такое трехзначное число называется гранью. Поэтому можно сформулировать признак так: Если первая трехзначная грань числа делится на 8, то и все число делится на 8

1254862245 – число делится на 8, если число 245 делится на 8. Это можно проверить с помощью признака первой группы.

2*4+4*2+5=8+8+5=21 – не делится на 8, значит и все большое число не делится на 8.

Что мы узнали?

Мы поговорили о признаке делимости на 8, выяснили к каким группам чисел и как применяется этот признак. Рассмотрели правило и примеры признака делимости на 8.

Решение: а) 65432. Берём три последние цифры числа 65432 — получаем число 432. Число 432 делится на 8. Действительно, 432 = 400 + 32 = 8 ⋅ 50 + 8 ⋅ 4 = 8 ⋅ (50 + 4). Поэтому по признаку делимости число 65432 делится на 8. Ответ: делится.

б) 25314. Берём три последние цифры этого числа — получаем число 314. Это число на 8 не делится, так как оно не делится на 4 (по признаку делимости на 4): 14 не делится на 4. Поэтому и число 25314 не делится на 8. Ответ: не делится.

в) 1080. Составляем число из трёх последних цифр числа 1080 — получаем число 80 (ноль первым не пишем). Число 80 делится на 8, поэтому и число 1080 делится на 8. Ответ: делится.

Доказательство признака делимости на 8 смотрите в этой статье.

Читайте также: